7.4: Ejercicios

1. ¿Cuántas particiones distintas del conjunto\(S=\{a,b,c,d\}\) hay? No es necesario enumerarlos. (Sí, puedes encontrar esta respuesta en línea. Pero te recomiendo hacer el trabajo tú mismo para practicar trabajar con particiones!)

2.

1. Let\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Probar que\(\equiv_n\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
2. Las células de la partición inducida de\(\mathbb{Z}\) se denominan las clases de residuo (o clases de congruencia) de\(\mathbb{Z}\) módulo\(n\). Usando la notación de conjunto de la forma\(\{\ldots,\#, \#,\#,\ldots\}\) para cada clase, anote las clases de residuo de\(\mathbb{Z}\) módulo\(4\text{.}\)

3. Dejar\(G\) ser un grupo con subgrupo\(H\text{.}\) Probar que\(\sim_R\) es una relación de equivalencia en\(G\text{.}\)

4. Encuentra los índices de:

1. \(H=\langle (15)(24)\rangle\)en\(S_5\)
2. \(K=\langle (2354)(34)\rangle\)en\(S_6\)
3. \(A_n\)en\(S_n\)

5. Para cada subgrupo\(H\) del grupo\(G\text{,}\) (i) encontrar los coconjuntos izquierdo y derecho de\(H\) en\(G\text{,}\) (ii) decidir si\(H\) es normal o no en\(G\text{,}\) y (iii) encontrar\((G:H)\text{.}\)

Escribe todas las permutaciones usando notación de ciclo disjunta y escribe todos los elementos del grupo diedro usando la forma estándar.

1. \(H=6\mathbb{Z}\)en\(G=2\mathbb{Z}\)
2. \(H=\langle 4\rangle\)en\(\mathbb{Z}_{20}\)
3. \(H=\langle (23)\rangle\)en\(G=S_3\)
4. \(H=\langle r\rangle\)en\(G=D_4\)
5. \(H=\langle f\rangle\)en\(G=D_4\)

6. Para cada una de las siguientes, dar un ejemplo de un grupo\(G\) con un subgrupo\(H\) que coincida con las condiciones dadas. Si no existe tal ejemplo, demuéstralo.

1. Un grupo\(G\) con subgrupo\(H\) tal que\(|G/H|=1\text{.}\)
2. Un grupo finito\(G\) con subgrupo\(H\) tal que\(|G/H|=|G|\text{.}\)
3. Un grupo abeliano\(G\) de orden\(8\) que contiene un subgrupo no normal\(H\) de orden 2.
4. Un grupo\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo normal de orden\(2\text{.}\)
5. Un grupo no abeliano\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo normal de índice\(2\text{.}\)
6. Un grupo\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo de orden\(3\text{.}\)
7. Un grupo infinito\(G\) que contiene un subgrupo\(H\) de índice finito.
8. Un grupo infinito\(G\) que contiene un subgrupo finito no trivial\(H\text{.}\)

7. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja\(G\) ser un grupo con subgrupo\(H\) y elementos\(a,b\in G\text{.}\)

1. Si\(a\in bH\) entonces\(aH\) debe ser igual\(bH\text{.}\)
2. \(aH\)debe ser igual\(Ha\text{.}\)
3. Si\(aH=bH\) entonces\(Ha\) debe ser igual\(Hb\text{.}\)
4. Si\(a\in H\) entonces\(aH\) debe ser igual\(Ha\text{.}\)
5. \(H\)debe ser normal en\(G\) si existe\(a\in G\) tal que\(aH=Ha\text{.}\)
6. Si\(aH=bH\) entonces\(ah=bh\) por cada\(h\in H\text{.}\)
7. Si\(G\) es finito, entonces\(|G/H|\) debe ser menor que\(|G|\text{.}\)
8. Si\(G\) es finito, entonces\((G:H)\) debe ser menor o igual a\(|G|\text{.}\)

8. Dejar\(G\) ser un grupo de orden\(pq\text{,}\) donde\(p\) y\(q\) son primos, y dejar\(H\) ser un subgrupo propio de\(G\text{.}\) Probar que\(H\) es cíclico.

9. Probar Corolario\(7.3.2\): es decir, que\(G\) sea un grupo de primer orden, y demuestre que\(G\) es cíclico.