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LibreTexts Español

2.5: Convenciones y Propiedades de Grupo

  • Page ID
    116014
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    Antes de discutir más ejemplos, presentamos un teorema y observamos algunas convenciones que seguimos y la notación que usamos al discutir grupos en general; también discutimos algunas propiedades de los grupos.

    2.5.1: Algunos Convenios de Grupo

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    El elemento de identidad de un grupo es único (por Teorema 2.1.9), y dado cualquier elemento\(a\) de un grupo,\(G\text{,}\) la inversa de\(a\) in\(G\) es única (por Teorema\(2.1.2\)).

    Nota

    Si bien está escrito en lo que llamamos notación multiplicativa, no asumamos que\(a^{-1}\) es lo que solemos pensar como un inverso multiplicativo para\(a\text{;}\) recordar, ¡ni siquiera sabemos si los elementos de un grupo son números! El tipo de inverso que\(a^{-1}\) es (¿un inverso multiplicativo para un número real? ¿una inversa aditiva para un número real? un inverso multiplicativo para una matriz? una función inversa para una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\text{?}\)) depende\(G\) de ambos elementos y su funcionamiento.

    Nota

    ¡Ten cuidado de saber siempre dónde vive un elemento con el que estás trabajando! Por ejemplo, si, como arriba,\(n\in \mathbb{Z}^+\) y\(a\) es un elemento de grupo,\(-n\) y\(-a\) se ven similares pero puede significar cosas muy diferentes. Si bien\(-n\) es un entero negativo,\(-a\) puede ser la inversa aditiva de una matriz en\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\) la inversa aditiva\(2\) del número\(4\) en\(\mathbb{Z}_6\text{,}\) o incluso algo completamente ajeno a los números.

    Resumimos la notación multiplicativa versus suma en la siguiente tabla, donde\(a,b\) están los elementos de un grupo\(G\text{.}\)

    Cuadro 2.5.1: Resumen de la Notación Multiplicativa y de Adición en Grupos.
      Notación Multiplicativa Notación aditiva
    Notación de Operación \(\cdot\) \(+\)
    \(a\)operado con\(b\) \(ab\) \(a+b\)
    Elemento Identidad \(e\)o\(e_G\) (o\(1\)) \(e\)o\(e_G\) (o\(0\))
    Inverso de\(a\) \(a^{-1}\) \(-a\)

    Finalmente:

     

    2.5.2: Algunas propiedades de grupo

    Si bien no necesitamos preocuparnos por el “orden” al multiplicar un elemento grupal\(a\) por sí mismo, sí tenemos que preocuparnos por ello en general.

    Nota

    ¡Las operaciones grupales no necesitan ser conmutativas!

    Definición: Abeliano y Nonabeliano

    Se dice que un grupo\(\langle G, \cdot\,\rangle\) es abeliano si\(ab=ba\) para todos\(a,b\in G\text{.}\) De lo contrario,\(G\) es nonabeliano. (La palabra “abeliano” deriva del apellido del matemático Niels Henrik Abel.)

    Definición: Orden, Grupo Finito y Grupo Infinito

    Si\(G\) es un grupo, entonces la cardinalidad\(|G|\) de\(G\) se llama el orden de\(G\). Si\(|G|\) es finito, entonces\(G\) se dice que es un grupo finito; de lo contrario, es un grupo infinito.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    De los grupos que hemos discutido, ¿cuáles son abelianos? ¿Cuáles son infinitos/finitos?

    Ya hemos visto que los elementos de identidad de los grupos son únicos, y que cada elemento\(a\) de un grupo\(G\) tiene una inversa única\(a^{-1}\in G\text{.}\) Aquí hay algunas otras propiedades básicas de los grupos.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\langle G, \cdot \rangle\) es un grupo, entonces las leyes de cancelación izquierda y derecha se mantienen en Es\(G\text{.}\) decir, si\(a,b,c\in G\text{,}\) entonces

    1. Si\(ab=ac\text{,}\) tenemos\(b=c\) (la ley de cancelación izquierda); y
    2. Si\(ba=ca\text{,}\) tenemos\(b=c\) (la ley de cancelación correcta).
    Prueba

    Dejemos\(a,b,c∈G\) y asumamos eso\(ab=ac\). Multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por\(a^{−1}\), obtenemos

    \(\begin{array}& &2 & &a^{−1}(ab)=a^{−1}(ac) \\ & &\Rightarrow &(a^{−1}a)b=(a^{−1}a)c \\ & &\Rightarrow &eb=ec \\ & &\Rightarrow &b=c  \end{array}\)

    Esto prueba que la ley de cancelación de izquierda sostiene. Una prueba similar muestra que la ley de cancelación del derecho sostiene.

    Nota

    ¡Solo por necesidad tenemos\((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\) si\(G\) se sabe que es abeliano!

    Sin embargo, sí tenemos lo siguiente:

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

     
    Prueba

    Tenemos eso

     

    \((ab)(b^{−1}a^{−1})=a(bb^{−1})a^{−1}=aea^{−1}=aa^{−1}=e\)

    Del mismo modo, (b−1a−1) (ab) =e.

     


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