6.1: Introducción a los grupos de permutación

Definición: Permutación

Una permutación en un conjunto\(A\) es una bijección de\(A\) a\(A\text{.}\) Decimos una permutación\(\sigma\) en\(A\) correcciones\(a\in A\) si\(\sigma(a)=a\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(A\) ser el conjunto\(A=\{\Delta, \star, 4\}\text{.}\) Luego las funciones\(\sigma : A\to A\) definidas por

\ begin {ecuación*}\ sigma (\ Delta) =\ estrella,\ sigma (\ estrella) =\ Delta,\ texto {y}\ sigma (4) =4;\ end {ecuación*}

y\(\tau : A\to A\) defined by

\ begin {ecuación*}\ tau (\ Delta) =4,\ tau (\ estrella) =\ Delta,\ texto {y}\ tau (4) =\ estrella\ fin {ecuación*}

son ambas permutaciones en\(A\text{.}\)

Definición: Permutación Multiplicación

La composición de las permutaciones en un conjunto a menudo\(A\) se llama multiplicación por permutación,\(\sigma\) y si y\(\tau\) son permutaciones en un conjunto generalmente\(A\text{,}\) omitimos el símbolo de composición y escribimos\(\sigma \circ \tau\) simplemente como\(\sigma \tau\text{.}\)

Nota

Para nosotros, si\(\sigma\) y\(\tau\) son permutaciones en un conjunto\(A\text{,}\) entonces aplicar\(\sigma \tau\) a\(A\) medios primero aplicar\(\tau\) y luego aplicar\(\sigma\text{.}\) Esto se debe a la lectura convencional de derecha a izquierda de las composiciones de funciones.

Es decir, si\(a\in A\text{,}\) por\(\sigma \tau(a)\) lo que queremos decir\(\sigma(\tau(a))\text{.}\) (Algunos otros libros/matemáticos no utilizan esta convención, y leen la multiplicación por permutación de izquierda a derecha. ¡Asegúrate de saber siempre qué convención está usando tu autor o colega en particular!)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(A\text{,}\)\(\sigma\text{,}\) y\(\tau\) ser como en Ejemplo\(6.1.1\). Entonces\(\sigma \tau\) es la función de\(A\) a\(A\) definida por

\ begin {ecuación*}\ sigma\ tau (\ Delta) =4,\ sigma\ tau (\ estrella) =\ estrella,\ texto {y}\ sigma\ tau (4) =\ Delta,\ final {ecuación*}

mientras\(\tau \sigma\) is the function from \(A\) to \(A\) defined by

\ begin {ecuación*}\ tau\ sigma (\ Delta) =\ Delta,\ tau\ sigma (\ estrella) =4,\ texto {y}\ tau\ sigma (4) =\ estrella\ fin {ecuación*}

Definición

Dado un conjunto\(A\text{,}\)\(S_A\) definimos como el conjunto de todas las permutaciones en\(A\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dado un conjunto\(A\text{:}\)

1. \(S_A\)es un grupo bajo multiplicación por permutación.

2. Si\(A\) tiene cardinalidad finita\(n\text{,}\) entonces\(|S_A|=n!\) (si\(|A|=\infty\) entonces\(|S_A|\) es también\(\infty\)).

3. \(S_A\)es abeliano si\(|A|=1\) o\(2\text{,}\) y no abeliano de otra manera.

Prueba

1. Vamos\(σ,τ∈S_A\). Dado que una composición de bijecciones es una bijección (ver Teorema\(1.2.3\)),\(στ\) es una bijección de\(A\) a\(A\), de ahí está en\(S_A\). Así\(\langle S_A, \circ \rangle\) es una estructura binaria

A continuación, la composición de la función es siempre asociativa.

La función de identidad\(1_A:A→A\) definida por

\(1_A(a)=a \text{ for all } a∈A\)

actúa claramente como un elemento de identidad en\(S_A\). Henceforth, we will denote \(1_A\) by \(e\).

Por último, vamos\(σ∈S_A\). Ya que\(σ\) es una biyección,\(σ\) tiene una función inversa\(σ^{−1}\) que también es una biyección de\(A\) a\(A\) (Teorema\(1.2.1\)). Ya que\(σ^{−1}∈S_A\) con\(σσ^{−1}=σ^{−1}σ=1_A\), cada elemento de\(S_A\) tiene un elemento inverso en\(S_A\).

Así\(S_A\) es un grupo.

2. Claramente\(|S_A|=∞\) cuándo\(|A|=∞\), y un argumento combinatorio directo arroja eso cuando\(|A|=n∈\mathbb{Z}^+\), tenemos\(|S_A|=n!\).

3. Por último, si\(|A|=1\) o\(2\), entonces\(|S_A|=1!=1\) o\(|S_A|=2!=2\) así\(S_A\) debe ser abeliano (ya que es un grupo de orden\(1\) o\(2\)). Por otro lado, supongamos\(|A|>2\). Entonces\(A\) contiene al menos tres elementos distintos, digamos\(x\),\(y\), y\(z\). Dejar\(σ\) ser la permutación de\(A\) swapping\(x\) y\(y\) y fijar cada otro elemento de\(A\), y dejar\(τ\) ser la permutación de\(A\) swapping\(y\) y\(z\) y fijar cada otro elemento de\(A\). Entonces\(στ(x)=y\) mientras\(τσ(x)=z\), así\(στ≠τσ\), y por lo tanto\(S_A\) es nonabeliano.

En el futuro utilizaremos el lenguaje proporcionado por la siguiente definición:

Definición: Grupo de permutación

Se dice que un grupo es un grupo de permutación si es un subgrupo de\(S_A\) para algún conjunto\(A\text{.}\)

Observación

Observe que si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces\(|A|=|B|\) si y solo si\(S_A\simeq S_B\text{.}\)

Así, para cualquier conjunto\(B\) con que\(|B|=n \in \mathbb{Z}^+\text{,}\) tengamos\(S_B\simeq S_A\text{,}\) donde\(A=\{1,2,\ldots,n\}\text{.}\) Dado que nos ocupa en este curso principalmente de estructuras grupales que son invariantes bajo isomorfismo, podemos enfocarnos ahora en grupos de permutaciones en el set\(\{1,2,\ldots, n\}\) (\(n\in \mathbb{Z}^+\)).