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3.3: Grupos isomórficos

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    Una de las ideas clave que hemos discutido para determinar si las estructuras binarias son esencialmente “iguales” o “diferentes”. Lo abordamos rigurosamente utilizando el concepto de grupos isomórficos.

    Definición: Isomórfica y no isomórfica

    Decimos que dos grupos\(G\) y\(G'\) (o estructuras binarias\(S\) y\(S'\)) son isomorfas (o\(G\) es isomorfa a\(G'\)), y escribimos\(G\simeq G'\text{,}\) si existe un isomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Decimos que\(G\) es isomorfo a\(G'\) vía\(\phi\) si\(\phi\) es un isomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Si no existe isomorfismo desde\(G\) y\(G'\text{,}\) luego decimos eso\(G\) y\(G'\) son no isomorfos (o no\(G\) es isomorfo a \(G'\)), y escribir\(G\not\simeq G'\text{.}\)

    Nota

    Sólo porque un mapa particular (incluso uno “obvio”) de grupo\(G\) a grupo no\(G'\) es un isomorfismo, ¡eso no lo sabemos\(G\) y no\(G'\) somos isomórficos! Por ejemplo, el mapa\(\phi: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\) definido por\(\phi(x)=2x\) para todos no\(x\) es un isomorfismo (ya que no está sobre), sino que\(\mathbb{Z}\) es isomórfico a sí mismo, como veremos en la Parte 1 del Teorema\(3.3.1\).

    Los grupos isomórficos tienen la misma estructura en lo que respecta a los algebraistas. Nuevamente, imagínese dos casas que son idénticas a excepción de los colores que están pintadas. Aunque difieren de alguna manera (una casa es roja mientras que la otra es verde), son estructuralmente idénticas. Los grupos isomórficos tienen estructuras idénticas, aunque los elementos de un grupo pueden diferir mucho de los del otro. Volviendo a la analogía de la casa: si dos casas son estructuralmente idénticas, podemos aprender muchas cosas sobre una casa mirando a la otra (por ejemplo, cuántos baños tiene, si tiene sótano, etc.). Del mismo modo, supongamos que sabemos mucho de grupo\(G\) y se les da un nuevo grupo,\(G'\text{.}\) Si demostramos que\(G'\) es isomórfico para\(G\text{,}\) entonces probablemente podamos deducir información acerca\(G'\) de la información que conocemos\(G\text{.}\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(\langle G,\cdot\rangle\text{,}\)\(\langle G',\cdot'\rangle\text{,}\) y\(\langle G'',\cdot''\rangle\) ser grupos.

    1. \(G\)El grupo es isomórfico a sí mismo.
    2. Si\(\phi\) es un isomorfismo de\(G\) a grupo\(G'\text{,}\) entonces existe un isomorfismo de\(G'\) a\(G\text{.}\) Por lo tanto,\(G\simeq G'\) si y solo si\(G'\simeq G\text{.}\)
    3. Si\(G\simeq G'\) y\(G'\simeq G''\text{,}\) entonces\(G\simeq G''\text{.}\)
    Prueba

    Para la Parte 1: El mapa de identidad\(1_G:G→G\) definido por\(1_G(a)=a\) para todos\(a∈G\) es claramente un isomorfismo.

    Para la Parte 2: Ya que\(ϕ\) es un isomorfismo, es una biyección, de ahí tiene inversa\(ϕ^{−1}\). Del teorema\(1.2.1\), sabemos que también\(ϕ^{−1}\) debe ser una biyección (en este caso, de\(G′\) a\(G\)). Por lo que basta con mostrar que\(ϕ^{−1}\) es un homomorfismo. Vamos\(a,b∈G′\). Eso queremos demostrarlo\(ϕ^{−1}(a \cdot′b)=ϕ^{−1}(a) \cdot ϕ^{−1}(b)\). Ya que\(ϕ\) es 1-1, basta con demostrar que

    \(ϕ(ϕ^{−1}(a \cdot ′b))=ϕ(ϕ^{−1}(a) \cdot ϕ^{−1}(b))\).

    Aviso, tenemos\(ϕ(ϕ^{−1}(a \cdot ′b))=a \cdot ′b\); además, tenemos

    \(ϕ(ϕ^{−1}(a) \cdot ϕ^{−1}(b))=ϕ(ϕ^{−1}(a)) \cdot ′ϕ(ϕ^{−1}(b))=a \cdot ′b\).

     

    Esto demuestra que\(ϕ^{−1}(a \cdot ′b)=ϕ^{−1}(a) \cdot ϕ^{−1}(b)\), como se desee.

    Para la Parte 3: Desde\(G \simeq G′\) y\(G′ \simeq G′′\), existen isomorfismos\(ϕ:G→G′\) y\(ψ:G′→G′′\). Definir\(θ:G→G″\) por\(θ=ψ \circ ϕ\). Dado que\(ϕ\) y\(ψ\) son ambas bijecciones,\(θ\) es una bijección (Teorema\(1.2.3\)). A continuación, vamos\(a,b∈G\). El

    \(\begin{array} &θ(a⋅b)&=ψ(ϕ(a⋅b)) &(\text{by definition of \(θ\)})\\ &=ψ (9 (a)\ cdot ′9 (b)) & (\ text {ya que\(ϕ\) es un homomorfismo})\\ &=ψ (9 (a))\ cdot ′′ψ (9 (b)) & (\ text {ya que\(ψ\) es un homomorfismo})\\ &=θ (a)\ cdot ′′θ (b) (\ text {por definición de} θ). \ end {array}\)

    Así,\(θ\) es un homomorfismo, y por lo tanto, dado que también es una biyección, un isomorfismo.

     

     

    Observación

    Para demostrar que los grupos dados\(G\) y\(G'\) son isomórficos, debemos hacer tres cosas:

    1. Definir una función\(\phi\) de\(G\) a\(G'\) (o de\(G'\) a\(G\text{,}\) como tenemos Teorema\(3.3.1\)).
    2. Demostrar que\(\phi\) es un homomorfismo.
    3. Demostrar que\(\phi\) es una bijección.

    Nota

    Recuerda, puedes demostrar que\(\phi\) es una bijección demostrando que es uno a uno y sobre, o mostrando que tiene una inversa.

    Nota

    NO trates de demostrar que una función\(\phi\) es un isomorfismo SIN DEFINIR\(\phi\text{!}\)

    Sabemos proporcionar alguna terminología que será útil para nuestro estudio de las estructuras de los grupos.

    Definición: Unique Group

    Dada una cierta propiedad (o propiedades), decimos que hay un grupo único con esa propiedad (o propiedades) hasta el isomorfismo si cualquiera de los dos grupos que comparten esa propiedad (o propiedades) son isomórficos entre sí.

    Esto puede parecer un poco abstracto por el momento, pero ver ejemplos ayudará a iluminar el concepto.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    1. Si\(G\) y\(G'\) son grupos con\(|G|=|G'|=1\text{,}\) entonces\(G\simeq G'\text{,}\) desde el mapa desde\(G\) el\(G'\) envío\(G\) de identidad (y único) elemento a la identidad (y único) elemento\(G'\) de identidad (y único) elemento es claramente un isomorfismo. Es por ello que podemos abusar levemente de la terminología y llamar a cualquier grupo del orden 1 el grupo trivial en lugar de un grupo trivial:\(G\) y técnicamente\(G'\) pueden ser grupos diferentes, pero estructuralmente son idénticos, por lo que podemos considerarlos más o menos “los mismos”. Así, existe un grupo único de orden 1, hasta el isomorfismo.
    2. Dejar\(G\) ser un grupo con\(|G|=2\text{.}\) Entonces\(G\) debe consistir en un elemento de identidad\(e\) y un elemento de no identidad\(a\text{,}\) y tener la siguiente tabla de grupo. Comparar las tablas de grupo respectivas para\(G\) y para el grupo específico de dos elementos\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)
    \(*\) \(e\) \(a\)
    \ (*\)” alcance="fila">\(e\) \ (e\) ">\(e\) \ (a\) ">\(a\)
    \ (*\)” alcance="fila">\(a\) \ (e\) ">\(a\) \ (a\) ">\(e\)

     

    \(+\) \(0\) \(1\)
    \ (+\)” alcance="fila">\(0\) \ (0\) ">\(0\) \ (1\) ">\(1\)
    \ (+\)” alcance="fila">\(1\) \ (0\) ">\(1\) \ (1\) ">\(0\)

    Tenga en cuenta que la primera tabla se ve exactamente igual que la segunda tabla si reemplazamos\(*\)\(e\) con\(+\text{,}\) cada uno\(a\) con\(0\text{,}\) y cada uno con\(1\text{.}\) Esto muestra que los grupos\(G\) y\(\mathbb{Z}_2\) tienen estructuras idénticas; más precisamente, muestra que la función\(\phi\) de \(G\)a\(\mathbb{Z}_2\) definido por\(\phi(e)=0\) y\(\phi(a)=1\) es un isomorfismo. Dado que cualquier grupo de orden\(2\) es isomórfico al\(\mathbb{Z}_2\text{,}\) uso del Teorema\(3.3.1\) vemos que existe un grupo único de orden\(2\), hasta el isomorfismo.

    1. Un argumento similar muestra que existe un grupo único de orden\(3\) hasta el isomorfismo: específicamente, cualquier grupo de orden\(3\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}_3\text{.}\)

    2. Veremos más adelante, en Ejemplo\(3.3.6\), que no hay un grupo único de orden\(4\) hasta el isomorfismo: es decir, hay dos grupos de orden no isomórficos\(4\).

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Los grupos\(\langle \mathbb{R},+\rangle\) y\(\langle \mathbb{R}^+, \cdot\rangle\) son isomórficos.

    Prueba

    Definir\(ϕ:\mathbb{R}→\mathbb{R}^+\) por\(ϕ(x)=e^x\). Nuestro mapa\(ϕ\) es un homomorfismo ya que para cada\(x,y∈\mathbb{R}\), tenemos

    \(ϕ(x+y)=e^{x+y}=e^xe^y=ϕ(x)ϕ(y)\).

    Además,\(ϕ\) es una biyección, ya que tiene función inversa\(\ln x: \mathbb{R}^+→\mathbb{R}\). Hence, \(\mathbb{R}≃\mathbb{R}^+\) via isomorphism \(ϕ\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Entonces los grupos\(\langle n\mathbb{Z},+\rangle\) y\(\langle \mathbb{Z},+\rangle\) son isomórficos. La prueba de ello se deja como un ejercicio para el lector.

    Ahora hemos visto ejemplos en los que hemos demostrado que dos grupos son isomórficos. ¿Cómo, sin embargo, demostramos que dos grupos no son isomórficos? Por lo general es salvajemente poco práctico, si no imposible, comprobar que ninguna función de un grupo al otro es un isomorfismo. Por ejemplo, resulta que no\(\mathbb{R}^*\) es isomórfico a\(GL(2,\mathbb{R})\) (ver Ejemplo\(3.3.3\)), pero hay infinitamente muchas bijecciones de\(\mathbb{R}^*\) a\(GL(2,\mathbb{R})\) —es imposible comprobar que cada una no es un isomorfismo. En su lugar, usamos invariantes grupales.

    Definición: Grupo invariante

    Una propiedad de grupo se denomina invariante de grupo si se conserva bajo isomorfismo.

    Los invariantes de grupo son propiedades estructurales. Algunos ejemplos de invariantes grupales son:

    1. Cardinalidad (ya que cualquier isomorfismo entre grupos es una biyección);
    2. Abeliandad (la prueba de que se trata de un grupo invariante se deja como ejercicio para el lector);
    3. Número de elementos que son sus propios inversos (probado por un argumento similar al del Ejemplo\(3.3.6\)).

    Un no ejemplo de un grupo invariante es la propiedad de ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\text{.}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    El grupo\(\mathbb{R}\) no puede ser isomórfico al grupo\(GL(2,\mathbb{R})\) ya que el primero es abeliano y el segundo no abeliano.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Los grupos\(\mathbb{R}\) y\(\mathbb{Q}\) no pueden ser isomórficos ya que el primero es incontable y el segundo contable.

    A veces debemos recurrir a métodos más difíciles para decidir si dos grupos son isomórficos o no.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Los grupos\(\mathbb{Z}\) y no\(\mathbb{Q}\) son isomórficos. Utilizamos la contradicción para demostrarlo. Supongamos que\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Q}\) son isomorfos vía isomorfismo\(\phi :\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}\text{.}\) Let\(a\in \mathbb{Q}\text{.}\) Then\(\dfrac{a}{2} \in \mathbb{Q}\) with\(\dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} =a\text{.}\) Then

    \ begin {ecuación*}\ phi\ izquierda (\ dfrac {a} {2}\ derecha) +\ phi\ izquierda (\ dfrac {a} {2}\ derecha) =\ phi\ izquierda (\ dfrac {a} {2} +\ dfrac {a} {2}\ derecha) =\ phi (a);\ end {ecuación*}

    desde\(\phi \left( \dfrac{a}{2} \right)\) is in \(\mathbb{Z}\text{,}\) \(\phi(a)\) must be evenly divisible by \(2\). But \(a\) was arbitrary in \(\mathbb{Q}\) and \(\phi\) is onto, so this means every element of \(\mathbb{Z}\) must be evenly divisible by \(2\), which is clearly false. Thus, \(\mathbb{Z}\not\simeq \mathbb{Q}\text{.}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Los grupos\(\mathbb{Z}_4\) y no\(V=\mathbb{Z}_2^2\) son isomórficos. ¿Por qué? Bueno, ambos son abelianos de orden\(4\), así que no podemos usar la cardinalidad o la conmutatividad para demostrar que son no isomórficos. La esencia de nuestro argumento será señalar que cada elemento en\(V\) es su propio inverso; así que si\(V\) y\(\mathbb{Z}_4\) son isomórficos (por lo tanto estructuralmente idénticos) debemos tener que tener que cada elemento de\(\mathbb{Z}_4\) es también su propio inverso, que no sostiene (por ejemplo, en\(\mathbb{Z}_4\text{,}\)\(3+3=2\text{,}\) no \(0\)).

    Una prueba rigurosa del hecho de que\(V\) y no\(\mathbb{Z}_4\) son isomórficos es la siguiente: Por ahora, denotar la operación habitual en\(V\) por\(*\text{.}\) Supongamos que\(V\) y\(\mathbb{Z}_4\) son isomórficos, vía isomorfismo\(\phi\) de\(V\) a\(\mathbb{Z}_4\text{.}\) Entonces ya que\(\phi\) está en, existe un elemento\(a\in V\) tal que\(\phi(a)=3\text{.}\) Entonces

    \(\begin{array} &3+3& =\phi(a)+\phi(a)& \text{ (by definition of \(a\))}\\ & =\ phi (a*a) &\ text {(ya que\(\phi\) es un homomorfismo)}\\ & =\ phi ((0,0)) &\ text {(ya que cada elemento de\(V\) es su propio inverso)}\\ & =0, &\ end {array}\)

    desde\(\phi\) is a homomorphism, so sends identity element to identity element. But this is a contradiction, since \(3+3=2\neq 0\) in \(\mathbb{Z}_4\text{.}\) Thus, \(V\not\simeq \mathbb{Z}_4\text{.}\)

     

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