2: Campos y Anillos

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Michael Janssen & Melissa Lindsey
Dordt University & University of Wisconsin-Madison

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Has estado explorando los números y los patrones que esconden dentro de ellos desde tus primeros días escolares. En el Capítulo 1 nos recordamos algunos de esos patrones (con el objetivo de entender la factorización) y trabajamos para expresarlos de una manera más formal. Quizás te encuentres preguntándote por qué estamos saliendo de nuestro camino para complicar ideas que has entendido desde la primaria. El motivo de la abstracción (¡y el motivo de este curso!) es para que podamos explorar hasta qué punto podemos impulsar estos patrones. ¿Hasta dónde se extiende nuestra comprensión de la factorización en los enteros a otros tipos de números y otros objetos matemáticos (como polinomios)? En este capítulo estableceremos las bases para responder a esa pregunta introduciendo ideas que nos ayuden a agilizar nuestra investigación sobre factorización.

2.1: Campos
Ahora iniciamos el proceso de abstracción. Esto lo haremos por etapas, comenzando por el concepto de un campo. Primero, necesitamos definir formalmente algunos conjuntos familiares de números.
2.2: Anillos
En el apartado anterior, observamos que muchos sistemas numéricos familiares son campos pero que algunos no lo son. Como veremos, estos no campos suelen ser más interesantes estructuralmente, al menos desde la perspectiva de la factorización; así, en esta sección, los exploramos con más detalle. Antes de continuar con ese empeño daremos una definición formal de polinomio para que podamos incluirlo en nuestro trabajo.
2.3: Divisibilidad en Dominios Integrales
Cuando introdujimos la noción de dominio integral, dijimos que parte de la razón de la definición era capturar algunas de las propiedades más esenciales de los enteros. Este es el corazón de la abstracción y la generalización en las matemáticas: destilar las propiedades importantes de nuestros objetos de interés y explorar las consecuencias de esas propiedades. Una de esas propiedades importantes de Z es la cancelación.
2.4: Ideales principales y dominios euclidianos
En esta sección, iniciamos una exploración estructural teórica de conjunto de la noción de anillo considerando una clase de subring particularmente importante que será parte integral de nuestra comprensión de la factorización.