7.4: Ejercicios
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
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\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)1. ¿Cuántas particiones distintas del conjunto\(S=\{a,b,c,d\}\) hay? No es necesario enumerarlos. (Sí, puedes encontrar esta respuesta en línea. Pero te recomiendo hacer el trabajo tú mismo para practicar trabajar con particiones!)
2.
- Let\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Probar que\(\equiv_n\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
- Las células de la partición inducida de\(\mathbb{Z}\) se denominan las clases de residuo (o clases de congruencia) de\(\mathbb{Z}\) módulo\(n\). Usando la notación de conjunto de la forma\(\{\ldots,\#, \#,\#,\ldots\}\) para cada clase, anote las clases de residuo de\(\mathbb{Z}\) módulo\(4\text{.}\)
3. Dejar\(G\) ser un grupo con subgrupo\(H\text{.}\) Probar que\(\sim_R\) es una relación de equivalencia en\(G\text{.}\)
4. Encuentra los índices de:
- \(H=\langle (15)(24)\rangle\)en\(S_5\)
- \(K=\langle (2354)(34)\rangle\)en\(S_6\)
- \(A_n\)en\(S_n\)
5. Para cada subgrupo\(H\) del grupo\(G\text{,}\) (i) encontrar los coconjuntos izquierdo y derecho de\(H\) en\(G\text{,}\) (ii) decidir si\(H\) es normal o no en\(G\text{,}\) y (iii) encontrar\((G:H)\text{.}\)
Escribe todas las permutaciones usando notación de ciclo disjunta y escribe todos los elementos del grupo diedro usando la forma estándar.
- \(H=6\mathbb{Z}\)en\(G=2\mathbb{Z}\)
- \(H=\langle 4\rangle\)en\(\mathbb{Z}_{20}\)
- \(H=\langle (23)\rangle\)en\(G=S_3\)
- \(H=\langle r\rangle\)en\(G=D_4\)
- \(H=\langle f\rangle\)en\(G=D_4\)
6. Para cada una de las siguientes, dar un ejemplo de un grupo\(G\) con un subgrupo\(H\) que coincida con las condiciones dadas. Si no existe tal ejemplo, demuéstralo.
- Un grupo\(G\) con subgrupo\(H\) tal que\(|G/H|=1\text{.}\)
- Un grupo finito\(G\) con subgrupo\(H\) tal que\(|G/H|=|G|\text{.}\)
- Un grupo abeliano\(G\) de orden\(8\) que contiene un subgrupo no normal\(H\) de orden 2.
- Un grupo\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo normal de orden\(2\text{.}\)
- Un grupo no abeliano\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo normal de índice\(2\text{.}\)
- Un grupo\(G\) de orden 8 que contiene un subgrupo de orden\(3\text{.}\)
- Un grupo infinito\(G\) que contiene un subgrupo\(H\) de índice finito.
- Un grupo infinito\(G\) que contiene un subgrupo finito no trivial\(H\text{.}\)
7. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja\(G\) ser un grupo con subgrupo\(H\) y elementos\(a,b\in G\text{.}\)
- Si\(a\in bH\) entonces\(aH\) debe ser igual\(bH\text{.}\)
- \(aH\)debe ser igual\(Ha\text{.}\)
- Si\(aH=bH\) entonces\(Ha\) debe ser igual\(Hb\text{.}\)
- Si\(a\in H\) entonces\(aH\) debe ser igual\(Ha\text{.}\)
- \(H\)debe ser normal en\(G\) si existe\(a\in G\) tal que\(aH=Ha\text{.}\)
- Si\(aH=bH\) entonces\(ah=bh\) por cada\(h\in H\text{.}\)
- Si\(G\) es finito, entonces\(|G/H|\) debe ser menor que\(|G|\text{.}\)
- Si\(G\) es finito, entonces\((G:H)\) debe ser menor o igual a\(|G|\text{.}\)
8. Dejar\(G\) ser un grupo de orden\(pq\text{,}\) donde\(p\) y\(q\) son primos, y dejar\(H\) ser un subgrupo propio de\(G\text{.}\) Probar que\(H\) es cíclico.
9. Probar Corolario\(7.3.2\): es decir, que\(G\) sea un grupo de primer orden, y demuestre que\(G\) es cíclico.