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# 2.8: Ejercicios, Parte II

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.
1. Por cada entero positivo$$n\text{,}$$ existe un grupo de orden$$n\text{.}$$
2. Por cada entero$$n\geq 2\text{,}$$$$\mathbb{Z}_n$$ es abeliano.
3. Cada grupo abeliano es finito.
4. Por cada entero$$m$$ y entero$$n\geq 2\text{,}$$ existen infinitamente muchos enteros$$a$$ tal que$$a$$ es congruente al$$m$$ módulo$$n\text{.}$$
5. Una operación binaria$$*$$ en un conjunto$$S$$ es conmutativa si y solo si existe$$a,b\in S$$ tal que$$a*b=b*a\text{.}$$
6. Si$$\langle S, *\rangle$$ es una estructura binaria, entonces los elementos de$$S$$ deben ser números.
7. Si$$e$$ es un elemento de identidad de una estructura binaria (no necesariamente un grupo)$$\langle S,*\rangle\text{,}$$ entonces$$e$$ es un idempotente en$$S$$ (es decir,$$e*e=e$$).
8. Si$$s$$ es un idempotente en una estructura binaria (no necesariamente un grupo)$$\langle S,*\rangle\text{,}$$ entonces$$s$$ debe ser un elemento de identidad de$$S\text{.}$$
1. Dejar$$G$$ ser el conjunto de todas las funciones desde$$\mathbb{Z}$$ hasta$$\mathbb{R}\text{.}$$ Demostrar esa multiplicación puntual on$$G$$ (es decir, la operación definida por$$(fg)(x)=f(x)g(x)$$ para todos$$f,g\in G$$ y$$x\in \mathbb{Z}$$) es conmutativa. (Nota. Para demostrar que dos funciones,$$h$$ y$$j\text{,}$$ compartir el mismo dominio$$D$$ son iguales, es necesario demostrar que$$h(x)=j(x)$$ para cada$$x\in D\text{.}$$)
1. Decidir cuáles de las siguientes estructuras binarias son grupos. Para cada uno, si la estructura binaria no es un grupo, demuéstralo. (¡Recuerda, no debes afirmar que las inversas existen o no existen para los elementos hasta que no te hayas asegurado de que la estructura contenga un elemento de identidad!) Si la estructura binaria es un grupo, demuéstralo.

a.$$\mathbb{Q}$$ bajo multiplicación

b.$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$ En adición

c.$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$ bajo multiplicación

d.$$\mathbb{R}^+$$ bajo$$*\text{,}$$ definido por$$a*b=\sqrt{ab}$$ para todos$$a,b\in \mathbb{R}^+$$

1. Dé un ejemplo de un grupo abeliano que contiene 711 elementos.
1. Let$$n\in \mathbb{Z}\text{.}$$ Demostrar que$$n\mathbb{Z}$$ es un grupo bajo la suma habitual de enteros. Nota: Puedes usar el hecho de que$$\langle n\mathbb{Z},+\rangle$$ es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.
1. Vamos$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Demostrar que$$SL(n,\mathbb{R})$$ es un grupo bajo multiplicación matricial. Nota: Puedes usar el hecho de que$$\langle SL(n\mathbb{R}),\cdot\rangle$$ es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.
2.
1. Enumere tres enteros distintos que son congruentes con el$$6$$ módulo$$5\text{.}$$

2. Enumerar los elementos de$$\mathbb{Z}_5\text{.}$$

3. Cómputos:

1. $$4+5$$en$$\mathbb{Z}\text{;}$$

2. $$4+5$$en$$\mathbb{Q}\text{;}$$

3. $$4+_65$$en$$\mathbb{Z}_6\text{;}$$

4. la inversa de$$4$$ in$$\mathbb{Z}\text{;}$$

5. la inversa de$$4$$ in$$\mathbb{Z}_6\text{.}$$

4. ¿Por qué no tiene sentido para mí pedirte que computes$$4+_3 2$$ en$$\mathbb{Z}_3\text{?}$$ Por favor conteste esto usando una oración completa, gramaticalmente correcta.

1. Dejar$$G$$ ser un grupo con elemento de identidad$$e\text{.}$$ Demostrar que si cada elemento de$$G$$ es su propio inverso, entonces$$G$$ es abeliano.
1. Seamos$$G$$ un grupo. El subconjunto

\ begin {ecuación*} Z (G) :=\ {z\ en G\,:\, zg=gz\ mbox {para todos} g\ in G\}\ end {ecuación*}

de$$G$$ se llama el centro de$$G\text{.}$$ En otras palabras,$$Z(G)$$ es el conjunto de todos los elementos de$$G$$ ese viaje con cada elemento de$$G\text{.}$$ Prove que$$Z(G)$$ está cerrado en$$G\text{.}$$

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