4: Ideales y Homomorfismos y prueba

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Michael Janssen & Melissa Lindsey
Dordt University & University of Wisconsin-Madison

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Los tres primeros capítulos de este texto cuentan la historia de una factorización única. La culminación es el resultado de que cualquier dominio euclidiano es un dominio de factorización único; es decir, en un dominio integral con un algoritmo de división de buen comportamiento, una unidad no nula necesariamente factoriza de manera única en irreducibles. Para desarrollar de manera conveniente ese resultado, ignoramos muchos conceptos que por lo demás son interesantes y útiles en un primer curso de álgebra abstracta. Este capítulo es una coda que busca llenar algunos de esos vacíos.

En la Sección 4.1, ampliamos la definición de ideal introducida en la Sección 2.4 y exploramos ideales no principales. Ningún curso de matemáticas está completo sin una discusión de funciones de algún tipo; exploramos los homomorfismos en la Sección 4.2 Finalmente, en la Sección 4.3, introducimos ideales primos y máximos, así como la noción de congruencia módulo II y utilizamos ideales para construir nuevos anillos a partir de lo antiguo. Concluimos con una exploración y prueba del Teorema del Primer Isomorfismo.

4.1: Ideales en general
En esta sección, exploramos formas de describir ideales no principales. También exploramos las propiedades de los ideales, así como sus conexiones con otros campos de las matemáticas.
4.2: Homomorfismos
Esta sección asume una familiaridad con la idea de función desde un punto de vista teórico de conjunto, así como los conceptos de funciones inyectivas (uno a uno), suryectivas (onto) y biyectivas (correspondencias uno a uno).
4.3: Anillos de cociente: Anillos nuevos desde el Viejo
En esta sección, exploramos una forma de construir nuevos anillos a partir de lo antiguo a través de ideales. Para comprender mejor estos nuevos anillos, también definiremos dos nuevas clases de ideales: ideales primos e ideales máximos. Terminamos conectando brevemente estos anillos a un problema familiar del álgebra de secundaria.