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# 7.2: Introducción a los Coconjuntos y Subgrupos Normales

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Definición

Dado un grupo$$G$$ con subgrupo$$H\text{,}$$$$\sim_L$$ definimos$$G$$ por

\ begin {ecuación*} a\ sim_l b\ texto {si y solo si} a^ {-1} b\ in H\ end {ecuación*}

y$$\sim_R$$ on $$G$$ by

\ begin {ecuación*} a\ sim_r b\ texto {si y solo si} ab^ {-1}\ en H.\ end {ecuación*}

Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$\sim_L$$y$$\sim_R$$ son relaciones de equivalencia en$$G\text{.}$$

Prueba

Primero, vamos$$a∈G$$. Entonces$$a^{−1}a=e∈H$$, entonces$$a \sim_La$$. Así,$$\sim_L$$ es reflexivo.

A continuación, vamos$$a,b∈G$$ con$$a\sim_Lb$$. Entonces$$a^{−1}b∈H$$, entonces, ya que$$H$$ es un subgrupo de$$G$$,$$(a^{−1}b)^{−1}∈H$$. Pero$$(a^{−1}b)^{−1}=b^{−1}(a^{−1})^{−1}=b^{−1}a$$; así,$$b \sim_La$$, y así$$\sim_L$$ es simétrico.

Por último, vamos$$a,b,c∈G$$ con$$a\sim_Lb$$ y$$b\sim_Lc$$. Entonces$$a^{−1}b$$ y$$b^{−1}c$$ están en$$H$$. Ya que$$H$$ es un subgrupo de$$G$$, entonces debemos tener$$(a^{−1}b)(b^{−1}c)∈H$$; pero$$(a^{−1}b)(b^{−1}c)$$ iguales$$a^{−1}c$$. Así,$$a\sim_Lc$$, y así$$\sim_L$$ es transitivo.

Así,$$\sim_L$$ es una relación de equivalencia sobre$$G$$. La prueba de que$$\sim_R$$ es una relación de equivalencia se deja como ejercicio para el lector.

Observación

Por supuesto, diferentes subgrupos$$H$$ y$$K$$ en un grupo$$G$$ darán lugar a diferentes relaciones$$\sim_L$$ y$$\sim_R$$ sobre$$G\text{;}$$ esto es, estas relaciones se definen realmente con respecto a un subgrupo particular de$$G\text{.}$$

A partir de ahora, siempre que discutamos$$\sim_L$$ o$$\sim_R$$ en un grupo, supongamos que es con respecto a un subgrupo particular$$H$$ de$$G\text{.}$$

Ahora, como relaciones de equivalencia en un grupo$$G\text{,}$$ cada uno de$$\sim_L$$ y$$\sim_R$$ da lugar a una partición de$$G\text{.}$$ ¿Cuáles son las celdas de esas particiones?

Definición: Cosets Izquierdo y Derecho

Dado$$a\in G\text{,}$$ definimos

\ comenzar {ecuación*} aH =\ {ah\,:\, h\ en H\}\ final {ecuación*}

y

\ begin {ecuación*} Ha=\ {ja\,:\, h\ en H\}. \ end {ecuación*}

W e llamar a los coconjuntos$$aH$$ and $$Ha\text{,}$$ respectively, the izquierdo y derecho de$$H$$ contener$$a$$.

Si sabemos que$$G$$ es abeliano, con operación denotada por$$+\text{,}$$ podemos denotar estos coconjuntos izquierdo y derecho por$$a+H$$ y$$H+a\text{,}$$ respectivamente.

Nota

En lo siguiente, usamos la notación$$\Leftrightarrow$$ para denotar la frase “si y solo si”.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Deje$$a\in G\text{.}$$ Luego debajo$$\sim_L\text{,}$$$$[a]=aH$$ mientras debajo$$\sim_R\text{,}$$$$[a]=Ha\text{.}$$

Prueba

Vamos$$b∈G$$. Entonces$$b \sim_La⇔a \sim_Lb⇔a^{−1}b∈H⇔a^{−1}b=h$$ para algunos$$h∈H⇔b=ah$$ para algunos$$h∈H⇔b∈aH$$. Así que debajo$$\sim_L$$ tenemos$$[a]=aH$$. De igual manera, bajo$$\sim_R$$ tenemos$$[a]=Ha$$.

A continuación resumimos algunos datos sobre los coconjuntos izquierdo y derecho de un subgrupo$$H$$ de un grupo$$G\text{:}$$

Teorema$$\PageIndex{3}$$

Seamos$$G$$ un grupo con$$H\leq G$$ y$$a,b\in G\text{.}$$

1. Los cosets izquierdo [derecho] de$$H$$ en$$G$$ partición$$G\text{.}$$

2. \ begin {equation*} b\ in aH\ Leftrightarrow ah=bH\ Leftrightarrow a\ in bH\ end {ecuación*}

y

\ begin {equation*} b\ in Ha\ Leftrightarrow Ha=Hb\ Leftrightarrow a\ in Hb. \ end {ecuación*}

En particular,

\ begin {ecuation*} a\ in H\ Leftrightarrow AH=H\ Leftrightarrow Ha=H.\ end {ecuación*}

1. $$H$$es el único coconjunto izquierdo o derecho de$$H$$ que es un subgrupo de$$G\text{.}$$

2. $$|aH|=|H|=|Ha|\text{.}$$

Prueba

Los estados 1 y 2 se mantienen porque los coconjuntos izquierdo y derecho de$$H$$ in$$G$$ son clases de equivalencia. La declaración 3 se sostiene porque ningún coconjunto izquierdo o derecho de$$H$$ otro que no sea$$H$$ él mismo puede contener$$e$$, ya que los coconjuntos izquierdos [derechos] de$$H$$ son mutuamente disjuntos. Para el estado 4: Definir$$f:H→aH$$ por$$f(h)=ah$$. Es sencillo demostrar que$$f$$ es una bijección, entonces$$|H|=|aH|$$. De igual manera,$$|Ha|=|H|$$.

Observación

Podemos usar los estados 2 y 3, anteriores, para ahorrar algo de tiempo al calcular los coconjuntos izquierdo y derecho de un subgrupo de un grupo.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Encuentra los cosets izquierdo y derecho de$$H=\langle (12)\rangle$$ in$$S_3\text{.}$$

Los cosets de la izquierda son

\ begin {ecuación*} eh=h= (12) H,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} (13) H=\ {(13), (123)\} = (123) H,\ end {ecuación*}\ comenzar {ecuación*}\ text {y} (23) H=\ {(23), (132)\} = (132) H,\ fin {ecuación*}

\ begin {ecuación*} He=H=H (12),\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} H (13) =\ {(13), (132)\} =H (132),\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*}\ text {y} H (23) =\ {(23), (123)\} =H (123). \ end {ecuación*}

Por lo tanto,$$\sim_L$$ partitions $$S_3$$ into $$\{H,\{(13),(123)\},\{(23), (132)\}\}$$ and $$\sim_R$$ partitions $$S_3$$ into $$\{H,\{(13),(132)\},\{(23), (123)\}\}\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra los cosets izquierdo y derecho de$$H=\langle f\rangle$$ in$$D_4\text{.}$$

Este ejemplo se deja como un ejercicio para el lector.

Ahora llamamos la atención sobre algunos hechos muy importantes:

Nota

Para$$a,b\in G\text{:}$$

1. En general,$$aH \neq Ha\text{!}$$

2. $$aH=bH$$no implica necesariamente$$a=b$$ o que existe un$$h\in H$$ con$$ah=bh\text{;}$$ similar,$$Ha=Hb$$ no implica necesariamente$$a=b$$ o que existe un$$h\in H$$ con$$ha=hb\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Vimos por encima de eso en$$S_3$$ con$$H=\langle (12)\rangle\text{,}$$

\ begin {ecuación*} (13) H=\ {(13), (123)\}\ neq\ {(13), (132)\} =H (13). \ end {ecuación*}

Además,$$(13)H=(123)H$$  but $$(13)e\neq (123)e$$ and $$(13)(12)\neq (123)(12)\text{.}$$

Resulta que los subgrupos$$H$$ para los que$$aH=Ha$$ para todos$$a\in G$$ serán muy importantes para nosotros.

Definición: Subgrupo Normal

Decimos que el subgrupo$$H$$ de$$G$$ es normal en$$G$$ (o es subgrupo normal de$$G$$) si$$aH=Ha$$ para todos$$a\in G\text{.}$$ Denotamos ese hecho que$$H$$ es normal en$$G$$ por escrito$$H\unlhd G\text{.}$$

Observación

1. Si$$H$$ es normal en$$G\text{,}$$ podemos referirnos a los coconjuntos izquierdo y derecho de simplemente$$G$$ como cosets.

2. Por supuesto, si$$G$$ es abeliano, cada subgrupo de$$G$$ es normal en$$G\text{.}$$ Pero también puede haber subgrupos normales de grupos no abelianos: por ejemplo, los subgrupos triviales e impropios de cada grupo son normales en ese grupo.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Encuentra los cosets de$$5\mathbb{Z}$$ in$$\mathbb{Z}\text{.}$$

Observe que en notación aditiva, la sentencia “$$a^{-1}b\in H$$” se convierte en$$-a+b\in H\text{.}$$ So para$$a,b\in \mathbb{Z}\text{,}$$$$a\sim_L b$$ si y solo si$$-a+b \in 5\mathbb{Z}\text{;}$$ eso es, si y solo si$$5$$ divide$$b-a\text{.}$$ En otras palabras,$$a\sim_L b$$ si y solo si$$a\equiv_5 b\text{.}$$ Así en este caso,$$\sim_L$$ es solo congruencia modulo $$5\text{.}$$Así, los cosets de$$5\mathbb{Z}$$ in$$\mathbb{Z}$$ son

\ begin {alinear*} 5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -5,0,5,\ ldots\}\\ 1+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -4, 1, 6,\ ldots\},\\ 2+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -3,2, 7,\ ldots\},\\ 3+5\ mathbb {Z} & =\ {\ ldots, -2,3, 8,\ ldots\},\\ 4+5\ mathbb {Z} &=\ {\ ldots, -1, 4, 9,\ ldots\}. \ end {alinear*}

¿Ves cómo generalizaría este ejemplo para$$n\mathbb{Z}$$ ($$n \in \mathbb{Z}^+$$) in $$\mathbb{Z}\text{?}$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Encuentra los cosets de$$H=\langle 12\rangle$$ in$$4\mathbb{Z}\text{.}$$

Ellos son

\ begin {alinear*} H& =\ {\ ldots, -12,0,12\ ldots\},\\ 4+H & =\ {\ ldots, -8,4,16,\ ldots\},\\ 8+H& =\ {\ ldots, -4,8,20,\ ldots\}. \ end {alinear*}

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Encuentra los cosets de$$H=\langle 4\rangle$$ in$$\mathbb{Z}_{12}\text{.}$$

Ellos son

\ begin {alinear*} H&=\ {0,4,8\},\\ 1+H & =\ {1,5,9\},\\ 2+H& =\ {2,6,10\}\\ 3+H& =\ {3,7,11\}. \ end {alinear*}

Consideramos ahora el conjunto de todos los coconjuntos izquierdos de un subgrupo de un grupo.

Definición: G mod H

Dejamos$$G/H$$ ser el conjunto de todos los coconjuntos izquierdos de subgrupo$$H$$ en$$G\text{.}$$ Leemos$$G/H$$ como “$$G$$mod$$H\text{.}$$

(Podemos denotar el conjunto de todos los coconjuntos correctos de subgrupo$$H$$ en$$G$$ by$$H\backslash G\text{,}$$ pero no usaremos esa notación en esta clase.)

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