3.1: Grupos de Pedidos Pequeños
- Page ID
- 116043
Comencemos a explorar grupos en orden de aumentar, um, orden. Antes de hacer esto, será útil introducir la noción de una tabla de grupo (también conocida como una tabla Cayley 1 ) para un grupo finito. Dado un grupo finito\(G\text{,}\) enumera sus elementos en algún orden fijo, digamos,\(a_1, a_2, \ldots, a_n\text{,}\) y luego construye su tabla de grupo creando una matriz con exactamente una fila y exactamente una columna correspondiente a cada elemento de grupo. Luego colocamos en la fila\(i\) y columna\(j\) el elemento\(a_ia_j\) de\(G\text{.}\) Note que un solo grupo puede tener tablas de grupo que se vean diferentes entre sí, ya que reordenar los elementos de un grupo cambiará su tabla.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Considerar el grupo\(\mathbb{Z}_4\) bajo módulo de adición\(4\). Ordenando los elementos de\(\mathbb{Z}_4\) como\(1,2,3,4\text{,}\) tenemos la siguiente tabla de grupo para\(\langle \mathbb{Z}_4,+\rangle\text{:}\)
| \(+\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \ (+\)” alcance="fila">\(0\) | \ (0\) ">\(0\) | \ (1\) ">\(1\) | \ (2\) ">\(2\) | \ (3\) ">\(3\) |
| \ (+\)” alcance="fila">\(1\) | \ (0\) ">\(1\) | \ (1\) ">\(2\) | \ (2\) ">\(3\) | \ (3\) ">\(0\) |
| \ (+\)” alcance="fila">\(2\) | \ (0\) ">\(2\) | \ (1\) ">\(3\) | \ (2\) ">\(0\) | \ (3\) ">\(1\) |
| \ (+\)” alcance="fila">\(3\) | \ (0\) ">\(3\) | \ (1\) ">\(0\) | \ (2\) ">\(1\) | \ (3\) ">\(2\) |
Ahora bien, claramente, no hay grupo de orden\(0\) (¿ve por qué?). ¿Hay un grupo de orden\(1\)? Bueno, supongamos que\(\langle G,*\rangle\) es un grupo así. Ya que\(G\) debe contener un elemento de identidad\(e\text{,}\) debemos tener\(G=\{e\}\text{,}\) y puesto que\(e\)\(G\) es el elemento de identidad, debemos tener\(e*e=e\text{.}\) Claramente, en este caso, los tres axiomas grupales sostienen. Así\(G\) es un grupo válido, sin que pase mucho en él.
Definición: Grupo Trivial
Si\(G\) es un grupo con\(|G|=1\text{,}\) entonces\(G\) se llama el grupo trivial.
OBSERVACIÓN
Una buena pregunta para hacer aquí es por qué se le llama “el” grupo trivial, en lugar de “un” grupo trivial. En efecto, ¡hay infinitamente muchos grupos de orden 1! (¿Ves por qué?) Pero resulta que todos estos grupos son estructuralmente iguales. De ahí que los matemáticos terminen pensando en ellos como diversas instancias de un grupo, en lugar de grupos separados. Lo discutiremos en mayor profundidad en breve, cuando introduzcamos la idea de isomorfismo.
Siguiente supongamos que ese grupo\(\langle G, \;\cdot \rangle\) tiene orden 2. Entonces\(G\) debe contener un elemento de identidad,\(e\text{,}\) y un elemento no identitario,\(a\text{.}\) ya que\(e\) es su propio inverso, y los inversos son únicos,\(a\) debe ser su propio inverso también. Por lo que\(G\) debe tener la siguiente tabla.
| \(*\) | \(e\) | \(a\) |
|---|---|---|
| \ (*\)” alcance="fila">\(e\) | \ (e\) ">\(e\) | \ (a\) ">\(a\) |
| \ (*\)” alcance="fila">\(a\) | \ (e\) ">\(a\) | \ (a\) ">\(e\) |
Es sencillo demostrar que tal estructura satisface a todos los axiomas grupales (el único que realmente necesitamos verificar es la asociatividad).
Ahora bien, ¿y si el grupo\(\langle G, \;\cdot \rangle\) tiene orden\(3\)? Ten en cuenta que no puedes hacer que ninguna entrada aparezca más de una vez en la misma fila o en la misma columna (excluyendo por supuesto las etiquetas fuera de la cuadrícula que estamos rellenando), dado Teorema\(2.5.3\). ¿Solo hay una manera de rellenar la mesa para un grupo de pedidos\(3\)? (Pista: considere qué elemento debe ser la segunda fila, la tercera entrada de columna.)
| \(*\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) |
|---|---|---|---|
| \ (*\)” alcance="fila">\(e\) | \ (e\) ">\(\) | \ (a\) ">\(\) | \ (b\) ">\(\) |
| \ (*\)” alcance="fila">\(a\) | \ (e\) ">\(\) | \ (a\) ">\(\) | \ (b\) ">\(\) |
| \ (*\)” alcance="fila">\(b\) | \ (e\) ">\(\) | \ (a\) ">\(\) | \ (b\) ">\(\) |
Por último, ¿y si el grupo\(\langle G, \;\cdot \rangle\) tiene orden\(4\)? ¡Resulta que en este caso hay dos formas válidas de rellenar una mesa grupal!
Lo que hemos estado haciendo aquí es realmente meternos en la idea de la estructura de los grupos, y cuando podemos considerar que los grupos son esencialmente “iguales” o fundamentalmente “diferentes”. Abordamos esto de manera más formal a través de los conceptos de homomorfismo e isomorfismo.