7.2: Introducción a los Coconjuntos y Subgrupos Normales

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(\sim_L\)y\(\sim_R\) son relaciones de equivalencia en\(G\text{.}\)

Prueba

Primero, vamos\(a∈G\). Entonces\(a^{−1}a=e∈H\), entonces\(a \sim_La\). Así,\(\sim_L\) es reflexivo.

A continuación, vamos\(a,b∈G\) con\(a\sim_Lb\). Entonces\(a^{−1}b∈H\), entonces, ya que\(H\) es un subgrupo de\(G\),\((a^{−1}b)^{−1}∈H\). Pero\((a^{−1}b)^{−1}=b^{−1}(a^{−1})^{−1}=b^{−1}a\); así,\(b \sim_La\), y así\(\sim_L\) es simétrico.

Por último, vamos\(a,b,c∈G\) con\(a\sim_Lb\) y\(b\sim_Lc\). Entonces\(a^{−1}b\) y\(b^{−1}c\) están en\(H\). Ya que\(H\) es un subgrupo de\(G\), entonces debemos tener\((a^{−1}b)(b^{−1}c)∈H\); pero\((a^{−1}b)(b^{−1}c)\) iguales\(a^{−1}c\). Así,\(a\sim_Lc\), y así\(\sim_L\) es transitivo.

Así,\(\sim_L\) es una relación de equivalencia sobre\(G\). La prueba de que\(\sim_R\) es una relación de equivalencia se deja como ejercicio para el lector.

Observación

Por supuesto, diferentes subgrupos\(H\) y\(K\) en un grupo\(G\) darán lugar a diferentes relaciones\(\sim_L\) y\(\sim_R\) sobre\(G\text{;}\) esto es, estas relaciones se definen realmente con respecto a un subgrupo particular de\(G\text{.}\)

A partir de ahora, siempre que discutamos\(\sim_L\) o\(\sim_R\) en un grupo, supongamos que es con respecto a un subgrupo particular\(H\) de\(G\text{.}\)

Ahora, como relaciones de equivalencia en un grupo\(G\text{,}\) cada uno de\(\sim_L\) y\(\sim_R\) da lugar a una partición de\(G\text{.}\) ¿Cuáles son las celdas de esas particiones?

Definición: Cosets Izquierdo y Derecho

Dado\(a\in G\text{,}\) definimos

\ comenzar {ecuación*} aH =\ {ah\,:\, h\ en H\}\ final {ecuación*}

\ begin {ecuación*} Ha=\ {ja\,:\, h\ en H\}. \ end {ecuación*}

W e llamar a los coconjuntos\(aH\) and \(Ha\text{,}\) respectively, the izquierdo y derecho de\(H\) contener\(a\).

Si sabemos que\(G\) es abeliano, con operación denotada por\(+\text{,}\) podemos denotar estos coconjuntos izquierdo y derecho por\(a+H\) y\(H+a\text{,}\) respectivamente.

Nota

En lo siguiente, usamos la notación\(\Leftrightarrow\) para denotar la frase “si y solo si”.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Deje\(a\in G\text{.}\) Luego debajo\(\sim_L\text{,}\)\([a]=aH\) mientras debajo\(\sim_R\text{,}\)\([a]=Ha\text{.}\)

Prueba: Vamos\(b∈G\). Entonces\(b \sim_La⇔a \sim_Lb⇔a^{−1}b∈H⇔a^{−1}b=h\) para algunos\(h∈H⇔b=ah\) para algunos\(h∈H⇔b∈aH\). Así que debajo\(\sim_L\) tenemos\([a]=aH\). De igual manera, bajo\(\sim_R\) tenemos\([a]=Ha\).

A continuación resumimos algunos datos sobre los coconjuntos izquierdo y derecho de un subgrupo\(H\) de un grupo\(G\text{:}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Seamos\(G\) un grupo con\(H\leq G\) y\(a,b\in G\text{.}\)

Los cosets izquierdo [derecho] de\(H\) en\(G\) partición\(G\text{.}\)
\ begin {equation*} b\ in aH\ Leftrightarrow ah=bH\ Leftrightarrow a\ in bH\ end {ecuación*}

\ begin {equation*} b\ in Ha\ Leftrightarrow Ha=Hb\ Leftrightarrow a\ in Hb. \ end {ecuación*}

En particular,

\ begin {ecuation*} a\ in H\ Leftrightarrow AH=H\ Leftrightarrow Ha=H.\ end {ecuación*}

\(H\)es el único coconjunto izquierdo o derecho de\(H\) que es un subgrupo de\(G\text{.}\)
\(|aH|=|H|=|Ha|\text{.}\)

Prueba: Los estados 1 y 2 se mantienen porque los coconjuntos izquierdo y derecho de\(H\) in\(G\) son clases de equivalencia. La declaración 3 se sostiene porque ningún coconjunto izquierdo o derecho de\(H\) otro que no sea\(H\) él mismo puede contener\(e\), ya que los coconjuntos izquierdos [derechos] de\(H\) son mutuamente disjuntos. Para el estado 4: Definir\(f:H→aH\) por\(f(h)=ah\). Es sencillo demostrar que\(f\) es una bijección, entonces\(|H|=|aH|\). De igual manera,\(|Ha|=|H|\).

Observación

Podemos usar los estados 2 y 3, anteriores, para ahorrar algo de tiempo al calcular los coconjuntos izquierdo y derecho de un subgrupo de un grupo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra los cosets izquierdo y derecho de\(H=\langle (12)\rangle\) in\(S_3\text{.}\)

Los cosets de la izquierda son

\ begin {ecuación*} eh=h= (12) H,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} (13) H=\ {(13), (123)\} = (123) H,\ end {ecuación*}\ comenzar {ecuación*}\ text {y} (23) H=\ {(23), (132)\} = (132) H,\ fin {ecuación*}

y los cosets adecuados son

\ begin {ecuación*} He=H=H (12),\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} H (13) =\ {(13), (132)\} =H (132),\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*}\ text {y} H (23) =\ {(23), (123)\} =H (123). \ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(\sim_L\) partitions \(S_3\) into \(\{H,\{(13),(123)\},\{(23), (132)\}\}\) and \(\sim_R\) partitions \(S_3\) into \(\{H,\{(13),(132)\},\{(23), (123)\}\}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra los cosets izquierdo y derecho de\(H=\langle f\rangle\) in\(D_4\text{.}\)

Este ejemplo se deja como un ejercicio para el lector.

Ahora llamamos la atención sobre algunos hechos muy importantes:

Nota

Para\(a,b\in G\text{:}\)

En general,\(aH \neq Ha\text{!}\)
\(aH=bH\)no implica necesariamente\(a=b\) o que existe un\(h\in H\) con\(ah=bh\text{;}\) similar,\(Ha=Hb\) no implica necesariamente\(a=b\) o que existe un\(h\in H\) con\(ha=hb\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Vimos por encima de eso en\(S_3\) con\(H=\langle (12)\rangle\text{,}\)

\ begin {ecuación*} (13) H=\ {(13), (123)\}\ neq\ {(13), (132)\} =H (13). \ end {ecuación*}

Además,\((13)H=(123)H\) but \((13)e\neq (123)e\) and \((13)(12)\neq (123)(12)\text{.}\)

Resulta que los subgrupos\(H\) para los que\(aH=Ha\) para todos\(a\in G\) serán muy importantes para nosotros.

Definición: Subgrupo Normal

Decimos que el subgrupo\(H\) de\(G\) es normal en\(G\) (o es subgrupo normal de\(G\)) si\(aH=Ha\) para todos\(a\in G\text{.}\) Denotamos ese hecho que\(H\) es normal en\(G\) por escrito\(H\unlhd G\text{.}\)

Observación

Si\(H\) es normal en\(G\text{,}\) podemos referirnos a los coconjuntos izquierdo y derecho de simplemente\(G\) como cosets.
Por supuesto, si\(G\) es abeliano, cada subgrupo de\(G\) es normal en\(G\text{.}\) Pero también puede haber subgrupos normales de grupos no abelianos: por ejemplo, los subgrupos triviales e impropios de cada grupo son normales en ese grupo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los cosets de\(5\mathbb{Z}\) in\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Observe que en notación aditiva, la sentencia “\(a^{-1}b\in H\)” se convierte en\(-a+b\in H\text{.}\) So para\(a,b\in \mathbb{Z}\text{,}\)\(a\sim_L b\) si y solo si\(-a+b \in 5\mathbb{Z}\text{;}\) eso es, si y solo si\(5\) divide\(b-a\text{.}\) En otras palabras,\(a\sim_L b\) si y solo si\(a\equiv_5 b\text{.}\) Así en este caso,\(\sim_L\) es solo congruencia modulo \(5\text{.}\)Así, los cosets de\(5\mathbb{Z}\) in\(\mathbb{Z}\) son

\ begin {alinear*} 5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -5,0,5,\ ldots\}\\ 1+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -4, 1, 6,\ ldots\},\\ 2+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -3,2, 7,\ ldots\},\\ 3+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -2,3, 8,\ ldots\},\\ 4+5\ mathbb {Z} &=\ {\ ldots, -1, 4, 9,\ ldots\}. \ end {alinear*}

¿Ves cómo generalizaría este ejemplo para\(n\mathbb{Z}\) (\(n \in \mathbb{Z}^+\)) in \(\mathbb{Z}\text{?}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra los cosets de\(H=\langle 12\rangle\) in\(4\mathbb{Z}\text{.}\)

Ellos son

\ begin {alinear*} H& =\ {\ ldots, -12,0,12\ ldots\},\\ 4+H & =\ {\ ldots, -8,4,16,\ ldots\},\\ 8+H& =\ {\ ldots, -4,8,20,\ ldots\}. \ end {alinear*}

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra los cosets de\(H=\langle 4\rangle\) in\(\mathbb{Z}_{12}\text{.}\)

Ellos son

\ begin {alinear*} H&=\ {0,4,8\},\\ 1+H & =\ {1,5,9\},\\ 2+H& =\ {2,6,10\}\\ 3+H& =\ {3,7,11\}. \ end {alinear*}

Consideramos ahora el conjunto de todos los coconjuntos izquierdos de un subgrupo de un grupo.

Definición: G mod H

Dejamos\(G/H\) ser el conjunto de todos los coconjuntos izquierdos de subgrupo\(H\) en\(G\text{.}\) Leemos\(G/H\) como “\(G\)mod\(H\text{.}\)”

(Podemos denotar el conjunto de todos los coconjuntos correctos de subgrupo\(H\) en\(G\) by\(H\backslash G\text{,}\) pero no usaremos esa notación en esta clase.)