22.8: Ejercicios de salvia

1

Crear un campo finito de orden\(5^2\) y luego factorizar\(p(x)=x^{25}-x\) sobre este campo. Comenta qué es lo interesante de este resultado y por qué no es una sorpresa.

2

Corolario\(22.11\) dice que los elementos distintos de cero de un campo finito son un grupo cíclico bajo multiplicación. El generador utilizado en Sage es también un generador de este grupo multiplicativo. Para ver esto, crea un campo finito de orden\(2^7\text{.}\) Crea dos listas de los elementos del campo: primero, usa el método .list (), luego usa una comprensión de lista para generar las potencias adecuadas del generador que especificaste al crear el campo.

La segunda lista debe ser todo el campo, pero le faltará cero. Crear el elemento cero del campo (tal vez coaccionando\(0\) en el campo) y .append () a la lista de potencias. Aplica el comando classified () a cada lista y luego prueba la igualdad de las listas.

3

Los subcampos de un campo finito están completamente clasificados por Teorema\(22.7\). Es posible crear dos campos finitos de los órdenes correctos para que la relación supefield/subcampo se mantenga, y para traducir entre uno y otro. No obstante, en este ejercicio crearemos un subcampo de un campo finito desde cero. Dado que el grupo de elementos distintos de cero en un campo finito es cíclico, los elementos distintos de cero de un subcampo formarán un subgrupo del grupo cíclico, y necesariamente serán cíclicos.

Crear un campo finito de orden\(3^6\text{.}\) La teoría dice que hay un subcampo de orden\(3^2\text{,}\) desde\(2|6\text{.}\) Determinar un generador de orden multiplicativo\(8\) para los elementos distintos de cero de este subcampo, y construir estos\(8\) elementos. Añadir en el elemento cero del campo a esta lista. Debe quedar claro que este conjunto de\(9\) elementos se cierra bajo multiplicación. Ausentes de nuestros teoremas sobre campos finitos y grupos cíclicos, el cierre bajo adición no es un hecho. Escribir una sola declaración que verifique si este conjunto también está cerrado bajo adición, considerando todas las posibles sumas de elementos del conjunto.

4

Este problema investiga la “separabilidad” de\({\mathbb Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})\text{.}\) Puedes crear este campo numérico rápidamente con el constructor NumberFieldTower, junto con los polinomios\(x^2-3\) y\(x^2-7\text{.}\) Aplanar la torre con el método .absolute_field () y usar el .structure () para recuperar mapeos entre la torre y la versión aplanada. Nombra la torre N y usa a y b como generadores. Nombra la versión aplanada L con c como generador.

Crear un elemento no trivial (“aleatorio”) de L usando tantas potencias de c como sea posible (verifique el grado de L para ver cuántas potencias linealmente independientes hay). Solicita a Sage el polinomio mínimo de tu elemento aleatorio, asegurando así que el elemento sea una raíz. Construir el polinomio mínimo como polinomio sobre N, la torre de campo, y encontrar su factorización. Tu factorización debe tener solo factores lineales. Cada raíz debe ser una expresión en a y b, así convertir cada raíz en una expresión con notación matemática involucrando\(\sqrt{3}\) y\(\sqrt{7}\text{.}\) Use una de las asignaciones para verificar que una de las raíces es efectivamente el elemento aleatorio original.

Crea algunos elementos aleatorios más, y encuentra una factorización (en N o en L). Para que un campo sea separable, cada elemento del campo debe ser una raíz de algún polinomio separable. El polinomio mínimo es un buen polinomio para probar. (¿Por qué?) Con base en la evidencia, ¿parece que\({\mathbb Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})\) es una extensión separable?

5

El ejercicio\(22.4.21\) describe el Mapa de Frobenius, un automorfismo de un campo finito. Si F es un campo finito en Sage, entonces End (F) creará el grupo de automorfismo de F, el conjunto de todas las asignaciones biyectivas entre el campo y él mismo.

1. Ejercicio de trabajo\(22.4.21\) para comprender cómo y por qué el mapeo de Frobenius es un automorfismo de campo. (No incluya nada de esto en su respuesta a esta pregunta, pero entienda que lo siguiente será mucho más fácil si hace este problema primero).
2. Para algunos campos pequeños, pero no triviales, finitos localizan el mapa de Frobenius en el grupo de automorfismo. Pequeño podría significar\(p=2,3,5,7\) y\(3\leq n\leq 10\text{,}\) con\(n\) primo versus compuesto.
3. Una vez que hayas localizado el mapa de Frobenius, describe los otros automorfismos. Es decir, con un poco de investigación, deberías encontrar una descripción de los automorfismos que te permitirá predecir con precisión todo el grupo de automorfismo para un campo finito que aún no has explorado. (Pista: el grupo de automorfismo es un grupo. ¿Y si “haces la operación” entre el mapa de Frobenius y él mismo? Justo ¿cuál es la operación? Intente usar la notación multiplicativa de Sage con los elementos del grupo de automorfismo.)
4. ¿Cuál es la “estructura” del grupo de automorfismo? ¿Qué estatus especial tiene el mapa de Frobenius en este grupo?
5. Para cualquier campo, el subcampo conocido como campo fijo es una construcción importante, y será especialmente importante en el siguiente capítulo. Dado un automorfismo\(\tau\) de un campo\(E\text{,}\) el subconjunto,\(K=\{b\in E\mid\tau(b)=b\}\text{,}\) puede mostrarse como un subcampo de\(E\text{.}\) Se conoce como el campo fijo de\(\tau\) en\(E\text{.}\) Para cada automorfismo de\(E=GF(3^6)\) identificar el campo fijo del automorfismo. Ya que entendemos la estructura de los subcampos de un campo finito, basta con determinar el orden del campo fijo para poder identificar el subcampo con precisión.

6

El ejercicio\(22.4.15\) sugiere que cada elemento de un campo finito puede escribirse (expresarse) como una suma de cuadrados. Este ejercicio sugiere experimentos computacionales que podrían ayudarle a formular una prueba para el ejercicio.

1. Construye dos campos pequeños, pero no demasiado pequeños, finitos, uno con\(p=2\) y el otro con un primo impar. Repita lo siguiente para cada campo,\(F\text{.}\)
2. Elija un elemento “aleatorio” del campo, digamos\(a\in F\text{.}\) Construye los conjuntos

   \ begin {align*} &\ {x^2|x\ en F\} &&\ {a-x^2|x\ en F\}\ end {align*}

   usando conjuntos de Sage con el\(Set()\) constructor. (Tenga cuidado: set () es un comando de Python que se comporta de manera diferente en formas fundamentales.)

3. Examine el tamaño de los dos conjuntos y el tamaño de su intersección (.intersección ()). Pruebe diferentes elementos para\(a\text{,}\) quizás escribir un bucle para probar todos los valores posibles. Tenga en cuenta que\(p=2\) se comportará de manera bastante diferente
4. Supongamos que tienes un elemento de la intersección. (Puede obtener uno con .an_element ().) ¿Cómo lleva esto a la suma de cuadrados propuestos en el ejercicio?
5. ¿Puedes escribir una función Python que acepte un campo finito cuyo orden es un poder de un primo impar y luego enumera cada elemento como una suma de cuadrados?