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LibreTexts Español

22.5: Ejercicios adicionales- Corrección de errores para códigos BCH

  • Page ID
    110971
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

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    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Los códigos BCH tienen algoritmos de corrección de errores muy atractivos. \(C\)Sea un código BCH en\(R_n\text{,}\) y supongamos que\(c(t) = c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1} t^{n-1}\) se transmite un polinomio de código. \(w(t) = w_0 + w_1 t + \cdots w_{n-1} t^{n-1}\)Sea el polinomio en\(R_n\) que se recibe. Si se han producido errores en bits\(a_1, \ldots, a_k\text{,}\) entonces\(w(t) = c(t) + e(t)\text{,}\) dónde\(e(t) = t^{a_1} + t^{a_2} + \cdots + t^{a_k}\) está el polinomio de error. El decodificador debe determinar los números enteros\(a_i\) y luego\(c(t)\) recuperarse de\(w(t)\) volteando el bit\(a_i\) th. De\(w(t)\) podemos calcular\(w( \omega^i ) = s_i\) para\(i = 1, \ldots, 2r\text{,}\) donde\(\omega\) es una primitiva raíz\(n\) th de unidad sobre\({\mathbb Z}_2\text{.}\) Nosotros decimos que el síndrome de\(w(t)\) es\(s_1, \ldots, s_{2r}\text{.}\)

    1

    Mostrar que\(w(t)\) es un polinomio de código si y solo si\(s_i = 0\) para todos\(i\text{.}\)

    2

    Demostrar que

    \[ s_i = w( \omega^i) = e( \omega^i) = \omega^{i a_1} + \omega^{i a_2} + \cdots + \omega^{i a_k} \nonumber \]

    para\(i = 1, \ldots, 2r\text{.}\) El polinomio localizador de errores se define como

    \[ s(x) = (x + \omega^{a_1})(x + \omega^{a_2}) \cdots (x + \omega^{a_k})\text{.} \nonumber \]

    3

    Recuérdese el código BCH\((15,7)\) -block en Ejemplo\(22.19\). Por teorema\(8.13\), este código es capaz de corregir dos errores. Supongamos que estos errores ocurren en bits\(a_1\) y\(a_2\text{.}\) El polinomio localizador de errores es\(s(x) = (x + \omega^{a_1})(x + \omega^{a_2})\text{.}\) Mostrar que

    \[ s(x) = x^2 + s_1 x + \left( s_1^2 + \frac{s_3}{s_1} \right)\text{.} \nonumber \]

    4

    Dejar\(w(t) = 1 + t^2 +t^4 + t^5 + t^7 + t^{12} + t^{13}\text{.}\) Determinar cuál era el polinomio de código transmitido originalmente.


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