8.3: Introducción a los grupos factoriales

Antes de probar esto, introducimos un cambio en nuestra notación: Iniciamos la convención de usar frecuentemente\(N\text{,}\) en lugar\(H\text{,}\) de denotar un subgrupo de un grupo\(G\) cuando sabemos que ese subgrupo es normal en\(G\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{,}\) y let\(N\: G\text{.}\) Entonces\(G/N\) es un grupo bajo la multiplicación coset izquierda (es decir, bajo la operación\((aN)(bN)=abN\) para todos\(a,b\in G\)), y\(|G/N|=(G:N)\) (en particular, si\(|G|\lt \infty\text{,}\) entonces\(|G/N|=|G|/|N|\)).

Prueba

Ya sabemos que desde entonces\(N⊴G\), la multiplicación del coset izquierdo encendido\(G/N\) está bien definida; además, por definición, eso\((aN)(bN)=abN∈G/N\) para cada uno\(aN,bN∈G/N\).

La asociatividad de esta operación\(G/N\) se desprende de la asociatividad\(G\) de la operación: en efecto, si\(aN, bN, cN∈G/N\), entonces

\(\begin{array}& ((aN)(bN))(cN)&=(abN)(cN)\\&=(ab)cN\\&=a(bc)N\\&=(aN)(bcN)\\&=(aN)((bN)(cN)). \end{array}\)

A continuación,\(N=eN∈G/N\) actúa como elemento de identidad ya que para todos\(a∈G\),

\((aN)(N)=aeN=aN \text{ and } N(aN)=eaN=aN\).

Por último, vamos\(aN∈G/N\). Después\(a^{−1}N∈G/N\) con\((aN)(a^{−1}N)=aa^{−1}N=N\) y\((a^{−1}N)(aN)=a^{−1}aN=N\).

Así\(G/N\) es un grupo debajo de la multiplicación del coset izquierdo. Ya que\((G:N)\) es, por definición, la cardinalidad de\(G/N\), ya terminamos.

Definición: Factor Group

Cuando\(G\) es un grupo y\(N\unlhd G\text{,}\) el grupo anterior (\(G/N\)debajo de la multiplicación del coset izquierdo) se denomina grupo factor o grupo cociente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Let\(G=\mathbb{Z}\) y\(N=3\mathbb{Z}\text{.}\) Entonces\(N\) es normal en\(G\text{,}\) ya que\(G\) es abeliano, por lo que el conjunto\(G/N=\{N,1+N,2+N\}\) es un grupo bajo la multiplicación del coset izquierdo. Señalando que\(N=0+N\text{,}\) es sencillo ver que\(G/N\) (es decir,\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)) tiene la siguiente tabla de grupos:

\(+\)	\(0+N\)	\(1+N\)	\(2+N\)
\ (+\)” alcance="fila">\(0+N\)	\ (0+N\) ">\(0+N\)	\ (1+N\) ">\(1+N\)	\ (2+N\) ">\(2+N\)
\ (+\)” alcance="fila">\(1+N\)	\ (0+N\) ">\(1+N\)	\ (1+N\) ">\(2+N\)	\ (2+N\) ">\(0+N\)
\ (+\)” alcance="fila">\(2+N\)	\ (0+N\) ">\(2+N\)	\ (1+N\) ">\(0+N\)	\ (2+N\) ">\(1+N\)

Claramente, si ignoramos todos los\(+N's\) después de los\(0\)'s,\(1\)'s, y\(2'\) en la tabla anterior, y consideramos\(+\) que es la adición mod 3, en lugar de la adición de coset izquierda en\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\text{,}\) obtenemos la tabla de grupo para\(\mathbb{Z}_3\text{:}\)

\(+\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\ (+\)” alcance="fila">\(0\)	\ (0\) ">\(0\)	\ (1\) ">\(1\)	\ (2\) ">\(2\)
\ (+\)” alcance="fila">\(1\)	\ (0\) ">\(1\)	\ (1\) ">\(2\)	\ (2\) ">\(0\)
\ (+\)” alcance="fila">\(2\)	\ (0\) ">\(2\)	\ (1\) ">\(0\)	\ (2\) ">\(1\)

Así, vemos que\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}_3\text{.}\)

¡Esto no es una coincidencia! De hecho, tenemos lo siguiente:

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Que\(n,d \in \mathbb{Z}^+\) con la\(d\) división\(n\text{.}\) Entonces tenemos:

\(n\mathbb{Z}\unlhd d\mathbb{Z}\)y\(\langle d\rangle \unlhd \mathbb{Z}_n\text{;}\)
\(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}_{n/d}\)(caso especial:\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}_n\)); y
\(Z_n/\langle d\rangle \simeq \mathbb{Z}_d\text{.}\)

Prueba

Dado que dd es un divisor positivo de\(n\),\(n\mathbb{Z}\) y\(\langle d \rangle\) son claramente subgrupos de, respectivamente,\(d\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}n\). Además, dado que\(d\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}n\) son abelianos, todos sus subgrupos son normales.
Esto se desprende de los hechos que\(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}= \langle d+n\mathbb{Z} \rangle\), por lo tanto, es cíclico, y eso\(|d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|=(d\mathbb{Z}:n\mathbb{Z})=n/d\) (ver Ejemplo\(7.3.3\)). (Desempaquetando la declaración que\(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}= \langle d+n\mathbb{Z} \rangle\): Observe que\(d\mathbb{Z}=\langle d \rangle\), así cada elemento de\(d\mathbb{Z}\) es de la forma\(kd\) para algún entero\(k\). Así, cada elemento de\(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) es de la forma\(kd+n\mathbb{Z}\) para algún entero\(k\). Pero para cada uno\(k∈\mathbb{Z}\), usando la definición de multiplicación del coset izquierdo tenemos eso\(kd+n\mathbb{Z}=k(d+n\mathbb{Z})\). Entonces\(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}= \langle d+n\mathbb{Z} \rangle\).)
De igual manera\(\mathbb{Z}_n=\langle 1 \rangle, \mathbb{Z}n/ \langle d \rangle=\langle 1+ \langle d \rangle \rangle\), ya que, así es cíclico. Ya que\((\mathbb{Z}_n: \langle d \rangle)=d\) (de nuevo, ver Ejemplo\(7.3.3\)),\(\mathbb{Z}n/ \langle d \rangle\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}d\), según se desee.

Q.E.D.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(N=\langle (123)\rangle \leq S_3\text{.}\) Desde\((S_3:N)=2\text{,}\)\(N\) debe ser normal en\(S_3\text{,}\) lo que\(S_3/N\) es un grupo bajo la multiplicación del coset izquierdo. Ya que\(|S_3/N|=2\text{,}\)\(S_3/N\) debe ser isomomórfico para\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)

En los ejemplos anteriores, pudimos identificar\(G/N\) hasta el isomorfismo con relativa facilidad porque pudimos determinar que\(G/N\) era cíclico. En general, sin embargo, puede ser bastante difícil identificar la estructura grupal de un grupo factorial. Exploramos algunas herramientas poderosas que podemos usar en esta identificación en la siguiente sección, pero primero observamos un par de propiedades de las\(G\) que son “heredadas” por cualquiera de sus grupos factoriales.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejemos\(G\) ser un grupo y\(N\unlhd G\text{.}\) luego:

Si\(G\) es finito, entonces\(G/N\) es finito.
Si\(G\) es abeliano, entonces\(G/N\) es abeliano; y
Si\(G\) es cíclico, entonces\(G/N\) es cíclico.

Prueba

Claramente esto sostiene, ya que en este caso\(|G/N|=|G|/|N|\).
El comprobante de esta afirmación se deja como ejercicio para el lector.
Dejar\(G\) ser cíclico. Entonces existe\(a∈G\) con\(G=\langle a \rangle\). Nosotros reclamamos\(G/N=\langle aN \rangle\). Efectivamente:

\(\langle aN \rangle={(aN)i:i∈\mathbb{Z}}={aiN:i∈\mathbb{Z}}\).

Pero cada elemento de\(G\) es un poder entero de\(a\), por lo que este conjunto es igual\(\{xN:x∈G\}\), es decir, es igual\(G/N\).

Nota

Sin embargo,\(G\) puede ser nonabeliano [no cíclico, no finito] y sin embargo tener un subgrupo normal\(N\) tal que\(G/N\) es abeliano [cíclico, finito]. (Vea los ejemplos a continuación.) Intuitivamente, la idea es que la modificación de un grupo por un subgrupo normal puede introducir abelianness o ciclicidad, o finitud, pero no eliminar una de esas características.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(S_3\)es nonabeliano (y por lo tanto por supuesto no cíclico), pero vimos anteriormente que\(N=\langle (123)\rangle\) es un subgrupo normal de\(S_3\) con\(S_3/N \simeq \mathbb{Z}_2\text{,}\) un grupo cíclico (y por lo tanto por supuesto abeliano).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(\mathbb{Z}\)es un grupo infinito, pero tiene grupo factorial finito\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\text{.}\)

¿Qué\(G/N\) aspecto tienen los subgrupos (normales) de un grupo factorial? Bueno, vienen de los subgrupos (normales) de\(G\text{!}\) Tenemos el siguiente teorema, cuya prueba es tediosa pero directa.

Teorema\(\PageIndex{4}\): Correspondence Theorem

Dejar\(G\) ser un grupo, y dejar\(K\unlhd G\text{.}\) Entonces los subgrupos de\(G/K\) son exactamente los de la forma\(H/K\text{,}\) donde\(H\leq G\) con\(K\subseteq H\text{.}\) Además, los subgrupos normales de\(G/K\) son exactamente los de la forma\(N/K\text{,}\) donde\(N\unlhd G\) con\(K\subseteq N\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(N=18\mathbb{Z}\) entrar\(\mathbb{Z}\text{.}\) Dado que los subgrupos de\(\mathbb{Z}\) contención\(N\) son los conjuntos\(d\mathbb{Z}\) donde\(d\) es un divisor positivo de\(18\text{,}\) los subgrupos de\(\mathbb{Z}/N\) son los conjuntos\(d\mathbb{Z}/N\text{,}\) donde, nuevamente,\(d\) es un divisor positivo de\(18\text{.}\)

Terminamos este capítulo señalando que dado cualquier grupo\(G\) y grupo factorial\(G/N\) de\(G\text{,}\) hay un homomorfismo desde\(G\) hasta\(G/N\) que está en adelante. Antes de definir este homomorfismo, proporcionamos algo más de terminología.

Definición: Epimorfismo y monomorfismo

\(\phi: G\to G'\)Sea un homomorfismo de grupos. Entonces\(\phi\) se puede llamar epimorfismo si\(\phi\) está sobre, y un monomorfismo si\(\phi\) es uno a uno. (Por supuesto, ya sabemos que un epimorfismo que también es monomorfismo se llama “isomorfismo”).

Presentamos ahora el siguiente teorema, cuya prueba directa se deja al lector.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(N\unlhd G\text{.}\) Entonces el mapa\(\Psi: G\to G/N\) definido por\(\Psi(g)=gN\) es un epimorfismo.

Definición: Epimorfismo canónico

Llamamos a este mapa\(\Psi\) el epimorfismo canónico del\(G\) al\(G/N\).

Observe que dado\(N\unlhd G\text{,}\) el núcleo del epimorfismo canónico de\(G\) a\(G/N\) es\(N\text{.}\) Así, juntando este hecho con el hecho de que cada núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal del dominio del homomorfismo, tenemos lo siguiente:

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(G\) ser un grupo y\(N\) un subconjunto de\(G\text{.}\) Entonces\(N\) es un subgrupo normal de\(G\) si y solo si\(N\) es el núcleo de un homomorfismo de\(G\) a algún grupo\(G'\text{.}\)