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23.5: Ejercicios

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    1

    Compute cada uno de los siguientes grupos de Galois. ¿Cuáles de estas extensiones de campo son extensiones de campo normales? Si la extensión no es normal, busque una extensión normal\({\mathbb Q}\) en la que esté contenido el campo de extensión.

    1. \(\displaystyle G({\mathbb Q}(\sqrt{30}\, ) / {\mathbb Q})\)
    2. \(\displaystyle G({\mathbb Q}(\sqrt[4]{5}\, ) / {\mathbb Q})\)
    3. \(\displaystyle G( {\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/ {\mathbb Q} )\)
    4. \(\displaystyle G({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, i) / {\mathbb Q})\)
    5. \(\displaystyle G({\mathbb Q}(\sqrt{6}, i) / {\mathbb Q})\)

    2

    Determinar la separabilidad de cada uno de los siguientes polinomios.

    1. \(x^3 + 2 x^2 - x - 2\)sobre\({\mathbb Q}\)
    2. \(x^4 + 2 x^2 + 1\)sobre\({\mathbb Q}\)
    3. \(x^4 + x^2 + 1\)sobre\({\mathbb Z}_3\)
    4. \(x^3 +x^2 + 1\)sobre\({\mathbb Z}_2\)

    3

    Dar el orden y describir un generador del grupo Galois de\(\gf(729)\) más\(\gf(9)\text{.}\)

    4

    Determinar los grupos Galois de cada uno de los siguientes polinomios en por\({\mathbb Q}[x]\text{;}\) lo tanto, determinar la solvabilidad por radicales de cada uno de los polinomios.

    1. \(\displaystyle x^5 - 12 x^2 + 2\)
    2. \(\displaystyle x^5 - 4 x^4 + 2 x + 2\)
    3. \(\displaystyle x^3 - 5\)
    4. \(\displaystyle x^4 - x^2 - 6\)
    5. \(\displaystyle x^5 + 1\)
    6. \(\displaystyle (x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
    7. \(\displaystyle x^8 - 1\)
    8. \(\displaystyle x^8 + 1\)
    9. \(\displaystyle x^4 - 3 x^2 -10\)

    5

    Encuentra un elemento primitivo en el campo de división de cada uno de los siguientes polinomios en\({\mathbb Q}[x]\text{.}\)

    1. \(\displaystyle x^4 - 1\)
    2. \(\displaystyle x^4 - 8 x^2 + 15\)
    3. \(\displaystyle x^4 - 2 x^2 - 15\)
    4. \(\displaystyle x^3 - 2\)

    6

    Demostrar que el grupo Galois de un polinomio cuadrático irreducible es isomórfico a\({\mathbb Z}_2\text{.}\)

    7

    Demostrar que el grupo Galois de un polinomio cúbico irreducible es isomórfico a\(S_3\) o\({\mathbb Z}_3\text{.}\)

    8

    \(F \subset K \subset E\)Dejen ser campos. Si\(E\) es una extensión normal de\(F\text{,}\) espectáculo que también\(E\) debe ser una extensión normal de\(K\text{.}\)

    9

    \(G\)Sea el grupo Galois de un polinomio de grado\(n\text{.}\) Demostrar que\(|G|\) divide\(n!\text{.}\)

    10

    Let\(F \subset E\text{.}\)\(f(x)\) If es solucionable sobre\(F\text{,}\) mostrar que también\(f(x)\) es solucionable sobre\(E\text{.}\)

    11

    Construir un polinomio\(f(x)\) en\({\mathbb Q}[x]\) grado\(7\) que no sea solucionable por radicales.

    12

    \(p\)Déjese ser prime. Demostrar que existe un polinomio\(f(x) \in{\mathbb Q}[x]\) de grado\(p\) con grupo Galois isomórfico para\(S_p\text{.}\) Concluir que para cada primo\(p\) con\(p \geq 5\) existe un polinomio de grado\(p\) que no es solucionable por radicales.

    13

    \(p\)Sea un primo y\({\mathbb Z}_p(t)\) sea el campo de las funciones racionales sobre\({\mathbb Z}_p\text{.}\) Demostrar que\(f(x) = x^p - t\) es un polinomio irreducible en\({\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}\) Show que no\(f(x)\) es separable.

    14

    Dejar\(E\) ser un campo de extensión de\(F\text{.}\) Supongamos que\(K\) y\(L\) son dos campos intermedios. Si existe un elemento\(\sigma \in G(E/F)\) tal que\(\sigma(K) = L\text{,}\) entonces\(K\) y\(L\) se dice que son campos conjugados. Demostrar que\(K\) y\(L\) son conjugados si y sólo si\(G(E/K)\) y\(G(E/L)\) son subgrupos conjugados de\(G(E/F)\text{.}\)

    15

    Vamos\(\sigma \in \aut( {\mathbb R} )\text{.}\) Si\(a\) es un número real positivo, demuestre que\(\sigma( a) > 0\text{.}\)

    16

    \(K\)Sea el campo de división de\(x^3 + x^2 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Demostrar o desmentir que\(K\) es una extensión por radicales.

    17

    Que\(F\) sea un campo tal que\(\chr(F) \neq 2\text{.}\) Demostrar que el campo de división de\(f(x) = a x^2 + b x + c\) es\(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) donde\(\alpha = b^2 - 4ac\text{.}\)

    18

    Demostrar o desacreditar: Dos subgrupos diferentes de un grupo Galois tendrán diferentes campos fijos.

    19

    Dejar\(K\) ser el campo de división de un polinomio sobre\(F\text{.}\) Si\(E\) es una extensión de campo de\(F\) contenido en\(K\) y\([E:F] = 2\text{,}\) luego\(E\) es el campo de división de algún polinomio en\(F[x]\text{.}\)

    20

    Sabemos que el polinomio ciclotómico

    \[ \Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1 \nonumber \]

    es irreducible\({\mathbb Q}\) por cada prime\(p\text{.}\) Let\(\omega\) be a zero of\(\Phi_p(x)\text{,}\) and consider the field\({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)

    1. Demostrar que\(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}\) son ceros distintos de\(\Phi_p(x)\text{,}\) y concluir que son todos los ceros de\(\Phi_p(x)\text{.}\)
    2. Demostrar que\(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es abeliano de orden\(p - 1\text{.}\)
    3. Mostrar que el campo fijo de\(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es\({\mathbb Q}\text{.}\)

    21

    Dejar\(F\) ser un campo finito o un campo de cero característico. Dejar\(E\) ser una extensión normal finita de\(F\) con grupo Galois\(G(E/F)\text{.}\) Demostrar que\(F \subset K \subset L \subset E\) si y solo si\(\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}\)

    22

    Dejar\(F\) ser un campo de cero característico y dejar\(f(x) \in F[x]\) ser un polinomio separable de grado\(n\text{.}\) Si\(E\) es el campo de división de\(f(x)\text{,}\) dejar\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) ser las raíces de\(f(x)\) en\(E\text{.}\) Let\(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Definimos el discriminante de \(f(x)\)ser\(\Delta^2\text{.}\)

    1. Si\(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) mostrar que\(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)
    2. Si\(f(x) = x^3 + p x + q\text{,}\) mostrar que\(\Delta^2 = - 4p^3 - 27q^2\text{.}\)
    3. Demostrar que\(\Delta^2\) está en\(F\text{.}\)
    4. Si\(\sigma \in G(E/F)\) es una transposición de dos raíces de\(f(x)\text{,}\) mostrar que\(\sigma( \Delta ) = -\Delta\text{.}\)
    5. Si\(\sigma \in G(E/F)\) es una permutación uniforme de las raíces de\(f(x)\text{,}\) mostrar que\(\sigma( \Delta ) = \Delta\text{.}\)
    6. Demostrar que\(G(E/F)\) es isomórfico a un subgrupo de\(A_n\) si y solo si\(\Delta \in F\text{.}\)
    7. Determinar los grupos Galois de\(x^3 + 2 x - 4\) y\(x^3 + x -3\text{.}\)

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