8.2: Centrándose en los subgrupos normales

Primero proporcionamos un teorema que nos ayudará a identificar cuando un subgrupo de un grupo es normal. En primer lugar, proporcionamos una definición.

Definición

Dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\) y\(a,b\) en\(G\text{.}\) Definimos

\ begin {ecuación*} AHb=\ {ahb\, :h\ en H\}. \ end {ecuación*}

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(H\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{.}\) Entonces los siguientes son equivalentes:

1. \(H\)es normal en\(G\text{;}\)

2. \(aHa^{-1}=H\)para todos\(a\in G\text{;}\)

3. \(aHa^{-1}\subseteq H\)para todos\(a\in G\text{.}\)

Prueba

Es clara la equivalencia de los estados 1 y 2, así como lo es el hecho de que la Declaración 2 implica la Declaración 3. Por lo que basta con mostrar que el estado de cuenta 3 implica el Estado 2. Bueno, asuma eso\(aHa^{−1}⊆H\) para todos\(a∈G\), y vamos\(b∈G\). Eso queremos demostrarlo\(bHb^{−1}=H\). Desde que se sostiene el estado financiero 3, es evidente que tenemos\(bHb^{−1}⊆H\). Pero, de nuevo usando la Declaración 3, también tenemos\(b^{−1}Hb⊆H\); multiplicando ambos lados de esta ecuación a la izquierda por\(b\) y a la derecha por\(b^{−1}\), obtenemos\(H⊆bHb^{−1}\). De ahí, ya que\(bHb^{−1}⊆H\) y\(H⊆bHb^{−1}\), esos dos conjuntos son iguales. Por lo tanto, se prueba el estado 2.

Consideramos ahora algunos ejemplos y no ejemplos de subgrupos normales de grupos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. Como se mencionó anteriormente, los subgrupos triviales e impropios de cualquier grupo\(G\) son normales en\(G\text{.}\)
2. Como se mencionó anteriormente, si el grupo\(G\) es abeliano entonces cada uno de sus subgrupos es normal en\(G\text{.}\)
3. Supongamos\(H\leq G\) tiene\((G:H)=2\text{.}\) Entonces\(H \unlhd G\text{.}\) La prueba de esto se deja como un ejercicio para el lector.
4. \(7.2.1\)El ejemplo muestra que el subgrupo\(H=\langle (12)\rangle\) no es normal en\(S_3\) (por ejemplo,\((13)H\neq H(13)\text{.}\) Pero\(\langle (123)\rangle\) debe ser normal en\(S_3\) ya\((S_3:\langle (123)\rangle )=6/3=2.\)
5. \(\langle r\rangle\)es normal en\(D_n\) desde\((D_n:\langle r\rangle )=2\text{.}\)
6. \(\langle f\rangle\)no es normal en,\(D_4\text{:}\) por ejemplo,

\ begin {ecuación*} r\ langle f\ rangle r^ {-1} =\ {e, rfr^3\} =\ {e, fr^3r^3\} =\ {e, fr^2\}\ not\ subseteq\ langle f\ rangle. \ end {ecuación*}

Consideramos otros dos ejemplos muy significativos. Primero, revisamos la idea del centro de un grupo, introducida por primera vez en Ejemplo\(2.8.9\).

Definición: Centro

Seamos\(G\) un grupo. Dejamos

\ begin {ecuación*} Z (G) =\ {z\ in G\,:\, az=za\ text {para todos} a\ en G\}. \ end {ecuación*}

\(Z(G)\) is called the centro de\(G\text{.}\)

(La Z significa “zentrum”, la palabra alemana para “centro”).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Seamos\(G\) un grupo. Entonces\(Z(G)\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)

Prueba

Claramente,\(e∈Z(G)\). A continuación, vamos\(z,w∈Z(G)\). Entonces para todos\(a∈G\),

\(a(zw)=(az)w=(za)w=z(aw)=z(wa)=(zw)a\),

por lo\(zw∈Z(G)\). Finally, \(az=za\) so, multiplying both sides on the left and right by \(z^{−1}\), we have \(z^{−1}a=az^{−1}\); thus, \(z^{−1}∈Z(G)\). Hence, \(Z(G)≤G\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\) con\(H\subseteq Z(G)\text{.}\) Entonces\(H\unlhd G\text{.}\) En particular,\(Z(G)\) es en sí mismo un subgrupo normal de\(G\text{.}\)

Prueba

Vamos\(a∈G\). Entonces ya que cada elemento de los\(Z(G)\) desplazamientos con cada elemento de\(G\), cada elemento de los\(H\) desplazamientos con cada elemento de\(G\); así debemos tener\(aH=Ha\). Por lo tanto,\(H⊴G\).

Let\(a\in G\text{.}\) Then since every element of \(Z(G)\) commutes with every element of \(G\text{,}\) every element of \(H\) commutes with every element of \(G\text{;}\) so we must have \(aH=Ha\text{.}\) Thus, \(H\unlhd G\text{.}\)

La siguiente definición es profundamente importante para nosotros.

Definición: Kernel

Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos y dejar que\(\phi\) un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Dejar\(e'\) ser el elemento de identidad de\(G'\text{,}\) definimos el núcleo de\(\phi\),\(\text{Ker} \;\phi\text{,}\) por

\ begin {ecuación*}\ texto {Ker}\;\ phi =\ {k\ en G\,:\,\ phi (k) =e'\}. \ end {ecuación*}

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos y dejar\(\phi\) ser un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Entonces\(\text{Ker}\; \phi\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)

Prueba

Vamos\(K=\text{Ker}\;⁡ϕ\). Primero mostramos que\(K\) es un subgrupo de\(G\). Claramente, el elemento de identidad de\(G\) está en\(K\), entonces\(K≠∅\). A continuación, vamos\(k,m∈K\). Entonces, dejando\(e′\) denotar el elemento de identidad de\(G′\), tenemos

\(ϕ(km^{−1})=ϕ(k)ϕ(m)^{−1}=e′(e′)^{−1}=e′\),

por lo\(km^{−1}∈K\). Thus, by the Two-Step Subgroup Test, we have that \(K\) is a subgroup of \(G\).

A continuación, vamos\(k∈K\) y vamos\(a∈G\). Entonces

\(ϕ(aka^{−1})=ϕ(a)ϕ(k)ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)e′ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)ϕ(a)^{−1}=e′\).

Entonces\(aka^{−1}∈K\). Thus, \(K⊴G\).

Let\(K=\Ker \phi\text{.}\) We first show that \(K\) is a subgroup of \(G\text{.}\) Clearly, the identity element of \(G\) is in \(K\text{,}\) so \(K\neq \emptyset\text{.}\) Next, let \(k,m\in K\text{.}\) Then, letting \(e'\) denote the identity element of \(G'\text{,}\) we have

\ begin {ecuación*}\ phi (km^ {-1}) =\ phi (k)\ phi (m) ^ {-1} =e' (e') ^ {-1} =e',\ end {ecuación*}

por lo\(km^{-1}\in K\text{.}\) Thus, by the Two-Step Subgroup Test, we have that \(K\) is a subgroup of \(G\text{.}\)

A continuación, vamos\(k\in K\) and let \(a\in G\text{.}\) Then

\ begin {ecuación*}\ phi (aka^ {-1}) =\ phi (a)\ phi (k)\ phi (a) ^ {-1} =\ phi (a) e'\ phi (a) ^ {-1} =\ phi (a)\ phi (a) ^ {-1} =e'. \ end {ecuación*}

Entonces\(aka^{-1}\in K\text{.}\) Thus, \(K \unlhd G\text{.}\)

Una manera resbaladiza, por lo tanto, de mostrar que un conjunto particular es un subgrupo normal de un grupo\(G\) es mostrando que es el núcleo de un homomorfismo de\(G\) a otro grupo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Aquí hay una prueba bastante elegante del hecho de que\(SL(n,\mathbb{R})\) es un subgrupo normal de\(GL(n,\mathbb{R})\text{:}\) Definir\(\phi: GL(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) por\(\phi(A)=\det A\text{.}\) Claramente,\(\phi\) es un homomorfismo, y dado que el elemento de identidad de\(\mathbb{R}^*\) es\(1\),

\ begin {ecuación*}\ text {Ker}\;\ phi=\ {A\ in GL (n,\ mathbb {R})\,:\,\ det A= 1\} =SL (n,\ mathbb {R}). \ end {ecuación*}

Entonces\(SL(n,\mathbb{R})\unlhd GL(n,\mathbb{R})\text{.}\)