2.5: Convenciones y Propiedades de Grupo

Nota

Generalmente usaremos\(e\) o\(e_G\) como nuestra notación predeterminada para un elemento de identidad de grupo, pero tenga en cuenta que muchos matemáticos denotan el elemento de identidad de un grupo por 1. Denotamos la inversa del elemento\(a\) en\(G\) por\(a^{-1}\text{.}\)

Nota

Si bien está escrito en lo que llamamos notación multiplicativa, no asumamos que\(a^{-1}\) es lo que solemos pensar como un inverso multiplicativo para\(a\text{;}\) recordar, ¡ni siquiera sabemos si los elementos de un grupo son números! El tipo de inverso que\(a^{-1}\) es (¿un inverso multiplicativo para un número real? ¿una inversa aditiva para un número real? un inverso multiplicativo para una matriz? una función inversa para una función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{R}\text{?}\)) depende\(G\) de ambos elementos y su funcionamiento.

Nota

Por lo general, no usamos la notación\(*\) al describir las operaciones grupales. En cambio, usamos el símbolo de multiplicación\(\cdot\) para la operación en un grupo arbitrario, y llamamos a aplicar la operación “multiplicar”, ¡aunque la operación no sea “multiplicación” en el sentido no abstracto y tradicional! En realidad puede ser adición de números reales, composición de funciones, etc. Además, cuando realmente\(\langle G, \cdot\,\rangle\text{,}\) operamos en un grupo normalmente omitimos el\(\cdot\). Es decir, porque\(a,b\in G\text{,}\) escribimos el producto\(a\cdot b\) como\(ab\text{.}\) Nosotros llamamos a esto el “producto” de\(a\) y\(b\text{.}\)

Por cada elemento\(a\) en un grupo\(\langle G, \cdot \rangle\) y\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) usamos la expresión\(a^n\) para denotar el producto

\ begin {ecuación*} a\ cdot a\ cdot\ cdot\ cdots\ cdot a\ end {ecuación*}

de\(n\) copies of \(a\text{,}\) and \(a^{-n}\) to denote \((a^{-1})^n\) (that is, the product of \(n\) copies of \(a^{-1}\)). Finally, we define \(a^0\) to be \(e\text{.}\) Note that our “usual” rules for exponents then hold in an arbitrary group: that is, if \(a\) is in group \(\langle G, \cdot\,\rangle\) and \(m,n\in \mathbb{Z}\text{,}\) entonces\(a^m a^n = a^{m+n}\) and \((a^m)^n=a^{mn}=(a^n)^m\text{.}\)

Sin embargo:

Cuando sabemos que nuestra operación es conmutativa, normalmente usamos notación aditiva, denotando la operación de grupo\(+\text{,}\) llamando a la operación de grupo “suma”, y denotando la inversa de un elemento\(a\) por\(-a\text{.}\) Cuando usamos notación aditiva, no omitimos el\(+\) when operando en un grupo\(\langle G,+\rangle\text{,}\) y llamamos\(a+b\) una suma en lugar de un producto. Además, cuando se trabaja con una operación que se sabe que es conmutativa, el elemento de identidad puede ser denotado por 0 en lugar de por\(e\text{,}\)\(e_G\text{,}\) o 1, y para\(n\in \mathbb{N}\text{,}\) escribimos\(na\) en lugar de\(a^n\text{.}\)

Finalmente, tenga en cuenta que\((-n)a=n(-a)=-(na)\) (donde\(-a\) e\(-(na)\) indicar las inversas aditivas de\(a\) y\(na\text{,}\) respectivamente); por lo tanto, podemos usar inequívocamente la notación\(-na\) para este elemento. Usando esta notación, tenga en cuenta que para\(m\in \mathbb{Z}\text{,}\)\(na+ma=(n+m)a\) y\(n(ma)=(nm)a\text{.}\)

Nota

¡Ten cuidado de saber siempre dónde vive un elemento con el que estás trabajando! Por ejemplo, si, como arriba,\(n\in \mathbb{Z}^+\) y\(a\) es un elemento de grupo,\(-n\) y\(-a\) se ven similares pero puede significar cosas muy diferentes. Si bien\(-n\) es un entero negativo,\(-a\) puede ser la inversa aditiva de una matriz en\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\) la inversa aditiva\(2\) del número\(4\) en\(\mathbb{Z}_6\text{,}\) o incluso algo completamente ajeno a los números.

Observación

La notación multiplicativa se puede usar cuando se trabaja con cualquier grupo arbitrario, mientras que la notación aditiva debe usarse solo cuando se trabaja con un grupo cuya operación binaria es conmutativa.

Resumimos la notación multiplicativa versus suma en la siguiente tabla, donde\(a,b\) están los elementos de un grupo\(G\text{.}\)

Cuadro 2.5.1: Resumen de la Notación Multiplicativa y de Adición en Grupos.
	Notación Multiplicativa	Notación aditiva
Notación de Operación	\(\cdot\)	\(+\)
\(a\)operado con\(b\)	\(ab\)	\(a+b\)
Elemento Identidad	\(e\)o\(e_G\) (o\(1\))	\(e\)o\(e_G\) (o\(0\))
Inverso de\(a\)	\(a^{-1}\)	\(-a\)

Nota

Nosotros usamos la notación\(*\) cuando el uso de notación multiplicativa o aditiva conduciría a confusión. Por ejemplo, si queremos definir una operación sobre la\(\mathbb{Q}^*\) que asigne emparejar\((a,b)\) la cantidad\(ab/2\text{,}\) sería imprudente usar notación multiplicativa o aditiva para esta operación ya que ya tenemos significados convencionales de\(ab\) y\(a+b\text{.}\) De igual manera, no denotaríamos el elemento de identidad de\(\mathbb{Q}^*\) bajo esta operación por\(0\) o\(1\text{,}\) desde que el elemento de identidad en este grupo es el número racional\(2\text{,}\) y la escritura\(0=2\) o se\(1=2\) vería raro.

Finalmente:

Nota

Si hay una notación por defecto para una operación en particular (digamos,\(\circ\) para la composición de funciones) o elemento de identidad (digamos,\(I_n\) in\(GL(n,\mathbb{R})\)) usualmente usamos esa notación en su lugar.

2.5.2: Algunas propiedades de grupo

Si bien no necesitamos preocuparnos por el “orden” al multiplicar un elemento grupal\(a\) por sí mismo, sí tenemos que preocuparnos por ello en general.

Nota

¡Las operaciones grupales no necesitan ser conmutativas!

Definición: Abeliano y Nonabeliano

Se dice que un grupo\(\langle G, \cdot\,\rangle\) es abeliano si\(ab=ba\) para todos\(a,b\in G\text{.}\) De lo contrario,\(G\) es nonabeliano. (La palabra “abeliano” deriva del apellido del matemático Niels Henrik Abel.)

Observación

Si sabemos que una operación binaria\(\cdot\) en un conjunto\(G\) es conmutativa, entonces al verificar para ver si axiomas\(\mathcal{G}_2\) y\(\mathcal{G}_3\) hold solo necesitamos verificar que existe\(e\in G\) tal que\(ae=a\) (no necesitamos verificar eso\(ea=a\)) para todos\(a\in G\) y eso para cada\(a\in G\) existe\(b\in G\) tal que\(ab=e\) (no necesitamos verificar eso\(ba=e\)).

Observación

Si no se sabe que\(G\) es abeliano, debemos tener cuidado al multiplicar elementos de entre sí: multiplicar a la izquierda no es, en general, ¡lo mismo que multiplicar\(G\) por la derecha!

Definición: Orden, Grupo Finito y Grupo Infinito

Si\(G\) es un grupo, entonces la cardinalidad\(|G|\) de\(G\) se llama el orden de\(G\). Si\(|G|\) es finito, entonces\(G\) se dice que es un grupo finito; de lo contrario, es un grupo infinito.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

De los grupos que hemos discutido, ¿cuáles son abelianos? ¿Cuáles son infinitos/finitos?

Ya hemos visto que los elementos de identidad de los grupos son únicos, y que cada elemento\(a\) de un grupo\(G\) tiene una inversa única\(a^{-1}\in G\text{.}\) Aquí hay algunas otras propiedades básicas de los grupos.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(\langle G, \cdot \rangle\) es un grupo, entonces las leyes de cancelación izquierda y derecha se mantienen en Es\(G\text{.}\) decir, si\(a,b,c\in G\text{,}\) entonces

Si\(ab=ac\text{,}\) tenemos\(b=c\) (la ley de cancelación izquierda); y
Si\(ba=ca\text{,}\) tenemos\(b=c\) (la ley de cancelación correcta).

Prueba

Dejemos\(a,b,c∈G\) y asumamos eso\(ab=ac\). Multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por\(a^{−1}\), obtenemos

\(\begin{array}& &2 & &a^{−1}(ab)=a^{−1}(ac) \\ & &\Rightarrow &(a^{−1}a)b=(a^{−1}a)c \\ & &\Rightarrow &eb=ec \\ & &\Rightarrow &b=c \end{array}\)

Esto prueba que la ley de cancelación de izquierda sostiene. Una prueba similar muestra que la ley de cancelación del derecho sostiene.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejemos\(\langle G, \cdot \rangle\) ser un grupo y dejar\(a,b\in G\text{.}\) Entonces existen elementos únicos\(x,y\in G\) tales que\(ax=b\) y\(ya=b\text{.}\)

Prueba: Si\(x=a^{−1}b\) y\(y=ba^{−1}\), entonces\(ax=a(a^{-1}b)=(aa^{−1})b=eb=b\) y\(ya=(ba^{−1})a=b(a^{−1}a)=be=b\). Entonces tales elementos\(x\) y\(y\) existen. El hecho de que sean únicos se desprende de las leyes de cancelación: si\(ax=b\) y\(ax′=b\) luego\(x=x′\) por cancelación izquierda, y si\(ya=b\) y\(y′a=b\) luego\(y=y′\) por cancelación derecha.

Nota

¡Solo por necesidad tenemos\((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\) si\(G\) se sabe que es abeliano!

Sin embargo, sí tenemos lo siguiente:

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(a\) y\(b\) son elementos de un grupo\(\langle G, \cdot \rangle\text{,}\) entonces

\ begin {ecuación*} (ab) ^ {-1} =b^ {-1} a^ {-1}. \ end {ecuación*}

Prueba

Tenemos eso

\((ab)(b^{−1}a^{−1})=a(bb^{−1})a^{−1}=aea^{−1}=aa^{−1}=e\)

Del mismo modo, (b−1a−1) (ab) =e.

Tenemos eso

2.5.1: Algunos Convenios de Grupo