2.8: Ejercicios, Parte II

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.

1. Por cada entero positivo\(n\text{,}\) existe un grupo de orden\(n\text{.}\)
2. Por cada entero\(n\geq 2\text{,}\)\(\mathbb{Z}_n\) es abeliano.
3. Cada grupo abeliano es finito.
4. Por cada entero\(m\) y entero\(n\geq 2\text{,}\) existen infinitamente muchos enteros\(a\) tal que\(a\) es congruente al\(m\) módulo\(n\text{.}\)
5. Una operación binaria\(*\) en un conjunto\(S\) es conmutativa si y solo si existe\(a,b\in S\) tal que\(a*b=b*a\text{.}\)
6. Si\(\langle S, *\rangle\) es una estructura binaria, entonces los elementos de\(S\) deben ser números.
7. Si\(e\) es un elemento de identidad de una estructura binaria (no necesariamente un grupo)\(\langle S,*\rangle\text{,}\) entonces\(e\) es un idempotente en\(S\) (es decir,\(e*e=e\)).
8. Si\(s\) es un idempotente en una estructura binaria (no necesariamente un grupo)\(\langle S,*\rangle\text{,}\) entonces\(s\) debe ser un elemento de identidad de\(S\text{.}\)

2. Dejar\(G\) ser el conjunto de todas las funciones desde\(\mathbb{Z}\) hasta\(\mathbb{R}\text{.}\) Demostrar esa multiplicación puntual on\(G\) (es decir, la operación definida por\((fg)(x)=f(x)g(x)\) para todos\(f,g\in G\) y\(x\in \mathbb{Z}\)) es conmutativa. (Nota. Para demostrar que dos funciones,\(h\) y\(j\text{,}\) compartir el mismo dominio\(D\) son iguales, es necesario demostrar que\(h(x)=j(x)\) para cada\(x\in D\text{.}\))

3. Decidir cuáles de las siguientes estructuras binarias son grupos. Para cada uno, si la estructura binaria no es un grupo, demuéstralo. (¡Recuerda, no debes afirmar que las inversas existen o no existen para los elementos hasta que no te hayas asegurado de que la estructura contenga un elemento de identidad!) Si la estructura binaria es un grupo, demuéstralo.

a.\(\mathbb{Q}\) bajo multiplicación

b.\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\) En adición

c.\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\) bajo multiplicación

d.\(\mathbb{R}^+\) bajo\(*\text{,}\) definido por\(a*b=\sqrt{ab}\) para todos\(a,b\in \mathbb{R}^+\)

4. Dé un ejemplo de un grupo abeliano que contiene 711 elementos.

5. Let\(n\in \mathbb{Z}\text{.}\) Demostrar que\(n\mathbb{Z}\) es un grupo bajo la suma habitual de enteros. Nota: Puedes usar el hecho de que\(\langle n\mathbb{Z},+\rangle\) es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.

6. Vamos\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Demostrar que\(SL(n,\mathbb{R})\) es un grupo bajo multiplicación matricial. Nota: Puedes usar el hecho de que\(\langle SL(n\mathbb{R}),\cdot\rangle\) es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.
7.  

1. Enumere tres enteros distintos que son congruentes con el\(6\) módulo\(5\text{.}\)

2. Enumerar los elementos de\(\mathbb{Z}_5\text{.}\)

3. Cómputos:

   1. \(4+5\)en\(\mathbb{Z}\text{;}\)

   2. \(4+5\)en\(\mathbb{Q}\text{;}\)

   3. \(4+_65\)en\(\mathbb{Z}_6\text{;}\)

   4. la inversa de\(4\) in\(\mathbb{Z}\text{;}\)

   5. la inversa de\(4\) in\(\mathbb{Z}_6\text{.}\)

4. ¿Por qué no tiene sentido para mí pedirte que computes\(4+_3 2\) en\(\mathbb{Z}_3\text{?}\) Por favor conteste esto usando una oración completa, gramaticalmente correcta.

8. Dejar\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{.}\) Demostrar que si cada elemento de\(G\) es su propio inverso, entonces\(G\) es abeliano.

9. Seamos\(G\) un grupo. El subconjunto

\ begin {ecuación*} Z (G) :=\ {z\ en G\,:\, zg=gz\ mbox {para todos} g\ in G\}\ end {ecuación*}

de\(G\) se llama el centro de\(G\text{.}\) En otras palabras,\(Z(G)\) es el conjunto de todos los elementos de\(G\) ese viaje con cada elemento de\(G\text{.}\) Prove que\(Z(G)\) está cerrado en\(G\text{.}\)