Saltar al contenido principal

# 7.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1. ¿Cuántas particiones distintas del conjunto$$S=\{a,b,c,d\}$$ hay? No es necesario enumerarlos. (Sí, puedes encontrar esta respuesta en línea. Pero te recomiendo hacer el trabajo tú mismo para practicar trabajar con particiones!)

2.

1. Let$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Probar que$$\equiv_n$$ es una relación de equivalencia en$$\mathbb{Z}\text{.}$$
2. Las células de la partición inducida de$$\mathbb{Z}$$ se denominan las clases de residuo (o clases de congruencia) de$$\mathbb{Z}$$ módulo$$n$$. Usando la notación de conjunto de la forma$$\{\ldots,\#, \#,\#,\ldots\}$$ para cada clase, anote las clases de residuo de$$\mathbb{Z}$$ módulo$$4\text{.}$$

3. Dejar$$G$$ ser un grupo con subgrupo$$H\text{.}$$ Probar que$$\sim_R$$ es una relación de equivalencia en$$G\text{.}$$

4. Encuentra los índices de:

1. $$H=\langle (15)(24)\rangle$$en$$S_5$$
2. $$K=\langle (2354)(34)\rangle$$en$$S_6$$
3. $$A_n$$en$$S_n$$

5. Para cada subgrupo$$H$$ del grupo$$G\text{,}$$ (i) encontrar los coconjuntos izquierdo y derecho de$$H$$ en$$G\text{,}$$ (ii) decidir si$$H$$ es normal o no en$$G\text{,}$$ y (iii) encontrar$$(G:H)\text{.}$$

Escribe todas las permutaciones usando notación de ciclo disjunta y escribe todos los elementos del grupo diedro usando la forma estándar.

1. $$H=6\mathbb{Z}$$en$$G=2\mathbb{Z}$$
2. $$H=\langle 4\rangle$$en$$\mathbb{Z}_{20}$$
3. $$H=\langle (23)\rangle$$en$$G=S_3$$
4. $$H=\langle r\rangle$$en$$G=D_4$$
5. $$H=\langle f\rangle$$en$$G=D_4$$

6. Para cada una de las siguientes, dar un ejemplo de un grupo$$G$$ con un subgrupo$$H$$ que coincida con las condiciones dadas. Si no existe tal ejemplo, demuéstralo.

1. Un grupo$$G$$ con subgrupo$$H$$ tal que$$|G/H|=1\text{.}$$
2. Un grupo finito$$G$$ con subgrupo$$H$$ tal que$$|G/H|=|G|\text{.}$$
3. Un grupo abeliano$$G$$ de orden$$8$$ que contiene un subgrupo no normal$$H$$ de orden 2.
4. Un grupo$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo normal de orden$$2\text{.}$$
5. Un grupo no abeliano$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo normal de índice$$2\text{.}$$
6. Un grupo$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo de orden$$3\text{.}$$
7. Un grupo infinito$$G$$ que contiene un subgrupo$$H$$ de índice finito.
8. Un grupo infinito$$G$$ que contiene un subgrupo finito no trivial$$H\text{.}$$

7. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja$$G$$ ser un grupo con subgrupo$$H$$ y elementos$$a,b\in G\text{.}$$

1. Si$$a\in bH$$ entonces$$aH$$ debe ser igual$$bH\text{.}$$
2. $$aH$$debe ser igual$$Ha\text{.}$$
3. Si$$aH=bH$$ entonces$$Ha$$ debe ser igual$$Hb\text{.}$$
4. Si$$a\in H$$ entonces$$aH$$ debe ser igual$$Ha\text{.}$$
5. $$H$$debe ser normal en$$G$$ si existe$$a\in G$$ tal que$$aH=Ha\text{.}$$
6. Si$$aH=bH$$ entonces$$ah=bh$$ por cada$$h\in H\text{.}$$
7. Si$$G$$ es finito, entonces$$|G/H|$$ debe ser menor que$$|G|\text{.}$$
8. Si$$G$$ es finito, entonces$$(G:H)$$ debe ser menor o igual a$$|G|\text{.}$$

8. Dejar$$G$$ ser un grupo de orden$$pq\text{,}$$ donde$$p$$ y$$q$$ son primos, y dejar$$H$$ ser un subgrupo propio de$$G\text{.}$$ Probar que$$H$$ es cíclico.

9. Probar Corolario$$7.3.2$$: es decir, que$$G$$ sea un grupo de primer orden, y demuestre que$$G$$ es cíclico.

This page titled 7.4: Ejercicios is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Jessica K. Sklar via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.