8.1: Motivación
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Mencionamos anteriormente que dado un subgrupo\(H\) de\(G\text{,}\) nos gustaría usar para llegar\(H\) a alguna comprensión de la estructura completa de\(G\)'s. Recordemos que hemos definido\(G/H\) como el conjunto de todos los cosets izquierdos de\(H\) en\(G\text{.}\) Lo que nos gustaría hacer ahora es equipar\(G/H\) con alguna operación bajo la cual\(G/H\) es un grupo! La forma natural de hacerlo sería definir la multiplicación\(G/H\) por
\ begin {ecuación*} (aH) (bH) =ABh\ texto {para todos} a, b\ en G.\ end {ecuación*}
Bien, ¡así que hagámoslo! Pero espera: estamos definiendo esta operación haciendo referencia a los representantes del coset, así que será mejor que nos aseguremos de que nuestra operación esté bien definida. Sólo que tristemente resulta que en general esta operación no está bien definida. Por ejemplo:
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Let\(H=\langle (12)\rangle\) in\(S_3\text{,}\) y\(b=(132)\text{.}\) let\(a=(13)\)\(x=aH\) y Let y\(y=bH\) in\(S_3/H\text{.}\) Luego usando la operación anteriormente definida en\(G/H\) tendríamos
\ comenzar {ecuación*} xy= (aH) (bH) =ABh= (13) (132) H= (23) H.\ final {ecuación*}
Pero también\(x=(123)H\) y\(y=(23)H\text{,}\) así también tendríamos
\ comenzar {ecuación*} xy= ((123) H) ((23) H)) = (123) (23) H= (12) H=H\ neq (23) H.\ final {ecuación*}
Entonces esta operación no está bien definida.
La pregunta para nosotros ahora se convierte\(H\)\(G\) en: qué condiciones deben contener para poder operar
\ begin {ecuación*} (aH) (bH) =ABh\ end {ecuación*}
en\(G/H\) estar bien definido? Resulta que esta operación está bien definida exactamente cuando\(H\) es normal en\(G\text{!}\) Nosotros lo declaramos en el siguiente teorema:
Teorema\(\PageIndex{1}\)
Deja\(H\leq G\text{.}\) Entonces la operación
\ begin {ecuación*} (aH) (bH) =ABh\ end {ecuación*}
en\(G/H\) is well-defined if and only if \(H \unlhd G\text{.}\)
- Prueba
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Primero, supongamos que la operación descrita está bien definida. Vamos\(a∈G\); queremos mostrar eso\(aH=Ha\).
Bueno, vamos\(x∈aH\). Entonces
\((xH)(a^{−1}H)=xa^{−1}H\)
y, desde\(xH=aH\)
\((xH)(a^{−1}H)=(aH)(a^{−1}H)=aa^{−1}H=H\).
Dado que nuestra operación en\(G/H\) está bien definida, esto significa que\(xa^{−1}H=H\), así\(xa^{−1}∈H\); así,\(x∈Ha\). Concluimos que\(aH⊆Ha\). La prueba que\(Ha⊆aH\) es similar. Entonces\(aH=Ha\), y así, ya que\(a∈G\) era arbitrario,\(H\) es normal en\(G\).
Por el contrario, supongamos\(H⊴G\). Dejar\(a_1,a_2,b_1,b_2∈G\) con\(a_1H=a_2H\) y\(b_1H=b_2H\). Queremos mostrar eso entonces\(a_1b_1H=a_2b_2H\), es decir, eso\((a_2b_2)^{−1}a_1b_1∈H\). Bueno, ya\(a_1H=a_2H\) que tenemos\(a_2^{−1}a_1∈H\). Entonces
\((a_2b_2)^{−1}a_1b_1=b_2^{−1}(a_2^{−1}a_1)b_1∈b_2^{−1}Hb_1\).
A continuación\(H⊴G\), ya que\(Hb_1=b_1H\), tenemos, así\(b_2^{−1}Hb_1=b^{−1}_2b_1H\); pero desde\(b_1H=b_2H\), tenemos\(b_2^{−1}b_1∈H\), así\(b^{−1}_2b_1H=H\). Así,\((a_2b_2)^{−1}a_1b_1∈H\), como se desee.
Definición: Multiplicación de Coset Izquierda
Cuando\(H\unlhd G\text{,}\) la operación bien definida\((aH)(bH)=abH\) on\(G/H\) se llama multiplicación de coset izquierdo.
Es claro que los subgrupos normales serán muy importantes para nosotros en el estudio de las estructuras grupales. Por lo tanto, pasamos algún tiempo mirando los subgrupos normales antes de volver a equipar\(G/H\) con una estructura grupal.