8.2: Centrándose en los subgrupos normales
- Page ID
- 116019
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Primero proporcionamos un teorema que nos ayudará a identificar cuando un subgrupo de un grupo es normal. En primer lugar, proporcionamos una definición.
Definición
Dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\) y\(a,b\) en\(G\text{.}\) Definimos
\ begin {ecuación*} AHb=\ {ahb\, :h\ en H\}. \ end {ecuación*}
Teorema\(\PageIndex{1}\)
Dejar\(H\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{.}\) Entonces los siguientes son equivalentes:
-
\(H\)es normal en\(G\text{;}\)
-
\(aHa^{-1}=H\)para todos\(a\in G\text{;}\)
-
\(aHa^{-1}\subseteq H\)para todos\(a\in G\text{.}\)
- Prueba
-
Es clara la equivalencia de los estados 1 y 2, así como lo es el hecho de que la Declaración 2 implica la Declaración 3. Por lo que basta con mostrar que el estado de cuenta 3 implica el Estado 2. Bueno, asuma eso\(aHa^{−1}⊆H\) para todos\(a∈G\), y vamos\(b∈G\). Eso queremos demostrarlo\(bHb^{−1}=H\). Desde que se sostiene el estado financiero 3, es evidente que tenemos\(bHb^{−1}⊆H\). Pero, de nuevo usando la Declaración 3, también tenemos\(b^{−1}Hb⊆H\); multiplicando ambos lados de esta ecuación a la izquierda por\(b\) y a la derecha por\(b^{−1}\), obtenemos\(H⊆bHb^{−1}\). De ahí, ya que\(bHb^{−1}⊆H\) y\(H⊆bHb^{−1}\), esos dos conjuntos son iguales. Por lo tanto, se prueba el estado 2.
Consideramos ahora algunos ejemplos y no ejemplos de subgrupos normales de grupos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
- Como se mencionó anteriormente, los subgrupos triviales e impropios de cualquier grupo\(G\) son normales en\(G\text{.}\)
- Como se mencionó anteriormente, si el grupo\(G\) es abeliano entonces cada uno de sus subgrupos es normal en\(G\text{.}\)
- Supongamos\(H\leq G\) tiene\((G:H)=2\text{.}\) Entonces\(H \unlhd G\text{.}\) La prueba de esto se deja como un ejercicio para el lector.
- \(7.2.1\)El ejemplo muestra que el subgrupo\(H=\langle (12)\rangle\) no es normal en\(S_3\) (por ejemplo,\((13)H\neq H(13)\text{.}\) Pero\(\langle (123)\rangle\) debe ser normal en\(S_3\) ya\((S_3:\langle (123)\rangle )=6/3=2.\)
- \(\langle r\rangle\)es normal en\(D_n\) desde\((D_n:\langle r\rangle )=2\text{.}\)
- \(\langle f\rangle\)no es normal en,\(D_4\text{:}\) por ejemplo,
\ begin {ecuación*} r\ langle f\ rangle r^ {-1} =\ {e, rfr^3\} =\ {e, fr^3r^3\} =\ {e, fr^2\}\ not\ subseteq\ langle f\ rangle. \ end {ecuación*}
Consideramos otros dos ejemplos muy significativos. Primero, revisamos la idea del centro de un grupo, introducida por primera vez en Ejemplo\(2.8.9\).
Definición: Centro
Seamos\(G\) un grupo. Dejamos
\ begin {ecuación*} Z (G) =\ {z\ in G\,:\, az=za\ text {para todos} a\ en G\}. \ end {ecuación*}
\(Z(G)\) is called the centro de\(G\text{.}\)
(La Z significa “zentrum”, la palabra alemana para “centro”).
Teorema\(\PageIndex{2}\)
Seamos\(G\) un grupo. Entonces\(Z(G)\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)
- Prueba
-
Claramente,\(e∈Z(G)\). A continuación, vamos\(z,w∈Z(G)\). Entonces para todos\(a∈G\),
\(a(zw)=(az)w=(za)w=z(aw)=z(wa)=(zw)a\),
por lo\(zw∈Z(G)\). Finally, \(az=za\) so, multiplying both sides on the left and right by \(z^{−1}\), we have \(z^{−1}a=az^{−1}\); thus, \(z^{−1}∈Z(G)\). Hence, \(Z(G)≤G\).
Teorema\(\PageIndex{3}\)
Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\) con\(H\subseteq Z(G)\text{.}\) Entonces\(H\unlhd G\text{.}\) En particular,\(Z(G)\) es en sí mismo un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
- Prueba
-
Vamos\(a∈G\). Entonces ya que cada elemento de los\(Z(G)\) desplazamientos con cada elemento de\(G\), cada elemento de los\(H\) desplazamientos con cada elemento de\(G\); así debemos tener\(aH=Ha\). Por lo tanto,\(H⊴G\).
La siguiente definición es profundamente importante para nosotros.
Definición: Kernel
Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos y dejar que\(\phi\) un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Dejar\(e'\) ser el elemento de identidad de\(G'\text{,}\) definimos el núcleo de\(\phi\),\(\text{Ker} \;\phi\text{,}\) por
\ begin {ecuación*}\ texto {Ker}\;\ phi =\ {k\ en G\,:\,\ phi (k) =e'\}. \ end {ecuación*}
Teorema\(\PageIndex{4}\)
Dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos y dejar\(\phi\) ser un homomorfismo de\(G\) a\(G'\text{.}\) Entonces\(\text{Ker}\; \phi\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
- Prueba
-
Vamos\(K=\text{Ker}\;ϕ\). Primero mostramos que\(K\) es un subgrupo de\(G\). Claramente, el elemento de identidad de\(G\) está en\(K\), entonces\(K≠∅\). A continuación, vamos\(k,m∈K\). Entonces, dejando\(e′\) denotar el elemento de identidad de\(G′\), tenemos
\(ϕ(km^{−1})=ϕ(k)ϕ(m)^{−1}=e′(e′)^{−1}=e′\),
por lo\(km^{−1}∈K\). Thus, by the Two-Step Subgroup Test, we have that \(K\) is a subgroup of \(G\).
A continuación, vamos\(k∈K\) y vamos\(a∈G\). Entonces
\(ϕ(aka^{−1})=ϕ(a)ϕ(k)ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)e′ϕ(a)^{−1}=ϕ(a)ϕ(a)^{−1}=e′\).
Entonces\(aka^{−1}∈K\). Thus, \(K⊴G\).
Una manera resbaladiza, por lo tanto, de mostrar que un conjunto particular es un subgrupo normal de un grupo\(G\) es mostrando que es el núcleo de un homomorfismo de\(G\) a otro grupo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Vamos\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Aquí hay una prueba bastante elegante del hecho de que\(SL(n,\mathbb{R})\) es un subgrupo normal de\(GL(n,\mathbb{R})\text{:}\) Definir\(\phi: GL(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) por\(\phi(A)=\det A\text{.}\) Claramente,\(\phi\) es un homomorfismo, y dado que el elemento de identidad de\(\mathbb{R}^*\) es\(1\),
\ begin {ecuación*}\ text {Ker}\;\ phi=\ {A\ in GL (n,\ mathbb {R})\,:\,\ det A= 1\} =SL (n,\ mathbb {R}). \ end {ecuación*}
Entonces\(SL(n,\mathbb{R})\unlhd GL(n,\mathbb{R})\text{.}\)