22.7: Salvia

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Se ha dado cuenta en este capítulo que los campos finitos tienen mucha estructura. También hemos visto campos finitos en Sage regularmente como ejemplos de anillos y campos. Ahora podemos combinar los dos, en su mayoría usando comandos que ya conocemos, además de algunos nuevos.

Creación de campos finitos

Por Teorema\(22.6\) sabemos que todos los campos finitos de un orden dado son isomórficos y que los órdenes posibles se limitan a poderes de primos. Podemos usar el comando finiteField (), como antes, o un equivalente más corto es GF (). Opcionalmente, podemos especificar un polinomio irreducible para la construcción del campo. Podemos ver este polinomio como el generador del ideal principal de un anillo polinómico, o podemos verlo como una regla de “reescritura” para potencias del generador del campo que nos permite multiplicar elementos y reformularlos como combinaciones lineales de potencias menores.

Ausente de proporcionar un polinomio irreducible, Sage utilizará un polinomio de Conway. Puedes determinarlos con el comando conway_polynomial (), o simplemente construir un campo finito y solicitar el polinomio definitorio con el método.polinomial ().

Solo para ser más legibles, coaccionamos una lista de coeficientes en el conjunto de polinomios (obtenidos con el método .parent () en un polinomio simple) para definir un polinomio.

Logaritmos en Campos Finitos

Un comando útil que no hemos descrito es el método .log () para elementos de un campo finito. Como ahora sabemos que el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero es cíclico, podemos expresar cada elemento como una potencia del generador. El método log devolverá esa potencia.

Por lo general, vamos a querer usar el generador como base de un cálculo de logaritmo en un campo finito. Sin embargo, se pueden usar otras bases, entendiendo que si la base no es un generador, entonces el logaritmo puede no existir (es decir, puede que no haya solución a la ecuación relevante).

Como ya conocemos muchos comandos de Sage, no hay mucho más que valga la pena introducir antes de poder trabajar de manera rentable con campos finitos. Los ejercicios exploran las formas en que podemos examinar y explotar la estructura de los campos finitos en Sage.