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# 2.5: Convenciones y Propiedades de Grupo

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Antes de discutir más ejemplos, presentamos un teorema y observamos algunas convenciones que seguimos y la notación que usamos al discutir grupos en general; también discutimos algunas propiedades de los grupos.

## 2.5.1: Algunos Convenios de Grupo

Teorema$$\PageIndex{1}$$

El elemento de identidad de un grupo es único (por Teorema 2.1.9), y dado cualquier elemento$$a$$ de un grupo,$$G\text{,}$$ la inversa de$$a$$ in$$G$$ es única (por Teorema$$2.1.2$$).

Nota

Si bien está escrito en lo que llamamos notación multiplicativa, no asumamos que$$a^{-1}$$ es lo que solemos pensar como un inverso multiplicativo para$$a\text{;}$$ recordar, ¡ni siquiera sabemos si los elementos de un grupo son números! El tipo de inverso que$$a^{-1}$$ es (¿un inverso multiplicativo para un número real? ¿una inversa aditiva para un número real? un inverso multiplicativo para una matriz? una función inversa para una función de$$\mathbb{R}$$ a$$\mathbb{R}\text{?}$$) depende$$G$$ de ambos elementos y su funcionamiento.

Nota

¡Ten cuidado de saber siempre dónde vive un elemento con el que estás trabajando! Por ejemplo, si, como arriba,$$n\in \mathbb{Z}^+$$ y$$a$$ es un elemento de grupo,$$-n$$ y$$-a$$ se ven similares pero puede significar cosas muy diferentes. Si bien$$-n$$ es un entero negativo,$$-a$$ puede ser la inversa aditiva de una matriz en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{,}$$ la inversa aditiva$$2$$ del número$$4$$ en$$\mathbb{Z}_6\text{,}$$ o incluso algo completamente ajeno a los números.

Resumimos la notación multiplicativa versus suma en la siguiente tabla, donde$$a,b$$ están los elementos de un grupo$$G\text{.}$$

Cuadro 2.5.1: Resumen de la Notación Multiplicativa y de Adición en Grupos.
Notación Multiplicativa Notación aditiva
Notación de Operación $$\cdot$$ $$+$$
$$a$$operado con$$b$$ $$ab$$ $$a+b$$
Elemento Identidad $$e$$o$$e_G$$ (o$$1$$) $$e$$o$$e_G$$ (o$$0$$)
Inverso de$$a$$ $$a^{-1}$$ $$-a$$

Finalmente:

## 2.5.2:Algunas propiedades de grupo

Si bien no necesitamos preocuparnos por el “orden” al multiplicar un elemento grupal$$a$$ por sí mismo, sí tenemos que preocuparnos por ello en general.

Nota

¡Las operaciones grupales no necesitan ser conmutativas!

Definición: Abeliano y Nonabeliano

Se dice que un grupo$$\langle G, \cdot\,\rangle$$ es abeliano si$$ab=ba$$ para todos$$a,b\in G\text{.}$$ De lo contrario,$$G$$ es nonabeliano. (La palabra “abeliano” deriva del apellido del matemático Niels Henrik Abel.)

Definición: Orden, Grupo Finito y Grupo Infinito

Si$$G$$ es un grupo, entonces la cardinalidad$$|G|$$ de$$G$$ se llama el orden de$$G$$. Si$$|G|$$ es finito, entonces$$G$$ se dice que es un grupo finito; de lo contrario, es un grupo infinito.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

De los grupos que hemos discutido, ¿cuáles son abelianos? ¿Cuáles son infinitos/finitos?

Ya hemos visto que los elementos de identidad de los grupos son únicos, y que cada elemento$$a$$ de un grupo$$G$$ tiene una inversa única$$a^{-1}\in G\text{.}$$ Aquí hay algunas otras propiedades básicas de los grupos.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$\langle G, \cdot \rangle$$ es un grupo, entonces las leyes de cancelación izquierda y derecha se mantienen en Es$$G\text{.}$$ decir, si$$a,b,c\in G\text{,}$$ entonces

1. Si$$ab=ac\text{,}$$ tenemos$$b=c$$ (la ley de cancelación izquierda); y
2. Si$$ba=ca\text{,}$$ tenemos$$b=c$$ (la ley de cancelación correcta).
Prueba

Dejemos$$a,b,c∈G$$ y asumamos eso$$ab=ac$$. Multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por$$a^{−1}$$, obtenemos

$$\begin{array}& &2 & &a^{−1}(ab)=a^{−1}(ac) \\ & &\Rightarrow &(a^{−1}a)b=(a^{−1}a)c \\ & &\Rightarrow &eb=ec \\ & &\Rightarrow &b=c \end{array}$$

Esto prueba que la ley de cancelación de izquierda sostiene. Una prueba similar muestra que la ley de cancelación del derecho sostiene.

Nota

¡Solo por necesidad tenemos$$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$$ si$$G$$ se sabe que es abeliano!

Sin embargo, sí tenemos lo siguiente:

Teorema$$\PageIndex{4}$$

Prueba

Tenemos eso

$$(ab)(b^{−1}a^{−1})=a(bb^{−1})a^{−1}=aea^{−1}=aa^{−1}=e$$

Del mismo modo, (b−1a−1) (ab) =e.

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