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# Soluciones a los ejercicios

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Ejercicios 1.4

1. Sí/No. Para cada una de las siguientes, escribe Y si el objeto descrito es un conjunto bien definido; de lo contrario, escribe N. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.

1. $$\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z|=1\}$$
2. $$\{\epsilon \in \mathbb{R}^+\,:\, \epsilon \mbox{ is sufficiently small} \}$$
3. $$\{q\in \mathbb{Q} \,:\, q \mbox{ can be written with denominator } 4\}$$
4. $$\{n \in \mathbb{Z}\,:\, n^2 \lt 0\}$$

Solución

1. Y
2. N
3. Y (es$$\mathbb{Q}$$)
4. Y (es$$∅$$)

2. Enumere los elementos en los siguientes conjuntos, escribiendo sus respuestas como conjuntos.

Ejemplo:$$\{z\in \mathbb{C}\,:\,z^4=1\}$$ Solución:$$\{\pm 1, \pm i\}$$

1. $$\{z\in \mathbb{R}\,:\, z^2=5\}$$

2. $$\{m \in \mathbb{Z}\,:\, mn=50 \mbox{ for some } n\in \mathbb{Z}\}$$

3. $$\{a,b,c\}\times \{1,d\}$$

4. $$P(\{a,b,c\})$$

Solución

1. $$\{±√5\}$$

2. $$\{±50,±25,±10,±5,±2,±1\}$$

3. $$\{(a,1),(a,d),(b,1),(b,d),(c,1),(c,d)\}$$

4. $$\{∅,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$$

3. Deja$$S$$ ser un conjunto con cardinalidad$$n\in \mathbb{N}\text{.}$$ Usa las cardinalidades de$$P(\{a,b\})$$ y$$P(\{a,b,c\})$$ para hacer una conjetura sobre la cardinalidad de No$$P(S)\text{.}$$ necesitas probar que tu conjetura es correcta (pero debes tratar de asegurarte de que sea correcta).

Solución

$$|P(\{a,b\})|=4=2^2$$y$$|P(\{a,b,c\})|=8=2^3$$; podemos conjeturar que cuando$$|S|=n$$,$$|P(S)|=2^n$$.

4. $$f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}$$Déjese definir por$$f(a,b)=ab\text{.}$$ (Nota: técnicamente, debemos escribir$$f((a,b))\text{,}$$ no$$f(a,b)\text{,}$$ ya que se$$f$$ está aplicando a un par ordenado, sino este es uno de esos casos en los que los matemáticos abusan de la notación en aras de la concisión.)

1. ¿Cuáles son$$f$$ el dominio, el codominio y el rango?

2. Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones. (¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

1. $$f$$está en;

2. $$f$$es 1-1;

3. $$f$$es una biyección. (Puede referirse a las partes (i) y (ii) para esta parte.)

3. Encuentra las imágenes del elemento$$(6,-2)$$ y del conjunto$$\mathbb{Z}^- \times \mathbb{Z}^-$$ debajo$$f\text{.}$$ (Recuerda que la imagen de un elemento es un elemento, y la imagen de un conjunto es un conjunto.)

4. Encuentra la preimagen de$$\{2,3\}$$ debajo$$f\text{.}$$ (Recuerda que la preimagen de un conjunto es un conjunto.)

Solución

1. $$f$$, codominio, y rango son, respectivamente,$$\mathbb{Z}^2$$,$$\mathbb{R}$$, y$$\mathbb{Z}$$.

2.

1. $$f$$no está en, ya que, por ejemplo,$$1/2∈\mathbb{R}−\mathbb{Z}$$.

2. $$f$$no es 1-1: por ejemplo,$$f(−2,2)=−4=f(2,−2)$$.

3. $$f$$no es una bijección ya que no es 1-1. (Sería igualmente válido responder que no es una biyección ya que no está sobre, o que no es una biyección ya que no es ni 1-1 ni on.)

3. $$f(6,−2)=−12$$y$$f(\mathbb{Z}^− \times \mathbb{Z}^−)=\mathbb{Z}^+$$.

4.

$$\begin{array}& f←({2,3})&=\{(a,b)∈\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}:f(a,b)∈\{2,3\}\}\\&=\{(a,b)∈\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}:ab=2 \text{ or } ab=3\} \end{array}$$

cual es el conjunto

$$\{(1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1),(1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1)\}$$.

5. Dejar$$S\text{,}$$$$T\text{,}$$ y$$U$$ ser conjuntos, y dejar$$f: S\to T$$ y$$g: T\to U$$ estar en. Demostrar que$$g \circ f$$ está en.

Solución

Vamos$$u∈U$$. Queremos mostrar que hay un elemento de$$S$$ que se mapea a uu por$$g \circ f$$.

Ya que$$g:T→U$$ es on, hay un elemento$$t∈T$$ tal que$$g(t)=u$$; siguiente, ya que$$f:S→T$$ es onto, hay un elemento$$s∈S$$ tal que$$f(s)=t$$.

Entonces$$(g \circ f)(s)=g(f(s))=g(t)=u$$. Así,$$g \circ f$$ está en.

6. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser conjuntos con$$|A|=m\lt \infty$$ y$$|B|=n\lt \infty\text{.}$$ Demostrar que$$|A\times B|=mn\text{.}$$

Solución

Podemos enumerar los elementos de$$A$$ y$$B$$ como tal:

$$A=\{a_1,a_2,…,a_m\}$$y$$B=\{b_1,b_2,…,b_n\}$$.

Considera la mesa

$$\begin{array}& (a_1,b_1)&(a_1,b_2)& \ldots &(a_1,b_n) \\ (a_2,b_1)&(a_2,b_2)& \ldots &(a_2,b_n) \\ \vdots&\vdots& \ddots &\vdots \\ (a_m,b_1)&(a_m,b_2)& \ldots &(a_m,b_n) \\ \end{array}$$

Claramente esta tabla contiene$$mn$$ elementos, y contiene cada elemento de$$A \times B$$ exactamente una vez. Por lo tanto,$$|A \times B|=mn$$.

##### Ejercicio 2.2 (Parte I)

1. Para cada una de las siguientes, escriba Y si la “operación” dada es una operación binaria bien definida en el conjunto dado; de lo contrario, escriba N. En cada caso en que no sea una operación binaria bien definida en el conjunto, proporcione una breve explicación. No es necesario probar ni explicar nada en los casos en los que se trata de una operación binaria.

1. $$+$$en$$\mathbb{C}^*$$

2. $$*$$en$$\mathbb{R}^+$$ definido por$$x*y=\log_x y$$

3. $$*$$en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$ definido por$$A*B=AB^{-1}$$

4. $$*$$en$$\mathbb{Q}^*$$ definido por$$z*w=z/w$$

Solución

1. N; por ejemplo,$$1,−1∈\mathbb{C}^∗$$, pero$$1+(−1)=0∉\mathbb{C}^∗$$.

2. N; por ejemplo,$$10∗1=\log_{10}⁡0.1=−1∉\mathbb{R}^+$$.

3. N; por ejemplo, la matriz cero,$$0$$, in no$$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$ es invertible, por lo que$$A∗0$$ es indefinida para cada$$A∈\mathbb{M}2(\mathbb{R})$$.

4. Y

2. Definir$$*$$$$\mathbb{Q}$$ por$$p*q=pq+1\text{.}$$ Probar o desacreditar que$$*$$ es (a) conmutativo; (b) asociativo.

Solución

1. Vamos$$p,q∈\mathbb{Q}$$. Entonces$$p∗q=pq+1=qp+1$$ (ya que la multiplicación es conmutativa encendida$$\mathbb{Q}$$), que es igual$$q∗p$$. Así$$∗$$ es conmutativo.

2. $$∗$$no es asociativo: por ejemplo,$$1,2,3∈\mathbb{Q}$$ y$$1∗(2∗3)=1∗7=8$$, mientras$$(1∗2)∗3=3∗3=10≠8$$.

3. Demostrar que la multiplicación matricial no es conmutativa en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}$$

Solución

Dejar$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$ y$$B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}$$ entrar$$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$. Entonces$$AB=B$$ mientras$$BA$$ es la matriz cero. Ya que$$AB≠BA$$, la multiplicación matricial no es conmutativa$$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$.

4. Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones.

1. El conjunto$$2\mathbb{Z}=\{2x\;:\;x\in \mathbb{Z}$$ se cierra bajo adición en$$\mathbb{Z}\text{.}$$

2. El conjunto$$S=\{1,2,3\}$$ se cierra bajo multiplicación en$$\mathbb{R}\text{.}$$

3. El conjunto

\ begin {ecuation*} U=\ left\ {\ begin {bmatrix} a & b\\ 0 & c\ end {bmatrix}\,:\, a, b, c\ in\ mathbb {R}\ derecha\}\ end {ecuación*}

se cierra bajo multiplicación en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}$$ (Recordemos que$$U$$ es el conjunto de matrices triangulares superiores en$$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{.}$$)

Solución

1. Vamos$$x,y∈2\mathbb{Z}$$. Entonces existen$$a,b∈\mathbb{Z}$$ tal que$$x=2a$$ y$$y=2b$$. Entonces

$$x+y=2a+2b=2(a+b)∈2\mathbb{Z}$$.

Así$$2\mathbb{Z}$$ se cierra bajo adición.

2. Ya que, por ejemplo,$$2,3∈S$$ pero$$2(3)=6∉S$$,$$S$$ no se cierra bajo multiplicación.

3. Dejar$$A = \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}$$ y$$B=\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \gamma \end{bmatrix}$$ entrar$$U$$. Entonces

$$AB = \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\alpha & a\beta + b\gamma \\ 0 & c\gamma \end{bmatrix} ∈U$$

Así$$U$$ se cierra bajo multiplicación matricial.

5. Dejar$$*$$ ser una operación binaria asociativa y conmutativa en un conjunto$$u\in S$$ Se dice que$$S\text{.}$$ un elemento es un idempotente en$$S$$ si$$u*u=u\text{.}$$ Let$$H$$ be el conjunto de todos los idempotentes en$$S\text{.}$$ Probar que$$H$$ se cierra bajo$$*\text{.}$$

Solución

Vamos$$u,v∈H$$. Para mostrar$$u∗v∈H$$, tenemos que demostrar eso$$(u∗v)∗(u∗v)=u∗v$$. Ahora,

$$\begin{array}& (u∗v)∗(u∗v)&=u∗(v∗u)∗v &(\text{since } ∗ \text{ is associative}) \\&=u∗(u∗v)∗v &(\text{since } ∗ \text{ is commutative}) \\&=(u∗u)∗(v∗v) &(\text{since } ∗ \text{ is associative}) \\&=u∗v &(\text{since } u,v∈H) . \end{array}$$

Entonces$$u∗v∈H$$.

##### Ejercicio 2.8 (Parte II)

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema.

1. Por cada entero positivo$$n\text{,}$$ existe un grupo de orden$$n\text{.}$$

2. Por cada entero$$n\geq 2\text{,}$$$$\mathbb{Z}_n$$ es abeliano.

3. Cada grupo abeliano es finito.

4. Por cada entero$$m$$ y entero$$n\geq 2\text{,}$$ existen infinitamente muchos enteros$$a$$ tal que$$a$$ es congruente al$$m$$ módulo$$n\text{.}$$

5. Una operación binaria$$*$$ en un conjunto$$S$$ es conmutativa si y solo si existe$$a,b\in S$$ tal que$$a*b=b*a\text{.}$$

6. Si$$\langle S, *\rangle$$ es una estructura binaria, entonces los elementos de$$S$$ deben ser números.

7. Si$$e$$ es un elemento de identidad de una estructura binaria (no necesariamente un grupo)$$\langle S,*\rangle\text{,}$$ entonces$$e$$ es un idempotente en$$S$$ (es decir,$$e*e=e$$).

8. Si$$s$$ es un idempotente en una estructura binaria (no necesariamente un grupo)$$\langle S,*\rangle\text{,}$$ entonces$$s$$ debe ser un elemento de identidad de$$S\text{.}$$

Solución

1. T
2. T
3. F
4. T
5. F
6. F
7. T
8. F

2. Dejar$$G$$ ser el conjunto de todas las funciones desde$$\mathbb{Z}$$ hasta$$\mathbb{R}\text{.}$$ Probar esa multiplicación puntual on$$G$$ (es decir, la operación definida por$$(fg)(x)=f(x)g(x)$$ para todos$$f,g\in G$$ y$$x\in \mathbb{Z}$$) es conmutativa. (Nota. Para demostrar que dos funciones,$$h$$ y$$j\text{,}$$ compartir el mismo dominio$$D$$ son iguales, es necesario demostrar que$$h(x)=j(x)$$ para cada$$x\in D\text{.}$$)

Solución

Vamos$$f,g∈G$$. Entonces para cada$$x∈\mathbb{Z}$$,

$$(fg)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)$$,

ya que$$f(x),g(x)∈\mathbb{R}$$ y la multiplicación de números reales es conmutativa. Ya que$$g(x)f(x)=(gf)(x)$$$$fg=gf$$,, y así la multiplicación puntual en$$G$$ es conmutativa.

3. Decidir cuáles de las siguientes estructuras binarias son grupos. Para cada uno, si la estructura binaria no es un grupo, demuéstralo. (¡Recuerda, no debes afirmar que las inversas existen o no existen para los elementos hasta que no te hayas asegurado de que la estructura contenga un elemento de identidad!) Si la estructura binaria es un grupo, demuéstralo.

1. $$\mathbb{Q}$$bajo multiplicación

2. $$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$en adición

3. $$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$bajo multiplicación

4. $$\mathbb{R}^+$$bajo$$*\text{,}$$ definido por$$a*b=\sqrt{ab}$$ para todos$$a,b\in \mathbb{R}^+$$

Solución

1. $$\mathbb{Q}$$no es un grupo bajo multiplicación ya que no$$0∈\mathbb{Q}$$ tiene inversa.

2. La multiplicación matricial es siempre asociativa, y la matriz cero$$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$ actúa como un elemento de identidad aditivo. Por último, vamos$$A∈\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$. Entonces$$−A∈\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$ es una inversa para la$$A$$ subsuma. Así,$$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$ es un grupo en adición.

3. $$\mathbb{M}^2(\mathbb{R})$$no es un grupo bajo multiplicación ya que la matriz cero no tiene inversa.

4. $$1∗(4∗9)=1∗6=\sqrt{6}$$mientras$$(1∗4)∗9=2∗9=\sqrt{18}$$, entonces$$∗$$ no es asociativo. Así,$$\mathbb{R}^+$$ no es un grupo bajo$$∗$$.

4. Dé un ejemplo de un grupo abeliano que contiene 711 elementos.

Solución

$$\mathbb{Z}_{711}$$. (Otras respuestas son posibles.)

5. Let$$n\in \mathbb{Z}\text{.}$$ Demostrar que$$n\mathbb{Z}$$ es un grupo bajo la suma habitual de enteros. Nota: Puedes usar el hecho de que$$\langle n\mathbb{Z},+\rangle$$ es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.

Solución

Sabemos por Teorema$$2.6.1$$ que$$\langle n\mathbb{Z},+ \rangle$$ es una estructura binaria.

A continuación,$$+$$ es asociativo encendido$$n$$, ya que es asociativo en$$\mathbb{Z}$$, y$$n\mathbb{Z}⊆\mathbb{Z}$$.

Observe que$$0∈n\mathbb{Z}$$ (desde$$0=n(0)$$);$$0$$ entonces claramente actúa como un elemento de identidad para$$+$$ en$$n\mathbb{Z}$$.

Por último, vamos$$x∈n\mathbb{Z}$$, entonces$$x=nm$$ para algunos$$m∈\mathbb{Z}$$, así$$−x=n(−m)$$ para$$m∈\mathbb{Z}$$, implicando$$−x∈n\mathbb{Z}$$; y claramente$$−x$$ actúa como un inverso for$$x$$ in$$n\mathbb{Z}$$.

Así,$$\langle n\mathbb{Z},+ \rangle$$ es un grupo.

6. Vamos$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Demostrar que$$SL(n,\mathbb{R})$$ es un grupo bajo multiplicación matricial. Nota: Puedes usar el hecho de que$$\langle SL(n\mathbb{R}),\cdot\rangle$$ es una estructura binaria si proporcionas una referencia para este hecho.

Solución

Sabemos por Teorema$$2.4.2$$ que$$\langle SL(n,\mathbb{R}), \cdot \rangle$$ es una estructura binaria, y sabemos que la multiplicación matricial es siempre asociativa. A continuación, ya que$$\text{det }I_n=1$$,$$I_n$$ está en$$SL(n,\mathbb{R})$$, y claramente actúa como un elemento de identidad en$$SL(n,\mathbb{R})$$. Por último, vamos$$A∈SL(n,\mathbb{R})$$. Ya que$$\text{det }A=1≠0$$,$$A$$ tiene una matriz inversa$$A^{−1}$$ en$$GL(n,\mathbb{R})$$. $$A^{−1}$$está en$$SL(n,\mathbb{R})$$ desde

$$\text{det }(A^{−1})=\dfrac{1}{\text{det }A}=\dfrac{1}{1}=1.$$

Así$$A$$ tiene una inversa en$$SL(n,\mathbb{R})$$.

Así, nuestra prueba está completa.

7.

1. Enumere tres enteros distintos que son congruentes con el$$6$$ módulo$$5\text{.}$$

2. Enumerar los elementos de$$\mathbb{Z}_5\text{.}$$

3. Cómplate:

1. $$4+5$$en$$\mathbb{Z}\text{;}$$

2. $$4+5$$en$$\mathbb{Q}\text{;}$$

3. $$4+_65$$en$$\mathbb{Z}_6\text{;}$$

4. la inversa de$$4$$ in$$\mathbb{Z}\text{;}$$

5. la inversa de$$4$$ in$$\mathbb{Z}_6\text{.}$$

4. ¿Por qué no tiene sentido para mí pedirte que computes$$4+_3 2$$ en$$\mathbb{Z}_3\text{?}$$ Por favor conteste esto usando una oración completa, gramaticalmente correcta.

Solución

1. $$11,1,−4$$. (Otras respuestas son posibles.)

2. $$\mathbb{Z}_5=\{0,1,2,3,4\}$$

3. Cómplate:

1. $$9$$

2. $$9$$

3. $$3$$

4. $$-4$$

5. $$2$$

4. No tiene sentido porque$$4∉\mathbb{Z}_3$$.

8. Dejar$$G$$ ser un grupo con elemento de identidad$$e\text{.}$$ Probar que si cada elemento de$$G$$ es su propio inverso, entonces$$G$$ es abeliano.

Solución

Vamos$$a,b∈G$$. Entonces

$$\begin{array}& ab&=(ab)^{−1} &(\text{since } ab \text{ is its own inverse}) \\&=b^{−1}a^{−1}&=ba, \end{array}$$

ya que$$a,b$$ son sus propios inversos.

Así$$G$$ es abeliano.

9. Seamos$$G$$ un grupo. El subconjunto

\ begin {ecuación*} Z (G) :=\ {z\ en G\,:\, zg=gz\ mbox {para todos} g\ in G\}\ end {ecuación*}

de$$G$$ se llama el centro de$$G\text{.}$$ En otras palabras,$$Z(G)$$ es el conjunto de todos los elementos de$$G$$ ese viaje con cada elemento de$$G\text{.}$$ Probar que$$Z(G)$$ está cerrado en$$G\text{.}$$

Solución

Vamos$$z_1,z_2∈Z(G)$$. Vamos$$z=z_1z_2$$; queremos mostrar que$$z$$ está en$$H$$: es decir, queremos mostrar eso para cada$$g∈G$$,$$zg=gz$$. Pero para cada$$g∈G$$,

$$\begin{array}& zg&=(z_1z_2)g &(\text{using the definition of \(z$$})\\ &=z_1 (z_2g) & (\ text {ya que la operación$$G$$ es asociativa})\\ &=z_1 (gz_2) & (\ text {since} z_2eZ (G))\\ & =( z_1g) z_2 & (\ text {ya que la operación$$G$$ es asociativa})\\ & =( gz_1) z_2 & (\ text {since} z_1z (G))\\ &=g (z_1z_2) & (\ text {$$G$$desde's operación es asociativa})\\ &=g_z & (\ text {usando la definición de} h)\ end {array}\).

Así,$$Z(G)$$ se cierra en$$G$$.

##### Ejercicio 3.4

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos.

1. Si existe un homomorfismo$$\phi\;:\;G\to G'\text{,}$$ entonces$$G$$ y$$G'$$ deben ser grupos isomórficos.

2. Hay un entero$$n\geq 2$$ tal que$$\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}_n\text{.}$$

3. Si$$|G|=|G'|=3\text{,}$$ entonces debemos tener$$G\simeq G'\text{.}$$

4. Si$$|G|=|G'|=4\text{,}$$ entonces debemos tener$$G\simeq G'\text{.}$$

Solución

1. F
2. F
3. T
4. F

2. Para cada una de las siguientes funciones, probar o desmentir que la función es (i) un homomorfismo; (ii) un isomorfismo. (¡Recuerda trabajar con la operación predeterminada en cada uno de estos grupos!)

1. La función$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$$ definida por$$f(n)=2n\text{.}$$

2. La función$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por$$g(x)=x^2\text{.}$$

3. La función$$h:\mathbb{Q}^*\to\mathbb{Q}^*$$ definida por$$h(x)=x^2\text{.}$$

Solución

1. La función$$f$$ es un homomorfismo, ya que para cada$$a,b∈\mathbb{Z}$$, tenemos

$$f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)$$.
2. La función$$f$$ no es una biyección, ya que no es onto: por ejemplo, no hay ningún elemento aa en$$\mathbb{Z}$$ tal que$$f(a)=3$$. Así, no$$f$$ es un isomorfismo.

1.

1. La función$$g$$ no es un homomorfismo: por ejemplo, tenemos

$$g(2+3)=g(5)=25≠13=4+9=g(2)+g(3)$$.
2. Como no es un homomorfismo, no es un isomorfismo.

2.

1. La función$$h$$ es un homomorfismo, ya que para cada$$a,b∈\mathbb{Q}$$, tenemos

$$h(ab)=(ab)^2=a^2b^2=h(a)h(b)$$.
2. La función$$h$$ no está en: su rango es el conjunto de números racionales no negativos, no todos$$\mathbb{Q}$$. Así, no$$h$$ es un isomorfismo.

3. Definir$$d : GL(2,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^*$$ por$$d(A)=\text{det } A\text{.}$$ probar/desacreditar que$$d$$ es:

1. un homomorfismo

2. 1-1

3. onto

4. un isomorfismo.

Solución

1. La función$$d$$ es un homomorfismo, ya que para cada$$A,B∈GL(2,\mathbb{R})$$, tenemos

$$d(AB)=\text{det }(AB)=(\text{det }A)(\text{det }B)=d(A)d(B)$$.
2. $$d$$no es 1-1: Por ejemplo,$$d(I_2)=d(−I_2)$$.

3. $$d$$está en: Vamos$$a∈\mathbb{R}^∗$$. Luego la matriz

$$A=\begin{bmatrix} a & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$

está en$$GL(2,\mathbb{R})$$, con$$d(A)=a$$.

4. Ya que$$d$$ no es 1-1, no es un isomorfismo.

4. Completa las tablas de grupo para$$\mathbb{Z}_4$$ y$$\mathbb{Z}_8^{\times}\text{.}$$ Usa las tablas de grupo para decidir si$$\mathbb{Z}_8^{\times}$$ son isomórficas entre sí o no$$\mathbb{Z}_4$$. (No es necesario que proporcione una prueba.)

Solución

Las tablas de grupo de$$\mathbb{Z}_4$$ y$$\mathbb{Z}^×_8$$ son, respectivamente,

$$+$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$
\ (+\)” alcance="fila">$$0$$ \ (0\) ">$$0$$ \ (1\) ">$$1$$ \ (2\) ">$$2$$ \ (3\) ">$$3$$
\ (+\)” alcance="fila">$$1$$ \ (0\) ">$$1$$ \ (1\) ">$$2$$ \ (2\) ">$$3$$ \ (3\) ">$$0$$
\ (+\)” alcance="fila">$$2$$ \ (0\) ">$$2$$ \ (1\) ">$$3$$ \ (2\) ">$$0$$ \ (3\) ">$$1$$
\ (+\)” alcance="fila">$$3$$ \ (0\) ">$$3$$ \ (1\) ">$$0$$ \ (2\) ">$$1$$ \ (3\) ">$$2$$

y

$$\cdot s$$ $$1$$ $$3$$ $$5$$ $$7$$
\ (\ cdot s\)” alcance="fila">$$1$$ \ (1\) ">$$1$$ \ (3\) ">$$3$$ \ (5\) ">$$5$$ \ (7\) ">$$7$$
\ (\ cdot s\)” alcance="fila">$$3$$ \ (1\) ">$$3$$ \ (3\) ">$$5$$ \ (5\) ">$$7$$ \ (7\) ">$$1$$
\ (\ cdot s\)” alcance="fila">$$5$$ \ (1\) ">$$5$$ \ (3\) ">$$7$$ \ (5\) ">$$1$$ \ (7\) ">$$3$$
\ (\ cdot s\)” alcance="fila">$$7$$ \ (1\) ">$$7$$ \ (3\) ">$$1$$ \ (5\) ">$$3$$ \ (7\) ">$$5$$

Podemos ver en la tabla de grupos para$$\mathbb{Z}^×_8$$ que cada elemento de ese grupo es su propio inverso; ese no es el caso en$$\mathbb{Z}_4$$. Por lo tanto,$$\mathbb{Z}_4≄\mathbb{Z}^×_8$$.

5. Vamos a$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Demostrar que$$\langle n\mathbb{Z},+\rangle \simeq \langle \mathbb{Z},+\rangle\text{.}$$

Solución

Definir$$ϕ:\mathbb{Z}→n\mathbb{Z}$$ por$$ϕ(x)=nx$$, para todos$$x∈\mathbb{Z}$$. Claramente,$$ϕ$$ es una biyección. Además, para todos$$x,y∈\mathbb{Z}$$,

$$ϕ(x+y)=n(x+y)=nx+ny=ϕ(x)+ϕ(y)$$;

así$$ϕ$$ es un homomorfismo. Así,$$ϕ$$ es un isomorfismo, y por lo tanto

$$\langle \mathbb{Z},+ \rangle ≃ \langle n\mathbb{Z},+ \rangle$$.

6.

1. Dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos, donde$$G$$ es abeliano y$$G\simeq G'\text{.}$$ Demostrar que$$G'$$ es abeliano.

2. Dar un ejemplo de grupos$$G$$ y$$G'\text{,}$$ donde$$G$$ es abeliano y existe un homomorfismo desde$$G$$ hasta$$G'\text{,}$$ pero NO$$G'$$ es abeliano.

Solución

1. Ya que$$G≃G′$$, existe algún isomorfismo$$ϕ:G→G′$$. Vamos$$x,y∈G′$$. Ya que$$ϕ$$ está en, existen$$a,b∈G$$ tales que$$ϕ(a)=x$$ y$$ϕ(b)=y$$. Entonces

$$\begin{array}& xy&=ϕ(a)ϕ(b)\\ &=ϕ(ab) &(\text{since } ϕ \text{ is a homomorphism}) \\&=ϕ(ba) &(\text{since } G \text{ is abelian}) \\&=ϕ(b)ϕ(a)\\&=yx. \end{array}$$

Así,$$G′$$ es abeliano.

2. Dejar$$G=\{I_2\}$$ (bajo multiplicación) y dejar$$G′=GL(2,\mathbb{R})$$. Entonces el mapa$$ϕ:G→G′$$ definido por$$ϕ(I_2)=I_2$$ es claramente un homomorfismo, pero tenga en cuenta que$$G$$ es abeliano mientras que no lo$$G′$$ es.

7. Dejar$$\langle G,\cdot\rangle$$ y$$\langle G',\cdot'\rangle$$ ser grupos con elementos de identidad$$e$$ y$$e'\text{,}$$ respectivamente, y dejar$$\phi$$ ser un homomorfismo de$$G$$ a$$G'\text{.}$$ Let$$a\in G\text{.}$$ Probar que$$\phi(a)^{-1}=\phi(a^{-1})\text{.}$$

Solución

Omitimos las operaciones grupales en esta solución para aumentar la familiaridad con la convención.

Eso queremos demostrarlo$$ϕ(a)^{−1}=ϕ(a^{−1})$$. Observe que

$$\begin{array} &ϕ(a^{−1})ϕ(a) & =ϕ(a^{−1}a) & (\text{since \(ϕ$$es un homomorfismo})\\ & =ϕ (e) & (\ text {por definición de} a^ {−1})\\ &=e′ & (\ text {ya que$$ϕ(e)$$ es el elemento de identidad de} G′)\\ & =9 (a) ^ {−1} ϕ (a) & (\ text {por definición de} 9 (a) ^ {−1}). \ end {array}\)

Así,$$ϕ(a^{−1})=ϕ(a)^{−1}$$, por derecho de cancelación.

##### Ejercicio 4.3

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos.

1. Cada grupo contiene al menos dos subgrupos distintos.

2. Si$$H$$ es un subgrupo propio de grupo$$G$$ y$$G$$ es finito, entonces debemos tener$$|H|\lt |G|\text{.}$$

3. $$7\mathbb{Z}$$es un subgrupo de$$14\mathbb{Z}\text{.}$$

4. Un grupo$$G$$ puede tener dos subgrupos propios distintos que son isomórficos (entre sí).

Solución

1. F
2. T
3. F
4. T

2. Dar ejemplos específicos y precisos de los siguientes grupos$$G$$ con subgrupos$$H\text{:}$$

1. Un grupo$$G$$ con un subgrupo adecuado$$H$$ de$$G$$ tal manera que$$|H|=|G|\text{.}$$

2. Un grupo$$G$$ de orden 12 que contiene un subgrupo$$H$$ con$$|H|=3\text{.}$$

3. Un grupo no abeliano$$G$$ que contiene un subgrupo abeliano no trivial$$H\text{.}$$

4. Un subgrupo finito$$H$$ de un grupo infinito$$G\text{.}$$

Solución

(Otras respuestas son posibles.)

1. $$G=\mathbb{Z}$$,$$H=2\mathbb{Z}$$

2. $$G=\mathbb{Z}_{12}$$,$$H=\{0,4,8\}$$

3. $$G=GL(2,\mathbb{R})$$,$$H=\{±I_2\}$$

4. $$G=\mathbb{R}^∗$$,$$H=\{±1\}$$.

3. Let$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$

1. Demostrar que$$n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{.}$$

2. Demostrar que el conjunto$$H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A=\pm 1\}$$ es un subgrupo de$$GL(n,\mathbb{R})\text{.}$$

(Nota: ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

Solución

1. Eso lo sabemos$$n\mathbb{Z}⊆\mathbb{Z}$$ y ese$$n\mathbb{Z}$$ es un grupo en suma, la operación grupal en$$\mathbb{Z}$$. Por lo tanto,$$n\mathbb{Z}≤\mathbb{Z}$$.

2. Claramente,$$H$$ es un subconjunto no vacío de$$GL(n,\mathbb{R})$$ (por ejemplo,$$I_n∈H$$). A continuación, vamos$$A,B∈H$$. Entonces

$$\text{det }(AB^{−1})=(\text{det }A)(\text{det }(B^{−1}))=(±1)(1±1)=±1$$,

así$$AB^{−1}∈H$$. Así,$$H≤GL(n,\mathbb{R})$$ por la Prueba de Subgrupos de Dos Pasos.

4. Dejar$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Para cada grupo$$G$$ y subconjunto$$H\text{,}$$ decidir si$$H$$ es o no un subgrupo de$$G\text{.}$$ En los casos en los que no$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{,}$$ proporcionar una prueba. (Nota. ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

1. $$G=\mathbb{R}\text{,}$$$$H=\mathbb{Z}$$

2. $$G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}$$$$H=\{0,5,10\}$$

3. $$G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}$$$$H=\{0,4,8,12\}$$

4. $$G=\mathbb{C}\text{,}$$$$H=\mathbb{R}^*$$

5. $$G=\mathbb{C}^*\text{,}$$$$H=\{1,i,-1,-i\}$$

6. $$G=\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{,}$$$$H=GL(n,\mathbb{R})$$

7. $$G=GL(n,\mathbb{R})\text{,}$$$$H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A = -1\}$$

Solución

1. $$H≤G$$.

2. $$H≤G$$.

3. $$H$$es un subconjunto de$$G$$ pero no está cerrado bajo$$+_{15}$$: por ejemplo$$12+_{15}4=1∉H$$. Entonces$$H \nleq G$$.

4. $$H$$es un subconjunto de$$G$$, pero el elemento de identidad,$$0$$, de$$G$$ no está en$$H$$, entonces$$H \nleq G$$.

5. $$H≤G$$.

6. $$H$$es un subconjunto de$$G$$, pero el elemento de identidad,$$0$$, de$$G$$ no está en$$H$$, entonces$$H \nleq G$$.

7. $$H$$es un subconjunto de$$G$$, pero el elemento de identidad,$$I_n$$, de$$G$$ no está en$$H$$, ya que$$\text{det }I_n=1$$. Por lo tanto,$$H \nleq G$$.

5. Dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos, dejar$$\phi$$ ser un homomorfismo de$$G$$ a$$G'\text{,}$$ y dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G\text{.}$$ Probar que$$\phi(H)$$ es un subgrupo de$$G'\text{.}$$

Solución

Vamos$$x,y∈ϕ(H)$$. Entonces$$x=ϕ(a)$$ y$$y=ϕ(b)$$ para algunos$$a,b∈H$$. Entonces$$xy=ϕ(a)ϕ(b)=ϕ(ab)$$ (ya que$$ϕ$$ es un homomorfismo). Ya que$$H≤G$$,$$ab∈H$$. Por lo tanto,$$xy∈ϕ(H)$$. A continuación,$$e_G∈H$$, entonces$$e_G′=ϕ(e_G)∈ϕ(H)$$. Por último, desde$$H≤G$$ y$$a∈H$$,$$a^{−1}∈H$$; entonces$$x^{−1}=ϕ(a)^{−1}=ϕ(a^{−1})∈ϕ(H)$$. Por lo tanto,$$ϕ(H)≤G′$$.

6. Seamos$$G$$ un grupo abeliano, y vamos$$U=\{g\in G\,:\, g^{-1}=g\}.$$ Probar que$$U$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$

Solución

Claramente,$$U⊆G$$ y$$e∈U$$. A continuación, vamos$$u,v∈U$$. Entonces

$$(uv)^2=(uv)(uv)=u^2v^2=uv$$,

así$$uv∈U$$. Por último$$u∈U$$, ya que$$u^{−1}=u$$, tenemos, así$$(u^{−1})^2=u^2=e$$; así,$$u^{−1}∈U$$.

##### Ejercicio 5.3

1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja$$G$$ ser un grupo con elemento de identidad$$e\text{.}$$

1. Si$$G$$ es infinito y cíclico, entonces$$G$$ debe tener infinitamente muchos generadores.

2. Puede haber dos elementos distintos$$a$$ y$$b$$ de un grupo$$G$$ con$$\langle a\rangle =\langle b\rangle\text{.}$$

3. Si$$a,b\in G$$ y$$a\in \langle b\rangle$$ entonces debemos tener$$b\in \langle a\rangle\text{.}$$

4. Si$$a\in G$$ con$$a^4=e\text{,}$$ entonces$$o(a)$$ debe ser igual$$4\text{.}$$

5. Si$$G$$ es contable entonces$$G$$ debe ser cíclico.

Solución

1. F
2. T
3. F
4. F
5. F

2. Dar ejemplos de lo siguiente.

1. Un grupo infinito no cíclico$$G$$ que contiene un subgrupo cíclico infinito$$H\text{.}$$

2. Un grupo infinito no cíclico$$G$$ que contiene un subgrupo cíclico finito no trivial$$H\text{.}$$

3. Un grupo cíclico$$G$$ que contiene exactamente 20 elementos.

4. Un grupo cíclico no trivial$$G$$ cuyos elementos son todos matrices.

5. Un grupo no cíclico$$G$$ tal que cada subgrupo apropiado de$$G$$ es cíclico.

Solución

(Otras respuestas son posibles.)

1. $$G=\mathbb{R}$$,$$H=\mathbb{Z}$$

2. $$G=GL(n,\mathbb{R})$$,$$H=\{±I_2\}$$

3. $$G=\mathbb{Z}_{20}$$

4. $$G=\{±I_2\}$$, bajo multiplicación matricial

5. $$G=\mathbb{Z}_2^2$$

3. Encuentra los órdenes de los siguientes elementos en los grupos dados.

1. $$2\in \mathbb{Z}$$

2. $$-i\in \mathbb{C}^*$$

3. $$-I_2\in GL(2,\mathbb{R})$$

4. $$-I_2\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$

5. $$(6,8)\in \mathbb{Z}_{10}\times \mathbb{Z}_{10}$$

Solución

1. $$o(2)=∞$$, ya que$$\langle 2 \rangle =2\mathbb{Z}$$.

2. $$o(−i)=4$$, ya que$$\langle −i \rangle =\{−i,−1,i,1\}$$.

3. $$o(I_2)=2$$, ya que$$\langle−I_2 \rangle=\{−I_2,I_2\}$$.

4. $$o(I_2)=∞$$, ya que$$\langle −I_2 \rangle =\{kI_2:k∈\mathbb{Z}\}$$.

5. $$o((6,8))=5$$, ya que$$\langle (6,8) \rangle=\{(6,8),(2,6),(8,4),(4,2),(0,0)\}$$.

4. Para cada uno de los siguientes, si el grupo es cíclico, enumere todos sus generadores. Si el grupo no es cíclico, escriba NC.

1. $$5\mathbb{Z}$$

2. $$\mathbb{Z}_{18}$$

3. $$\mathbb{R}$$

4. $$\langle \pi\rangle$$en$$\mathbb{R}$$

5. $$\mathbb{Z}_2^2$$

6. $$\langle 8\rangle$$en$$\mathbb{Q}^*$$

Solución

1. $$±5$$

2. $$1,5,7,11,13,17$$

3. NC

4. $$±π$$

5. NC

6. $$8,\dfrac{1}{8}$$

5. Identificar explícitamente los elementos de los siguientes subgrupos de los grupos dados. Puede usar notación set-builder si el subgrupo es infinito, o un nombre convencional para el subgrupo si tenemos uno.

1. $$\langle 3\rangle$$en$$\mathbb{Z}$$

2. $$\langle i\rangle$$en$$C^*$$

3. $$\langle A\rangle\text{,}$$para$$A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$$

4. $$\langle (2,3)\rangle$$en$$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_5$$

5. $$\langle B\rangle\text{,}$$para$$B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right]\in GL(2,\mathbb{R})$$

Solución

1. $$3\mathbb{Z}$$

2. $$\{i,−1,−i,1\}$$

3. $$\{\left[ \begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]:k∈\mathbb{Z}\}$$

4. $$\{(2,3),(0,1),(2,4),(0,2),(2,0),(0,3),(2,1),(0,4),(2,2),(0,0)\}$$

5. $$\{\left[ \begin{array}{cc} 1 & k \\ 0 & 1 \end{array} \right]:k∈\mathbb{Z}\}$$

6. Dibujar celosías de subgrupos para los siguientes grupos.

1. $$\mathbb{Z}_6$$
2. $$\mathbb{Z}_{13}$$
3. $$\mathbb{Z}_{18}$$

Solución

Las soluciones respectivas son:

a.

b.

c.

7. $$G$$Sea un grupo sin subgrupos propios no triviales. Demostrar que$$G$$ es cíclico.

Solución

$$e$$Déjese ser el elemento de identidad de$$G$$. Si$$G=\{e\}$$, entonces$$G$$ es claramente cíclico. De lo contrario, existe$$a≠e$$ en$$G$$. Entonces$$\langle a \rangle$$ es un subgrupo de$$G$$. Ya que$$e≠a∈ \langle a \rangle$$,$$\langle a \rangle$$ es un subgrupo no trivial de$$G$$. Por lo tanto, debemos tener$$\langle a \rangle =G$$. De ahí$$G$$ que sea cíclico, según se desee.

##### Ejercicio 6.6

1. Vamos$$\sigma=(134)\text{,}$$$$\tau=(23)(145)\text{,}$$$$\rho=(56)(78)\text{,}$$ y$$\alpha=(12)(145)$$ en$$S_8\text{.}$$ Calcular lo siguiente.

1. $$\sigma \tau$$
2. $$\tau \sigma$$
3. $$\tau^2$$
4. $$\tau^{-1}$$
5. $$o(\tau)$$
6. $$o(\rho)$$
7. $$o(\alpha)$$
8. $$\langle \tau\rangle$$

Solución

1. $$στ=(134)(23)(145)=(2453)$$

2. $$τσ=(23)(145)(134)=(1235)$$

3. $$τ^2=(154)$$

4. $$τ−1=(23)(154)$$

5. $$o(τ)= \text{lcm}⁡(2,3)=6 (\text{since } (23) \text{ and } (145) \text{ are disjoint})$$

6. $$o(ρ)= \text{lcm}⁡(2,2)=2$$

7. En notación de ciclo disjunta,$$α=(1452)$$, entonces$$o(α)=o(1452)=4$$.

8. $$\langle τ \rangle ={(23)(145),(154),(23),(145),e}$$

2. Demostrar Lema 6.3.1.

Solución

Vamos$$σ=(a_1a_2⋯a_k)∈S_n$$. Entonces$$σ=(a_1a_k)(a_1a_{k_{−1}})⋯(a_1a_3)(a_1a_2)$$, también lo es un producto de$$k−1$$ las transposiciones. Así,$$σ$$ es par si$$k−1$$ es par, es decir, si$$k$$ es impar, e impar si$$k−1$$ es impar, es decir, si$$k$$ es par.

3. Demostrar que$$A_n$$ es un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

Solución

Ya que$$e∈A_n$$,$$A_n≠∅$$. A continuación, vamos$$σ,τ∈A_n$$. Entonces se$$σ$$ puede escribir como producto de$$k$$ transposiciones y se$$τ$$ puede escribir como$$τ=τ_1τ_2⋯τ_m$$, donde$$k$$ y mm son parejos y los$$τ_i$$ son transposiciones. Dado que cada uno$$τ_i$$ es una transposición, cada uno$$τ_i$$ es su propio inverso; entonces

$$τ^{−1}=(τ_m)^{−1}(τ_{m−1})^{−1}⋯τ^{−1}_1=τ_m^{−1}τ_{m-1}^{−1}⋯τ_1^{−1}$$.

Así,$$στ^{−1}$$ es producto de$$k+m$$ las transposiciones; ya que$$k$$ y$$m$$ son parejos,$$k+m$$ es parejo, y así$$στ^{−1}∈A_n$$. Así,$$A_n≤S_n$$, por la Prueba de Subgrupos de Dos Pasos.

4. Demostrar o desacreditar: El conjunto de todas las permutaciones impares en$$S_n$$ es un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

Solución

Este conjunto no es un subgrupo de$$S_n$$ porque, por ejemplo, no contiene$$e$$.

5. Dejar$$n$$ ser un entero mayor que$$2$$. $$m \in \{1,2,\ldots,n\}\text{,}$$y let$$H=\{\sigma\in S_n\,:\,\sigma(m)=m\}$$ (en otras palabras,$$H$$ es el conjunto de todas las permutaciones en$$S_n$$ ese arreglo$$m$$).

1. Demostrar que$$H\leq S_n\text{.}$$

2. Identificar un grupo familiar al que$$H$$ sea isomórfico. (No es necesario mostrar ningún trabajo.)

Solución

1. Ya que$$e∈H$$,$$H≠∅$$. A continuación, vamos$$σ,τ∈H$$. Desde$$τ(m)=m$$ y$$τ$$ es una bijección,$$τ^{−1}(m)=m$$. Entonces$$στ^{−1}(m)=σ(τ^{−1}(m))=σ(m)=m$$. Entonces$$στ^{−1}∈H$$; por lo tanto,$$H≤S_n$$, por la Prueba de Subgrupos de Dos Pasos.

2. $$S_{n−1}$$.

6. Escribir$$rfr^2frfr$$$$D_5$$ en forma estándar.

Solución

En$$D_5$$,$$frfr=(fr)^2=e$$ y$$rf=fr^{−1}$$, entonces

$$rfr^2frfr=rfr^2=fr^{−1}r^2=fr.$$

7. Demostrar o desacreditar:$$D_6\simeq S_6\text{.}$$

Solución

$$|D_6|=2(6)=12$$mientras$$|S_6|=720$$, entonces$$D_6≄S_6$$.

8. Qué elementos de$$D_4$$ (si los hay)

1. tener orden$$2$$?

2. tener orden$$3\text{?}$$

Solución

Sabemos$$o(fr^i)=2$$ por cada$$i$$, y$$o(e)=1$$. Además, ya que$$4$$ es parejo,$$r^{4/2}=r^2$$ tiene orden$$2$$. Por último,$$o(r)=o(r^{−1})=4$$. Entonces (a) los elementos de orden$$2$$ en$$D_4$$ son$$f, fr,fr^2, fr^3$$, y$$r^2$$, y (b) no$$D_4$$ contiene elementos de orden$$3$$.

9. $$n$$Sea un entero par que sea mayor o igual a$$4$$. Demostrar$$r^{n/2}\in Z(D_n)\text{:}$$ que es decir, demostrar$$r^{n/2}$$ que se desplaza con cada elemento de$$D_n\text{.}$$ (NO se limite a hacer referencia a la última declaración en el Teorema 6.5.4; esa es la afirmación que está demostrando aquí.)

Solución

Claramente$$r^{n/2}$$, se desplaza con cada$$r^k$$ para$$0≤k≤n$$. Además, por el primer enunciado del Teorema 6.5.4,

$$r^{n/2}f=f(r^{n/2})^{−1}=fr^{n−n/2}=fr^{n/2}$$.

Así$$r^{n/2}$$ que se desplaza con$$f$$. De ello se desprende claramente$$r^{n/2}∈\mathbb{Z}(D_n)$$.

##### Ejercicio 7.4

1. ¿Cuántas particiones distintas del conjunto$$S=\{a,b,c,d\}$$ hay? No es necesario que los enumere. (Sí, puedes encontrar esta respuesta en línea. ¡Pero te recomiendo hacer el trabajo tú mismo para practicar trabajando con particiones!)

Solución

Hay 15 particiones distintas del conjunto$$\{a,b,c,d\}$$:

$$\{\{a\},\{b\},\{c\},\{d\}\},\{\{a,b\},\{c\},\{d\}\},\{\{a,c\},\{b\},\{d\}\},\{\{a,d\},\{b\},\{c\}\}, \\ \{\{b,c\},\{a\},\{d\}\},\{\{b,d\},\{a\},\{c\}\},\{\{c,d\},\{a\},\{b\}\}, \\ \{\{a,b\},\{c,d\}\},\{\{a,c\},\{b,d\}\},\{\{a,d\},\{b,c\}\}, \\ \{\{a,b,c\},\{d\}\},\{\{a,b,d\},\{c\}\},\{\{a,c,d\},\{b\}\},\{\{b,c,d\},\{a\},\}, \\ \{\{a,b,c,d\}\}.$$

2.

1. Let$$n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$$ Demostrar que$$\equiv_n$$ es una relación de equivalencia en$$\mathbb{Z}\text{.}$$

2. Las células de la partición inducida de$$\mathbb{Z}$$ se denominan las clases de residuo (o clases de congruencia) de$$\mathbb{Z}$$ módulo$$n$$. Usando la notación de conjunto de la forma$$\{\ldots,\#, \#,\#,\ldots\}$$ para cada clase, anote las clases de residuo de$$\mathbb{Z}$$ módulo$$4\text{.}$$

Solución

1. Primero, para cada$$x∈\mathbb{Z}$$,$$n$$ divide$$0=x−x$$; así$$x≡_nx$$ para cada$$x∈\mathbb{Z}$$. Así,$$≡_n$$ es reflexivo. A continuación, vamos$$x,y∈\mathbb{Z}$$ con$$x≡_ny$$. Entonces existe algunos$$q∈\mathbb{Z}$$ con$$x−y=nq$$; entonces$$y−x=n(−q)$$. Ya que$$−q∈\mathbb{Z}$$, esto nos demuestra que$$y≡_nx$$. De ahí,$$≡_n$$ es simétrico. Por último, dejar$$x,y$$ y$$z$$ estar$$\mathbb{Z}$$ con$$x≡_ny$$ y$$y≡_nz$$. Entonces existen$$q_1,q_2∈\mathbb{Z}$$ con$$x−y=nq_1$$ y$$y−z=nq_2$$. Por lo tanto,

$$x−z=(x−y)+(y−z)=nq_1+nq_2=n(q_1+q_2)$$;

ya que$$q_1+q_2∈\mathbb{Z}$$, esto nos demuestra que$$x≡_nz$$. Así,$$≡_n$$ es transitivo. De ahí$$≡_n$$ que sea una relación de equivalencia, según se desee.

2.

$$\{…,−8,−4,0,4,…\},\{…,−7,−3,1,5,…\},\\ \{…,−6,−2,2,6,…\},\{…,−5,−1,3,7,…\}$$

3. Dejar$$G$$ ser un grupo con subgrupo$$H\text{.}$$ Probar que$$\sim_R$$ es una relación de equivalencia en$$G\text{.}$$

Solución

Primero, vamos$$a∈G$$. Entonces$$aa^{−1}=e∈H$$, entonces$$a\sim_Ra$$. Así,$$\sim_R$$ es reflexivo.

A continuación, vamos$$a,b∈G$$ con$$a sim_Rb$$. Entonces$$ab^{−1}∈H$$, entonces, ya que$$H$$ es un subgrupo de$$G$$,$$(ab^{−1})^{−1}∈H$$. Pero$$(ab^{−1})^{−1}=ba^{−1}$$; así,$$b \sim_Ra$$, y así$$\sim_R$$ es simétrico.

Por último, vamos$$a,b,c∈G$$ con$$a \sim_Rb$$ y$$b \sim_Lc$$. Entonces$$ab^{−1}$$ y$$bc^{−1}$$ están en$$H$$. Ya que$$H$$ es un subgrupo de$$G$$, entonces debemos tener$$(ab^{−1})(bc^{−1})∈H$$; pero$$(ab^{−1})(bc^{−1})$$ iguales$$ac^{−1}$$. Así,$$a\sim_Rc$$, y así$$\sim_R$$ es transitivo.

De ahí,$$\sim_R$$ es una relación de equivalencia sobre$$G$$, según se desee.

4. Encuentra los índices de:

1. $$H=\langle (15)(24)\rangle$$en$$S_5$$

2. $$K=\langle (2354)(34)\rangle$$en$$S_6$$

3. $$A_n$$en$$S_n$$

Solución

1. $$(S_5:H)=\dfrac{|S_5|}{|H|}= \dfrac{120}{2} =60$$.

2. En la notación de ciclo disjunta, la permutación$$(2354)(34)$$ está escrita$$(23)(45)$$, también lo$$L$$ ha hecho el orden$$2$$. Por lo tanto,$$(S_6:K)=\dfrac{|S_6|}{|K|}=\dfrac{720}{2}=360$$.

3. $$(S_n:A_n)=2$$.

5. Para cada subgrupo$$H$$ del grupo$$G\text{,}$$ (i) encontrar los coconjuntos izquierdo y derecho de$$H$$ en$$G\text{,}$$ (ii) decidir si$$H$$ es normal o no en$$G\text{,}$$ y (iii) encontrar$$(G:H)\text{.}$$

Escribe todas las permutaciones usando notación de ciclo disjunta y escribe todos los elementos del grupo diedro usando la forma estándar.

1. $$H=6\mathbb{Z}$$en$$G=2\mathbb{Z}$$

2. $$H=\langle 4\rangle$$en$$\mathbb{Z}_{20}$$

3. $$H=\langle (23)\rangle$$en$$G=S_3$$

4. $$H=\langle r\rangle$$en$$G=D_4$$

5. $$H=\langle f\rangle$$en$$G=D_4$$

Solución

1. Los coconjuntos izquierdo y derecho de$$6\mathbb{Z}$$ in$$2\mathbb{Z}$$ son$$6\mathbb{Z}$$,$$2+6\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}+2$$, y$$4+6\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}+4$$.

2. $$6\mathbb{Z}⊴2\mathbb{Z}$$.

3. $$(2\mathbb{Z}:6\mathbb{Z})=3$$.

1.

1. Los coconjuntos izquierdo y derecho de$$H= \langle 4 \rangle=\{0,4,8,12,16\}$$ in$$\mathbb{Z}_{20}$$ son$$H$$,$$1+H=\{1,5,9,13,17\}=H+1$$,$$2+H=\{2,7,10,14,18\}=H+2$$, y$$3+H=\{3,8,11,15,19\}=H+3$$.

2. $$H⊴Z_{20}$$.

3. $$(Z_{20}:H)=4$$.

2.

1. Los cosets izquierdos de$$H$$ in$$S_3$$ son$$H=\{e,(23)\}$$,$$(12)H=\{(12),(123)\}$$, y$$(13)H=\{(13),(132)\}$$. Los cosets correctos de$$H$$ in$$S_3$$ son$$H$$,$$H(12)=\{(12),(132)\}$$, y$$H(13)=\{(13),(123)\}$$.

2. $$H$$no es normal en$$S_3$$.

3. $$(S_3:H)=3$$.

3.

1. Los cosets izquierdos y los coconjuntos derechos de$$H$$ in$$D_4$$ son$$H=\{e,r,r^2,r^3\}$$ y$$fH=\{f,fr,fr^2,fr^3\}=Hf$$.

2. $$H⊴D_4$$.

3. $$(D_4:H)=2$$.

4.

1. Los cosets izquierdos de$$H$$ in$$D_4$$ son$$H=\{e,f\}$$,$$rH=\{r,fr^3\}$$,$$r^2H=\{r^2,fr^2\}$$, y$$r^3H=\{r^3,fr\}$$. Los coconjuntos correctos de$$H$$ in$$D_4$$ son$$H$$,$$Hr=\{r,fr\}$$,$$Hr^2=\{r^2,fr^2\}$$, y$$Hr^3=\{r^3,fr^3\}$$.

2. $$H$$no es normal en$$D_4$$.

3. $$(D_4:H)=4$$.

6. Para cada una de las siguientes, dar un ejemplo de un grupo$$G$$ con un subgrupo$$H$$ que coincida con las condiciones dadas. Si no existe tal ejemplo, demuéstralo.

1. Un grupo$$G$$ con subgrupo$$H$$ tal que$$|G/H|=1\text{.}$$

2. Un grupo finito$$G$$ con subgrupo$$H$$ tal que$$|G/H|=|G|\text{.}$$

3. Un grupo abeliano$$G$$ de orden$$8$$ que contiene un subgrupo no normal$$H$$ de orden 2.

4. Un grupo$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo normal de orden$$2\text{.}$$

5. Un grupo no abeliano$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo normal de índice$$2\text{.}$$

6. Un grupo$$G$$ de orden 8 que contiene un subgrupo de orden$$3\text{.}$$

7. Un grupo infinito$$G$$ que contiene un subgrupo$$H$$ de índice finito.

8. Un grupo infinito$$G$$ que contiene un subgrupo finito no trivial$$H\text{.}$$

Solución

(Otras respuestas son posibles.)

1. $$G=H=S_3$$.

2. $$G=S_3$$,$$H=\{e\}$$.

3. No existe tal ejemplo, ya que cada subgrupo de un grupo abeliano es normal.

4. $$G=\mathbb{Z}_8$$,$$H=\{0,4\}$$.

5. $$G=D_4$$,$$H= \langle r \rangle$$.

6. No existe tal ejemplo, ya que por el Teorema de Lagrange$$|H|$$ hay que dividir$$|G|$$, y$$3$$ no dividir$$8$$.

7. $$G=\mathbb{Z}$$,$$H=2\mathbb{Z}$$.

8. $$G=GL(2,\mathbb{R})$$,$$H=\{±I_2\}$$.

7. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo de todo, deja$$G$$ ser un grupo con subgrupo$$H$$ y elementos$$a,b\in G\text{.}$$

1. Si$$a\in bH$$ entonces$$aH$$ debe ser igual$$bH\text{.}$$

2. $$aH$$debe ser igual$$Ha\text{.}$$

3. Si$$aH=bH$$ entonces$$Ha$$ debe ser igual$$Hb\text{.}$$

4. Si$$a\in H$$ entonces$$aH$$ debe ser igual$$Ha\text{.}$$

5. $$H$$debe ser normal en$$G$$ si existe$$a\in G$$ tal que$$aH=Ha\text{.}$$

6. Si$$aH=bH$$ entonces$$ah=bh$$ por cada$$h\in H\text{.}$$

7. $$|G/H|$$debe ser menor que$$|G|\text{.}$$

8. $$(G:H)$$debe ser menor o igual a$$|G|\text{.}$$

Solución

1. T
2. F
3. F
4. T
5. F
6. F
7. F
8. T

8. Dejar$$G$$ ser un grupo de orden$$pq\text{,}$$ donde$$p$$ y$$q$$ son primos, y dejar$$H$$ ser un subgrupo propio de$$G\text{.}$$ Probar que$$H$$ es cíclico.

Solución

Por el teorema de Lagrange,$$|H|$$ divide$$pq$$, y ya que$$H$$ es apropiado,$$|H|≠pq$$ .Así,$$|H|=1,p$$, o$$q$$. Dado que el orden de$$H$$ es$$1$$ o un número primo,$$H$$ debe ser cíclico.

9. Probar Corolario 7.3.2: es decir, dejemos$$G$$ ser un grupo de orden primo, y probar que$$G$$ es cíclico.

Solución

Ya que$$|G|$$ es primo$$|G|>1$$,, entonces existe$$a∈G$$ con$$a≠e$$. Entonces$$\langle a \rangle$$ es un subgrupo de$$G$$, así que por Teorema de Lagrange,$$|\langle a \rangle|$$ divide$$|G|$$. Pero$$|G|$$ es primo y$$a≠e$$, así debemos tener$$|\langle a \rangle|=|G|$$; así,$$G=\langle a \rangle$$.

10. Let$$G$$ Ser un grupo de orden finito$$n\text{,}$$ que contiene elemento de identidad$$e\text{.}$$ Let$$a\in G\text{.}$$ Probar que$$a^n=e\text{.}$$

Solución

Por el teorema de Lagrange,$$o(a)=|\langle a \rangle|$$ divide$$n$$; es decir,$$n=o(a)m$$ para algunos$$m∈\mathbb{Z}^+$$. Por lo tanto,

$$a^n=a^{o(a)m}=(a^{o(a)})^m=e^m=e$$.

##### Ejercicio 8.4

1. Dejar$$G$$ ser un grupo y dejar$$H\leq G$$ tener índice 2. Demostrar que$$H\unlhd G\text{.}$$

Solución

Vamos$$a∈G$$. Si$$a∈H$$, entonces$$aH=H=Ha$$. Por otro lado, si$$a∉H$$, entonces$$aH=G−H=Ha$$, desde$$(G:H)=2$$. Por lo tanto,$$H⊴G$$.

2. Seamos$$G$$ un grupo abeliano con$$N\unlhd G\text{.}$$ Prove que$$G/N$$ es abeliano.

Solución

Vamos$$aN,bN∈G/N$$. Entonces

$$(aN)(bN)=abN=baN=(bN)(aN)$$.

Así$$G/N$$ es abeliano.

3. Encuentra lo siguiente.

1. $$|2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|$$
2. $$|H|\text{,}$$para$$H=2+\langle 6\rangle \subseteq \mathbb{Z}_{12}$$
3. $$o(2+\langle 6\rangle)$$en$$\mathbb{Z}_{12}/\langle 6\rangle$$
4. $$\langle f+H\rangle$$en$$D_4/H\text{,}$$ donde$$H=\{e,r^2\}$$
5. $$|(\mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_8)/(\langle 3\rangle\times \langle 2\rangle)|$$
6. $$|(\mathbb{Z}_{15} \times \mathbb{Z}_{24})/\langle (5,4)\rangle|$$

Solución

1. $$|2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|=(2\mathbb{Z}:6\mathbb{Z})=3$$
2. $$\langle 6 \rangle =\{6,0\}$$, entonces$$|H|=|\{8,2\}|=2$$
3. $$o(2+ \langle 6 \rangle)=3$$
4. $$\langle f+H \rangle =\{f+H,H\}$$
5. $$|\mathbb{Z}_6×\mathbb{Z}_8|=6(8)=48$$y$$|\langle 3 \rangle ×\langle 2 \rangle |=2(4)=8$$, entonces$$|\mathbb{Z}_6×\mathbb{Z}_8/\langle 3 \rangle ×\langle 2 \rangle |= \dfrac{48}{8}=6$$.
6. $$\langle(5,4) \rangle=\{(5,4),(10,8),(0,12),(5,16),(10,20),(0,0)\}$$; entonces el orden de$$(\mathbb{Z}_{15}×\mathbb{Z}_{24})/\langle (5,4) \rangle$$ es$$\dfrac{(15)(24)}{6}=60$$.

4. Para cada uno de los siguientes, encontrar un grupo familiar al que el grupo dado sea isomórfico. (Pista: Considere el orden de grupo, propiedades como abelianness y ciclicidad, tablas de grupo, órdenes de elementos, etc.)

1. $$\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$$
2. $$3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$
3. $$S_8/A_8$$
4. $$(4\mathbb{Z} \times 15\mathbb{Z})/(\langle 2 \rangle \times \langle 3 \rangle )$$
5. $$D_4/\langle r^2 \rangle$$

Solución

1. $$\mathbb{Z}_{14}$$
2. $$3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$es cíclico (ya que$$3\mathbb{Z}$$ es cíclico) con orden$$4$$, por lo que es isomórfico$$\mathbb{Z}_4$$
3. $$S_8/A_8$$tiene orden$$2$$, así es isomórfico a$$\mathbb{Z}_2$$.
4. Ya que$$\text{gcd}(4,15)=1$$, el grupo$$4\mathbb{Z}×15\mathbb{Z}$$ es cíclico. Entonces ya$$|4\mathbb{Z}×15\mathbb{Z}|/|\langle 2 \rangle ×\langle 3 \rangle|= \dfrac{60}{10}=6$$, tenemos$$(4\mathbb{Z}×15\mathbb{Z})/(\langle 2 \rangle × \langle 3 \rangle)≃\mathbb{Z}_6$$.
5. $$|D_4/ \langle r^2 \rangle|= \dfrac{8}{2}=4$$, y$$f \langle r^2 \rangle$$ y$$r \langle r^2 \rangle$$ en$$D_4/ \langle r^2 \rangle$$ cada uno tienen orden$$2$$, entonces$$D_4/ \langle r^2 \rangle≃ \mathbb{Z}_2^2$$.

5. Deja$$H\unlhd G$$ con índice$$k\text{,}$$ y deja$$a\in G\text{.}$$ Demostrar eso$$a^k\in H\text{.}$$

Solución

Ya que$$k=(G:H)$$,$$|G/H|=k$$. Entonces$$aH∈G/H$$ tiene un orden, llámalo$$d$$, que debe dividir$$|G/H|=k$$. Entonces$$k=dm$$ para algunos$$m∈\mathbb{Z}$$. Entonces$$(aH)^k=(aH)^{dm}=((aH)^d)^m=H^m=H$$. Ya que$$(aH)^k=a^kH$$, así tenemos$$a^kH=H$$, implicando eso$$a^k∈H$$, como se desee.

##### Ejercicio 9.3

1. Dejar$$F$$ ser el grupo de todas las funciones desde$$[0,1]$$ hasta$$\mathbb{R}\text{,}$$ debajo de la adición puntual. Let

\ begin {ecuación*} N=\ {f\ in F: f (1/4) =0\}. \ end {ecuación*}

Demostrar que$$F/N$$ es un grupo que es isomórfico para$$\mathbb{R}\text{.}$$

Solución

Definir$$Φ:F→\mathbb{R}$$ por$$Φ(f)=f(14)$$, para cada$$f∈F$$. Tenemos que$$Φ$$ es un homomorfismo, ya que para cada$$f,g∈F$$,

$$Φ(f+g)=(f+g) \left(\dfrac{1}{4} \right)=f\left(\dfrac{1}{4} \right)+g\left(\dfrac{1}{4} \right)=Φ(f)+Φ(g)$$.

También tenemos que$$Φ$$ es sobre, ya que si$$r∈\mathbb{R}$$, entonces la función constante$$c_r$$ definida por

$$c_r(x)=r$$para cada$$x∈[0,1]$$

se envía a$$r$$ por$$Φ$$. Entonces$$Φ(F)=\mathbb{R}$$. Por último, si$$f∈F$$, entonces

$$f∈\text{Ker}Φ⇔Φ(f)=0⇔f \left(\dfrac{1}{4} \right)=0⇔f∈N$$;

así$$\text{Ker}⁡Φ=N$$. Así,$$F/N≅\mathbb{R}$$, por el Teorema del Primer Isomorfismo.

2. Vamos$$N=\{1,-1\}\subseteq \mathbb{R}^*\text{.}$$ Demostrar que$$\mathbb{R}^*/N$$ es un grupo que es isomórfico a$$\mathbb{R}^+\text{.}$$

Solución

Definir$$Φ:\mathbb{R}^∗→\mathbb{R}^+$$ por$$Φ(x)=|x|$$. Sabemos que$$Φ$$ es un homomorfismo, ya que$$Φ(xy)=|xy|=|x||y|=Φ(x)Φ(y)$$, para todos$$x,y∈\mathbb{R}^∗$$. Por otra parte,$$Φ$$ es claramente sobre (así$$Φ(\mathbb{R}^∗)=\mathbb{R}^+$$), y tiene

$$\text{Ker}⁡Φ=\{x∈\mathbb{R}R^∗:Φ(x)=1\}=\{1,−1\}=N$$.

Así,$$\mathbb{R}^∗/N≅\mathbb{R}^+$$, por el Teorema del Primer Isomorfismo.

3. Let$$n\in \mathbb{Z}^+$$ and let$$H=\{A\in GL(n,\mathbb{R})\,:\, \det A =\pm 1\}\text{.}$$ Identificar un grupo familiar para nosotros que es isomórfico para$$GL(n,\mathbb{R})/H\text{.}$$

Solución

Definir$$Φ:GL(n,\mathbb{R})→\mathbb{R}^+$$ por$$Φ(A)=|\text{det }A|$$. Tenemos que$$Φ$$ es un epimorfismo ya que para todos$$A,B∈GL(n,\mathbb{R})$$,

$$Φ(AB)=|\text{det }AB|=|\text{det }A\text{det }B|=|\text{det }A||\text{det }B|=Φ(A)Φ(B)$$,

y para todos$$λ∈\mathbb{R}^+$$, la matriz diagonal que tiene$$λ$$ en la posición superior izquierda y$$1$$ está en otra parte abajo la diagonal se envía a$$λ$$. Ya que$$\text{Ker}⁡Φ=H$$, tenemos eso$$GL(n,\mathbb{R})/H≃\mathbb{R}^+$$, por el Teorema del Primer Isomorfismo.

4. Dejar$$G$$ y$$G'$$ ser grupos con respectivos subgrupos normales$$N$$ y$$N'\text{.}$$ Demostrar o desacreditar: Si$$G/N\simeq G'/N'$$ entonces$$G\simeq G'\text{.}$$

Solución

El enunciado es falso. En efecto, utilizando los dos problemas anteriores, vemos que$$\mathbb{R}^∗/\{1,−1\}$$ y$$GL(2,\mathbb{R})/H$$, donde$$H=\{A∈GL(2,\mathbb{R}):\text{det }A=±1\}$$, son ambos isomórficos a$$\mathbb{R}^+$$, de ahí son isomórficos entre sí. Pero eso lo sabemos$$\mathbb{R}^∗≄GL(2,\mathbb{R})$$.

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