2.3: La definición de un grupo

En este punto puede que te estés preguntando, ¿por qué nos importa? Hemos cubierto muchas definiciones y probado algunos teoremas, pero ¿cuál es el objetivo de todo esto? Bueno, en realidad hay muchos objetivos que podemos lograr usando dicho material. Considera lo siguiente como ejemplo. Supongamos que queremos resolver la ecuación Probablemente\(5+x=2\text{.}\) podamos resolver esto con bastante facilidad casi con solo mirarlo (\(x=-3\)), pero ¿qué hechos estamos usando realmente ahí? Si desglosamos el razonamiento que lleva a esta respuesta, podemos obtener algo como lo siguiente, donde cada línea es equivalente a la que la precede.

\(\begin{array} &5+x& =2 \\ -5+(5+x)& =-5+2\\ (-5+5)+x & =-3\\ 0+x& =-3\\ x& =-3. \end{array}\)

En la segunda línea agregamos la inversa de\(5\) in\(\langle \mathbb{Z}, +\rangle\) a cada lado de la ecuación; en la tercera línea usamos la asociatividad de\(+\) in\(\mathbb{Z}\) (junto con el cálculo); y en la cuarta línea usamos el hecho de que\(-5\) es la inversa aditiva de\(5\) (es decir, la inversa de \(5\)en\(\mathbb{Z}\) bajo\(+\)). Finalmente, utilizamos el hecho de que\(0\) es un elemento de identidad aditivo en\(\mathbb{Z}\) (es decir, el elemento de identidad en\(\mathbb{Z}\) bajo\(+\)).

En resumen, utilizamos asociatividad, elementos de identidad e inversos in\(\mathbb{Z}\) para resolver la ecuación dada. Esto quizás sugiere que estos serían rasgos útiles para tener una estructura binaria y/o su operación. De hecho, son tan útiles que a una estructura binaria que muestra estas características se le da un nombre especial. Observamos que estos axiomas son bastante fuertes; “la mayoría” de las estructuras binarias no son grupos.

Definición: Axiomas grupales

Un grupo es un conjunto\(G\text{,}\) equipado con una operación binaria\(*\text{,}\) que satisface los siguientes tres axiomas de grupo:

1. \(*\)es asociativo en\(G\text{.}\) (Axioma\(\mathcal{G}_1\))
2. Existe un elemento de identidad para\(*\) en\(G\text{.}\) (Axioma\(\mathcal{G}_2\))
3. Cada elemento\(a\in G\) tiene una inversa en\(G\text{.}\) (Axioma\(\mathcal{G}_3\))

Denotamos grupo\(G\) bajo\(*\) por la notación de estructura binaria\(\langle G,*\rangle\text{,}\) o simplemente por\(G\) si la operación\(*\) es conocida por contexto (o no necesita conocerse en la situación actual).

Observación

Al demostrar/desacreditar que un conjunto\(G\) es/no es un grupo bajo una operación (aparente)\(*\text{:}\)

• Lo primero que debes hacer es verificar para asegurarte de que\(\langle G,*\rangle\) es una estructura binaria: es decir, debes asegurarte de que\(a*b\) esté bien definida y adentro\(G\) para cada\(a, b \in G\text{.}\) Si este no es el caso, no tiene sentido verificar para ver si axiomas\(\mathcal{G}_1\) —\(\mathcal{G}_3\) mantener). (Por ejemplo: no\(\mathbb{Z}^*\) tiene ninguna posibilidad de ser un grupo bajo\(\div\text{,}\) desde, por ejemplo,\(3,4\in \mathbb{Z}^*\) pero\(3 \div 4 \not\in\mathbb{Z}^*\text{.}\))
• Nunca debes verificar\(\mathcal{G}_3\) antes de confirmar las\(\mathcal{G}_2\) retenciones, porque no tiene sentido buscar inversos si no has confirmado que\(G\) contenga un elemento de identidad bajo\(*\text{.}\)