3.4: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
- Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos.
- Si existe un homomorfismo\(\phi\,:\,G\to G'\text{,}\) entonces\(G\) y\(G'\) deben ser grupos isomórficos.
- Hay un entero\(n\geq 2\) tal que\(\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}_n\text{.}\)
- Si\(|G|=|G'|=3\text{,}\) entonces debemos tener\(G\simeq G'\text{.}\)
- Si\(|G|=|G'|=4\text{,}\) entonces debemos tener\(G\simeq G'\text{.}\)
- Para cada una de las siguientes funciones, probar o desmentir que la función es (i) un homomorfismo; (ii) un isomorfismo. (¡Recuerda trabajar con la operación predeterminada en cada uno de estos grupos!)
- La función\(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) definida por\(f(n)=2n\text{.}\)
- La función\(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por\(g(x)=x^2\text{.}\)
- La función\(h:\mathbb{Q}^*\to\mathbb{Q}^*\) definida por\(h(x)=x^2\text{.}\)
- Definir\(d : GL(2,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^*\) por\(d(A)=\det A\text{.}\) probar/desacreditar que\(d\) es:
- un homomorfismo
- 1-1
- onto
- un isomorfismo.
- Completa las tablas de grupo para\(\mathbb{Z}_4\) y\(\mathbb{Z}_8^{\times}\text{.}\) Usa las tablas de grupo para decidir si\(\mathbb{Z}_8^{\times}\) son isomórficas entre sí o no\(\mathbb{Z}_4\). (No es necesario que proporcione una prueba.)
- Vamos a\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Demostrar que\(\langle n\mathbb{Z},+\rangle \simeq \langle \mathbb{Z},+\rangle\text{.}\)
- Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos, donde\(G\) es abeliano y\(G\simeq G'\text{.}\) Demostrar que\(G'\) es abeliano.
- Dar un ejemplo de grupos\(G\) y\(G'\text{,}\) donde\(G\) es abeliano y existe un homomorfismo desde\(G\) hasta\(G'\text{,}\) pero NO\(G'\) es abeliano.
- Dejar\(\langle G,\cdot\rangle\) y\(\langle G',\cdot'\rangle\) ser grupos con elementos de identidad\(e\) y\(e'\text{,}\) respectivamente, y dejar\(\phi\) ser un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Let\(a\in G\text{.}\) Prove that\(\phi(a)^{-1}=\phi(a^{-1})\text{.}\)