23.7: Salvia

Nuevamente, nuestra competencia para examinar campos con Sage nos permitirá estudiar fácilmente los conceptos principales de la Teoría Galois. Examinaremos a fondo el Ejemplo 7 cuidadosamente usando nuestras herramientas computacionales.

Grupos Galois

Repetiremos Ejemplo\(23.25\) y analizaremos cuidadosamente el campo de división del polinomio\(p(x)=x^4-2\text{.}\) Comenzamos con una extensión de campo inicial que contiene al menos una raíz.

El método.galois_closure () creará una extensión que contiene todas las raíces del polinomio definitorio de un campo numérico.

De la factorización, es claro que L es el campo de división del polinomio, aunque la factorización no sea bonita. Es fácil entonces obtener el grupo Galois de esta extensión de campo.

Podemos examinar este grupo, e identificarlo. Observe que dado que el campo es una\(8\) extensión de grado, el grupo se describe como un grupo de permutación en\(8\) símbolos. (Es sólo una coincidencia que el grupo tenga\(8\) elementos.) Con una escasez de grupos no abelianos de orden no\(8\text{,}\) es difícil adivinar la naturaleza del grupo.

Eso es. Pero tal vez no muy satisfactorio. Profundicemos más para una mayor comprensión. Empezaremos de nuevo y crearemos el campo de división de\(p(x)=x^4-2\) nuevo, pero la principal diferencia es que haremos que las raíces sean extremadamente obvias para que podamos trabajar más cuidadosamente con el grupo Galois y los campos fijos. En el camino, veremos otro ejemplo de álgebra lineal habilitando ciertos cálculos. La siguiente construcción ya debería ser familiar.

Lo importante a notar aquí es que hemos dispuesto el campo de división para que las cuatro raíces, a, -a, b, -b, sean funciones muy simples de los generadores. En la notación más tradicional, a is\(2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}\text{,}\) y b is\(2^{\frac{1}{4}}i=\sqrt[4]{2}i\) (o sus negativos).

Nos resultará más fácil calcular en la torre aplanada, una construcción ahora familiar.

Podemos regresar a nuestro polinomio original (sobre los racionales), y pedir sus raíces en la torre aplanada, diseñada a medida para contener estas raíces.

Hmmm. ¿Esos se ven bien? Si miras hacia atrás a la factorización obtenida en el campo construido con el método.galois_closure (), entonces se ven bien. Pero podemos hacerlo mejor.

Sí, esas son las raíces.

El comando End () creará el grupo de automorfismos del campo L.

Podemos comprobar que cada uno de estos automorfismos fija los números racionales elementwise. Si un homomorfismo de campo corrige 1, entonces arreglará los enteros, y así arreglará todas las fracciones de enteros.

Entonces cada elemento de G fija los racionales elementales y así G es el grupo Galois del campo de división L sobre los racionales.

La proposición\(23.5\) es fundamental. Dice que cada automorfismo en el grupo Galois de una extensión de campo crea una permutación de las raíces de un polinomio con coeficientes en el campo base. Tenemos todos esos ingredientes aquí. Entonces evaluaremos cada automorfismo del grupo Galois en cada una de las cuatro raíces de nuestro polinomio, que en cada caso debería ser otra raíz. (Utilizamos el constructor Sequence () solo para obtener una salida bien alineada.)

Cada fila de la salida es una lista de las raíces, pero permutadas, y así corresponde a una permutación de cuatro objetos (las raíces). Por ejemplo, la segunda fila muestra el segundo automorfismo intercambiando a con -a, y b con -b. (Observe que la primera fila es el resultado del automorfismo identitario, por lo que podemos cominar mentalmente la primera fila con cualquier otra fila para imaginar una forma de “dos filas” de una permutación). Podemos numerar las raíces, del 1 al 4, y crear cada permutación como un elemento de\(S_4\text{.}\) Es exagerado, pero luego podemos construir el grupo de permutación dejando que todos estos elementos generen un grupo.

Observe que ahora hemos construido un isomorfismo del grupo Galois a un grupo de permutaciones usando solo cuatro símbolos, en lugar de los ocho utilizados anteriormente.

Campos Fijos

En un ejercicio anterior de Sage, calculamos los campos fijos de automorfismos de campo único para campos finitos. Esto fue “fácil” en el sentido de que solo podíamos probar cada elemento del campo para ver si estaba arreglado, ya que el campo era finito. Ahora tenemos una extensión de campo infinita. ¿Cómo vamos a determinar qué elementos se fijan mediante automorfismos individuales, o subgrupos de automorfismos?

La respuesta es utilizar la estructura espacial vectorial de la torre aplanada. Como\(8\) extensión de grado de los racionales, los primeros\(8\) poderes del elemento primitivo c forman una base cuando el campo es visto como un espacio vectorial con los racionales como los escalares. Basta con saber cómo se comporta cada automorfismo de campo sobre esta base para especificar completamente la definición del automorfismo. A saber,

\ begin {align*}\ tau (x) &=\ tau\ left (\ sum_ {i=0} ^7\, q_ic^i\ right) &&q_i\ in {\ mathbb Q}\\ &=\ sum_ {i=0} ^7\,\ tau (q_i)\ tau (c^i) &&\ tau\ text {es un campo automorfiado sm}\\ &=\ sum_ {i=0} ^7\, q_i\ tau (c^i) &&\ text {los racionales son fijos}\ end {align*}

Así podemos calcular el valor de un automorfismo de campo en cualquier combinación lineal de potencias del elemento primitivo como una combinación lineal de los valores del automorfismo de campo en solo las potencias del elemento primitivo. Esto se conoce como la “base de poder”, que podemos obtener simplemente con el método .power_basis (). Comenzaremos con un ejemplo de cómo podemos usar esta base. Ilustraremos con el cuarto automorfismo del grupo Galois. Observe que el método.vector () es una conveniencia que despoja una combinación lineal de las potencias de c en un vector de solo los coeficientes. (Observe también que\(\tau\) está totalmente definido por el valor de\(\tau(c)\text{,}\) ya como un automorfismo de campo\(\tau(c^k)=(\tau(c))^k\text{.}\) Sin embargo, todavía necesitamos trabajar con toda la base de poder para explotar la estructura espacial vectorial.)

La última línea expresa el hecho de que tau_matrix es una representación matricial del automorfismo de campo, visto como una transformación lineal de la estructura espacial vectorial. Como representación de un homomorfismo de campo invertible, la matriz es invertible. Como\(2\) permutación de orden de las raíces, la inversa de la matriz es en sí misma. Pero estos hechos son solo verificaciones de que tenemos lo correcto, nos interesan otras propiedades.

Para construir campos fijos, queremos encontrar elementos fijos por automorfismos. Continuando con tau desde arriba, buscamos elementos z (escritos como vectores) tales que tau_matrix*z=z. Estos son vectores propios para el valor propio\(1\text{,}\) o elementos del espacio nulo de (tau_matrix - I) (los espacios nulos se obtienen con .right_kernel () en Sage).

Cada fila de la matriz base es un vector que representa un elemento del campo, específicamente 1, c + (1/38) *c^5, c^2 - (1/22) *c^6, c^3 + (1/278) *c^7. Echemos un vistazo más de cerca a estos elementos fijos, en términos que reconocemos.

Cualquier elemento fijado por tau será una combinación lineal de estos cuatro elementos. Podemos ignorar cualquier múltiplo racional presente, el primer elemento es simplemente decir que los racionales son fijos, y el último elemento es solo un producto de los dos medios. Entonces fundamentalmente tau está arreglando los racionales, b (que es\(\sqrt[4]{2}i\)) y a^2 (que es\(\sqrt{2}\)). Además, b^2 = -a^2 (la comprobación sigue), por lo que podemos crear cualquier elemento fijo de tau simplemente colindando b =\(\sqrt[4]{2}i\) a los racionales. Entonces los elementos fijados por tau son\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}i)\text{.}\)

Correspondencia de Galois

Toda la estructura de subcampos de nuestro campo de división está determinada por la estructura de subgrupos del grupo Galois (Teorema\(23.23\)), que es isomórfica a un grupo que conocemos bien. ¿Cuáles son los subgrupos de nuestro grupo Galois, expresados como grupos de permutación? (Por brevedad, solo enumeramos los generadores de cada subgrupo.)

tau anterior es el cuarto elemento del grupo de automorfismo, y la cuarta permutación en elementos es la permutación (2,3), el generador (de orden 2) para el segundo subgrupo. Entonces como único elemento no trivial de este subgrupo, sabemos que el campo fijo correspondiente es\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}i)\text{.}\)

Analicemos otro subgrupo de orden 2, sin toda la explicación, y comenzando por el subgrupo. El sexto subgrupo es generado por el quinto automorfismo, así que determinemos los elementos que son fijos.

El primer elemento indica que los racionales son fijos (eso sabíamos). Escalar el segundo elemento da b - a como un elemento fijo. Escalando el tercer y cuarto elementos fijos, reconocemos que pueden obtenerse a partir de potencias de b - a.

Entonces el campo fijo de este subgrupo se puede formar colindando b - a a los racionales, que en notación matemática es\(\sqrt[4]{2}i - \sqrt[4]{2} = (1-i)\sqrt[4]{2}\text{,}\) así el campo fijo es\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}i - \sqrt[4]{2}) = {\mathbb Q}((1-i)\sqrt[4]{2})\text{.}\)

Podemos crear este campo fijo, aunque como se crea aquí no es estrictamente un subcampo de L. Usaremos una expresión para b - a que es una combinación lineal de potencias de c.

El método.subfield () devuelve un par. El primer ítem es un nuevo campo numérico, isomórfico a un subcampo de L. El segundo ítem es un mapeo de inyección desde el nuevo campo numérico a L. En este caso, la imagen del elemento primitivo c0 es el elemento que hemos especificado como generador del subcampo. El elemento primitivo del nuevo campo satisfará el polinomio definitorio\(x^4+8\) — se puede comprobar que de hecho\((1-i)\sqrt[4]{2}\) es una raíz del polinomio\(x^4 + 8\text{.}\)

Hay cinco subgrupos de orden\(2\text{,}\) que hemos encontrado campos fijos para dos de ellos. Los otros tres son similares, por lo que sería un buen ejercicio trabajar a través de ellos. Nuestro grupo de automorfismo tiene tres subgrupos de orden 4, y al menos uno de cada tipo posible (cíclico versus no cíclico). Los campos fijos de subgrupos más grandes requieren que encontremos elementos fijos por todos los automorfismos del subgrupo. (Estuvimos convenientemente ignorando el automorfismo identitario anterior.) Esto requerirá más cómputos, pero restringirá las posibilidades (campos más pequeños) a donde será más fácil deducir un elemento primitivo para cada campo.

El séptimo subgrupo es generado por dos elementos de orden\(2\) y está compuesto enteramente por elementos de orden\(2\) (excepto la identidad), por lo que es isomórfico a\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_2\text{.}\) Las permutaciones corresponden a los automorfismos número 0, 1, 3 y 6. Para determinar los elementos fijados por los cuatro automorfismos, construiremos el kernel para cada uno y a medida que avanzamos, formaremos la intersección de los cuatro núcleos. Trabajaremos a través de un bucle sobre los cuatro automorfismos.

Fuera de los racionales, hay un solo elemento fijo.

Eliminando un múltiplo escalar, nuestro elemento primitivo es a^2, que matemáticamente es\(\sqrt{2}\text{,}\) así que el campo fijo es\({\mathbb Q}(\sqrt{2})\text{.}\) De nuevo, podemos construir este campo fijo, pero ignorar el mapeo.

Un subgrupo más. El penúltimo subgrupo tiene una permutación de orden 4 como generador, por lo que es un grupo cíclico de orden 4. Las permutaciones individuales del subgrupo corresponden a los automorfismos 0, 1, 2, 7.

Entonces calculamos el elemento primitivo.

Dado que los racionales son fijos, podemos eliminar el\(-14\) y el múltiplo y tomar a^3*b como elemento primitivo. Matemáticamente, esto es\(2i\text{,}\) así que bien podríamos usar así\(i\) como el elemento primitivo y el campo fijo es Entonces\({\mathbb Q}(i)\text{.}\) podemos construir el campo fijo (e ignorar el mapeo también devuelto).

Hay un subgrupo más de orden\(4\text{,}\) que dejaremos como ejercicio para analizar. También hay dos subgrupos triviales (la identidad y el grupo completo) que no son muy interesantes ni sorprendentes.

Si lo anterior parece demasiado trabajo, siempre puedes hacer que Sage lo haga todo con el método.subfields ().

Se describen diez subcampos, que es lo que esperaríamos, dados los 10 subgrupos del grupo Galois. Cada uno comienza con un nuevo campo numérico que es un subcampo. Técnicamente, cada uno no es un subconjunto de L, pero el segundo elemento devuelto para cada subcampo es un homomorfismo por inyección, también conocido generalmente como “incrustación”. Cada incrustación describe cómo un elemento primitivo del subcampo se traduce en un elemento de L. Algunos de estos elementos primitivos podrían ser manipulados (como hemos hecho anteriormente) para producir polinomios mínimos ligeramente más simples, pero los resultados son bastante impresionantes sin embargo. Cada ítem de la lista tiene un tercer componente, que casi siempre es Ninguno, excepto cuando el subcampo es todo el campo, y entonces el tercer componente es un homomorfismo inyectivo “en la otra dirección”.

Extensiones Normales

Considera el tercer subgrupo de la lista anterior, generado por la permutación (1,4). Como subgrupo de orden\(2\text{,}\) sólo tiene un elemento no trivial, que aquí corresponde al séptimo automorfismo. Determinamos los elementos fijos como antes.

Como de costumbre, ignorando múltiplos racionales, vemos poderes de a y reconocemos que un solo será un elemento primitivo para el campo fijo, que es así\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2})\text{.}\) Reconocer que a fue nuestra primera raíz de\(x^4-2\text{,}\) y se utilizó para crear la primera parte de la torre original, N. Entonces N es tanto\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2})\) y el campo fijo de\(H=\langle(1,4)\rangle\text{.}\)

\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2})\)contiene al menos una raíz de las raíces irreducibles\(x^4-2\text{,}\) pero no todas (atestiguar la factorización anterior) y por lo tanto no califica como extensión normal. Por parte (4) del Teorema\(23.23\) el grupo de automorfismo de la extensión no es normal en el grupo completo de Galois.

Como se esperaba.