8.4: Ejercicios
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1. Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(H\leq G\) tener índice 2. Demostrar que\(H\unlhd G\text{.}\)
2. Dejemos grupo\(G\) be an abeliano con\(N\unlhd G\text{.}\) Prove that \(G/N\) is abeliano.
3. Encuentra lo siguiente.
- \(|2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|\)
- \(|H|\text{,}\)para\(H=2+\langle 6\rangle \subseteq \mathbb{Z}_{12}\)
- \(o(2+\langle 6\rangle)\)en\(\mathbb{Z}_{12}/\langle 6\rangle\)
- \(\langle fH\rangle \)en\(D_4/H\text{,}\) donde\(H=\{e,r^2\}\)
- \(|(\mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_8)/(\langle 3\rangle\times \langle 2\rangle)|\)
- \(|(\mathbb{Z}_{15} \times \mathbb{Z}_{24})/\langle (5,4)\rangle|\)
4. Para cada uno de los siguientes, encontrar un grupo familiar al que el grupo dado sea isomórfico. (Pista: Considere el orden de grupo, propiedades como abelianness y ciclicidad, tablas de grupo, órdenes de elementos, etc.)
- \(\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\)
- \(3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\)
- \(S_8/A_8\)
- \((\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_{15})/(\langle 2 \rangle \times \langle 3 \rangle )\)
- \(D_4/\langle r^2 \rangle\)
5. Deja\(H\unlhd G\) con índice\(k\text{,}\) y deja\(a\in G\text{.}\) Demostrar eso\(a^k\in H\text{.}\)