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# 8.2: Centrándose en los subgrupos normales

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Primero proporcionamos un teorema que nos ayudará a identificar cuando un subgrupo de un grupo es normal. En primer lugar, proporcionamos una definición.

Definición

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$ y$$a,b$$ en$$G\text{.}$$ Definimos

\ begin {ecuación*} AHb=\ {ahb\, :h\ en H\}. \ end {ecuación*}

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G\text{.}$$ Entonces los siguientes son equivalentes:

1. $$H$$es normal en$$G\text{;}$$

2. $$aHa^{-1}=H$$para todos$$a\in G\text{;}$$

3. $$aHa^{-1}\subseteq H$$para todos$$a\in G\text{.}$$

Prueba

Es clara la equivalencia de los estados 1 y 2, así como lo es el hecho de que la Declaración 2 implica la Declaración 3. Por lo que basta con mostrar que el estado de cuenta 3 implica el Estado 2. Bueno, asuma eso$$aHa^{−1}⊆H$$ para todos$$a∈G$$, y vamos$$b∈G$$. Eso queremos demostrarlo$$bHb^{−1}=H$$. Desde que se sostiene el estado financiero 3, es evidente que tenemos$$bHb^{−1}⊆H$$. Pero, de nuevo usando la Declaración 3, también tenemos$$b^{−1}Hb⊆H$$; multiplicando ambos lados de esta ecuación a la izquierda por$$b$$ y a la derecha por$$b^{−1}$$, obtenemos$$H⊆bHb^{−1}$$. De ahí, ya que$$bHb^{−1}⊆H$$ y$$H⊆bHb^{−1}$$, esos dos conjuntos son iguales. Por lo tanto, se prueba el estado 2.

Consideramos ahora algunos ejemplos y no ejemplos de subgrupos normales de grupos.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

1. Como se mencionó anteriormente, los subgrupos triviales e impropios de cualquier grupo$$G$$ son normales en$$G\text{.}$$
2. Como se mencionó anteriormente, si el grupo$$G$$ es abeliano entonces cada uno de sus subgrupos es normal en$$G\text{.}$$
3. Supongamos$$H\leq G$$ tiene$$(G:H)=2\text{.}$$ Entonces$$H \unlhd G\text{.}$$ La prueba de esto se deja como un ejercicio para el lector.
4. $$7.2.1$$El ejemplo muestra que el subgrupo$$H=\langle (12)\rangle$$ no es normal en$$S_3$$ (por ejemplo,$$(13)H\neq H(13)\text{.}$$ Pero$$\langle (123)\rangle$$ debe ser normal en$$S_3$$ ya$$(S_3:\langle (123)\rangle )=6/3=2.$$
5. $$\langle r\rangle$$es normal en$$D_n$$ desde$$(D_n:\langle r\rangle )=2\text{.}$$
6. $$\langle f\rangle$$no es normal en,$$D_4\text{:}$$ por ejemplo,

\ begin {ecuación*} r\ langle f\ rangle r^ {-1} =\ {e, rfr^3\} =\ {e, fr^3r^3\} =\ {e, fr^2\}\ not\ subseteq\ langle f\ rangle. \ end {ecuación*}

Consideramos otros dos ejemplos muy significativos. Primero, revisamos la idea del centro de un grupo, introducida por primera vez en Ejemplo$$2.8.9$$.

Definición: Centro

Seamos$$G$$ un grupo. Dejamos

\ begin {ecuación*} Z (G) =\ {z\ in G\,:\, az=za\ text {para todos} a\ en G\}. \ end {ecuación*}

$$Z(G)$$ is called the centro de$$G\text{.}$$

(La Z significa “zentrum”, la palabra alemana para “centro”).

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Seamos$$G$$ un grupo. Entonces$$Z(G)$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$

Prueba

Claramente,$$e∈Z(G)$$. A continuación, vamos$$z,w∈Z(G)$$. Entonces para todos$$a∈G$$,

$$a(zw)=(az)w=(za)w=z(aw)=z(wa)=(zw)a$$,

por lo$$zw∈Z(G)$$. Finally, $$az=za$$ so, multiplying both sides on the left and right by $$z^{−1}$$, we have $$z^{−1}a=az^{−1}$$; thus, $$z^{−1}∈Z(G)$$. Hence, $$Z(G)≤G$$.

Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$G$$ ser un grupo y dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$ con$$H\subseteq Z(G)\text{.}$$ Entonces$$H\unlhd G\text{.}$$ En particular,$$Z(G)$$ es en sí mismo un subgrupo normal de$$G\text{.}$$

Prueba

Vamos$$a∈G$$. Entonces ya que cada elemento de los$$Z(G)$$ desplazamientos con cada elemento de$$G$$, cada elemento de los$$H$$ desplazamientos con cada elemento de$$G$$; así debemos tener$$aH=Ha$$. Por lo tanto,$$H⊴G$$.

La siguiente definición es profundamente importante para nosotros.

Definición: Kernel

Dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos y dejar que$$\phi$$ un homomorfismo de$$G$$ a$$G'\text{.}$$ Dejar$$e'$$ ser el elemento de identidad de$$G'\text{,}$$ definimos el núcleo de$$\phi$$,$$\text{Ker} \;\phi\text{,}$$ por

\ begin {ecuación*}\ texto {Ker}\;\ phi =\ {k\ en G\,:\,\ phi (k) =e'\}. \ end {ecuación*}

Teorema$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos y dejar$$\phi$$ ser un homomorfismo de$$G$$ a$$G'\text{.}$$ Entonces$$\text{Ker}\; \phi$$ es un subgrupo normal de$$G\text{.}$$

Prueba

Vamos$$K=\text{Ker}\;⁡ϕ$$. Primero mostramos que$$K$$ es un subgrupo de$$G$$. Claramente, el elemento de identidad de$$G$$ está en$$K$$, entonces$$K≠∅$$. A continuación, vamos$$k,m∈K$$. Entonces, dejando$$e′$$ denotar el elemento de identidad de$$G′$$, tenemos

$$ϕ(km^{−1})=ϕ(k)ϕ(m)^{−1}=e′(e′)^{−1}=e′$$,

por lo$$km^{−1}∈K$$. Thus, by the Two-Step Subgroup Test, we have that $$K$$ is a subgroup of $$G$$.

A continuación, vamos$$k∈K$$ y vamos$$a∈G$$. Entonces

$$ϕ(aka^{−1})=ϕ(a)ϕ(k)ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)e′ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)ϕ(a)^{−1}=e′$$.

Entonces$$aka^{−1}∈K$$. Thus, $$K⊴G$$.

Una manera resbaladiza, por lo tanto, de mostrar que un conjunto particular es un subgrupo normal de un grupo$$G$$ es mostrando que es el núcleo de un homomorfismo de$$G$$ a otro grupo.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Vamos$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Aquí hay una prueba bastante elegante del hecho de que$$SL(n,\mathbb{R})$$ es un subgrupo normal de$$GL(n,\mathbb{R})\text{:}$$ Definir$$\phi: GL(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$$ por$$\phi(A)=\det A\text{.}$$ Claramente,$$\phi$$ es un homomorfismo, y dado que el elemento de identidad de$$\mathbb{R}^*$$ es$$1$$,

\ begin {ecuación*}\ text {Ker}\;\ phi=\ {A\ in GL (n,\ mathbb {R})\,:\,\ det A= 1\} =SL (n,\ mathbb {R}). \ end {ecuación*}

Entonces$$SL(n,\mathbb{R})\unlhd GL(n,\mathbb{R})\text{.}$$

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