Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.2: Cuaterniones

  • Page ID
    115632
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los cuaterniones, descubiertos por William Rowan Hamilton en 1843, fueron inventados para capturar el álgebra de rotaciones del espacio real tridimensional, extendiendo la forma en que los números complejos capturan el álgebra de rotaciones del espacio real bidimensional.

    Los elementos en el conjunto de cuaterniones\(\mathbb{H}\) están en correspondencia uno a uno con puntos en el espacio real de 4 dimensiones\(\mathbb{R}^{4}\) Escribiremos\(r\leftrightarrow (t,x,y,z)\) para denotar que el cuaternión\(r\) corresponde a la 4-tupla\((t,x,y,z)\) de números reales.

    Forma cartesiana y cuaterniones puros

    Los cuaterniones\(i,j,k\) se definen de la siguiente manera.

    \ begin {align}
    i &\ leftrightarrow (0,1,0,0)\ tag {1.2.1}\\
    j &\ leftrightarrow (0,0,1,0)\ tag {1.2.2}\\
    k &\ leftrightarrow (0,0,0,1)\ tag {1.2.3}
    \ end {align}

    La expresión\(r=a+bi+cj+dk\) se llama la forma cartesiana del cuaternión que corresponde al vector\((a,b,c,d)\) en\(\mathbb{R}^{4}\). Un cuaternión de la forma\(a=a+0i+0j+0k\leftrightarrow (a,0,0,0)\) se llama cuaternión escalar o cuaternión real. Un cuaternión de la forma\ (xi+yj+zk\ leftrightarrow
    (0, x, y, z)\) se llama cuaternión puro o cuaternión imaginario. Para un cuaternión\(r=a+bi+cj+dk\text{,}\) llamamos al cuaternión real a la parte escalar o parte real de\(r\text{,}\) y llamamos al cuaternión\(xi+yj+zk\) la parte vectorial o la parte imaginaria de\(r\text{.}\) Para reflejar la correspondencia natural del cuaternión puro\(xi+yj+zk\) con el vector\((x,y,z\)) en\(\mathbb{R}^{3}\) escribiremos\(\mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\) para denotar el espacio de los cuaterniones puros.

    Correspondencia con matrices complejas

    Análogamente a la forma en que los números complejos\(\mathbb{C}\) pueden realizarse como el conjunto\({\mathcal M}_\mathbb{C}\) de matrices\(2×2\) reales (ver \ (2\ times 2\) matrices reales">Ejercicio 1.1.7.12), los cuaterniones pueden ser realizados por un conjunto de matrices\(2×2\) complejas, de la siguiente manera. Dejar\({\mathcal M}_\mathbb{H}\) denotar el conjunto de matrices\(2×2\) complejas de la forma\(\left[\begin{array}{cc} u & v\\ -v^\ast & u^\ast\end{array}\right]\text{.}\) Dado un cuaternión\(r=a+bi+cj+dk\text{,}\) dejar\(u,v\) ser los números complejos\(u=a+bi\) y\(v=c+di\text{,}\) y dejar\(M(r)\) denotar la\(2×2\) matriz en\({\mathcal M}_\mathbb{H}\) dada por

    \ [
    {M} (r) =\ left [\ begin {array} {cc} u & v\\ -v^\ ast &
    u^\ ast\ end {array}\ right].
    \ nonumber\]

    Por el contrario, dada una matriz\(M\in {\mathcal M}_\mathbb{H}\text{,}\) con entrada superior izquierda\(a+bi \) y entrada superior derecha\(c+di\text{,}\) vamos a\(Q(M)\) denotar el cuaternión\(r=a+bi+cj+dk\text{.}\) Es claro que las asignaciones\(r\to M(r)\) y\(M\to Q(M)\) son inversas entre sí, y establecen una correspondencia uno a uno\(\mathbb{H}\leftrightarrow {\mathcal M}_\mathbb{H}\text{.}\)
    Proposición 1.2.1. \({\mathcal M}_\mathbb{H}\) is closed under addition and multiplication.

    Dejar\(M,N\) ser elementos de\({\mathcal M}_\mathbb{H}\) Entonces la suma\(M+N\) y el producto también\(MN\) son elementos de\({\mathcal M}_\mathbb{H}\).

    Punto de control 1.2.2.

    Proponer Proposición 1.2.1

    Adición y multiplicación

    En virtud de la Proposición 1.2.1, podemos definir la adición y multiplicación de cuaterniones de la\(r,s\) siguiente manera.

    \ begin {recopilar}
    r+s=q (M (r) +M (s))\ tag {1.2.4}\\
    rs=q (M (r) M (s))\ etiqueta {quatmultdef}\ tag {1.2.5}
    \ end {reunir}

    Debido a que el álgebra matricial tiene leyes asociativas y distributivas, éstas se trasladan a cuaterniones. ¡Tenga en cuenta que la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa! No obstante, para cualquier cuaternión real\(a\text{,}\) tenemos\(M(a)=aId\text{,}\) tan\(M(a)\) desplazamientos con todas las matrices, y por lo tanto un viaje con todos los cuaterniones. Para resumir, dejemos\(q,r,s\) ser cuaterniones y dejemos\(a\) ser un verdadero cuaternión. Tenemos lo siguiente.

    \ begin {align}
    q (rs) & = (qr) s\;\;\ text {(ley asociativa de multiplicación)}\ tag {1.2.6}\\
    q (r+s) & = qr+qs\;\;\ text {(ley distributiva)}\ tag {1.2.7}\\
    ar & =ra\;\;\ text {(cuaterniones reales viajan con todos aterniones)}\ tag {1.2.8}
    \ end { alinear}

    En la práctica, no es necesario convertir cuaterniones en matrices para sumar y multiplicar. La adición y multiplicación de cuaterniones en forma cartesiana es análoga a la multiplicación compleja, utilizando las siguientes reglas básicas de multiplicación.

    \ begin {recopilar}
    i^2=j^2=k^2=-1\ label {ijksquaretominus1}\ tag {1.2.9}\\
    ij=-ji=k,\;\; jk=-kj=i,\;\; ki=-ik=j\ label {quatmultrules}\ tag {1.2.10}
    \ end {recopilar}

    Punto de control 1.2.3.

    Verificar (1.2.9) y (1.2.10).

    Para\(r=a+bi+cj+dk\) y\(r'=a'+b'i+c'j+d'k\text{,}\) tenemos

    \ [
    r+r' =( a+a') + (b+b') i+ (c+c') j+ (d+d') k.\ tag {1.2.11}
    \]

    La multiplicación se ve así.

    \ begin {align}
    rr'& = (a+bi+cj+dk) (a'+b'i+c'j+d'k)\ notag\\
    & = aa'+bb'i^2+cc'j^2+dd'k^2\ notag\\
    & + ab'i+ba'i+cd'jk+dc'kj\ notag\\
    & + ac'j+'j+bd'ik+db'ki\ noetiqueta\\
    & + ad'k+da'k+bc'ij+cb'ji\ notag\\
    & = (aa'-bb'-cc'-dd')\ label {quatmultcartesiano}\ tag {1.2.12}\\
    & + (ab'+ba'+cd'-dc') i\ notag\\
    & + (ac'+ca'-bd'+db') j\ notag\\
    & + (ad'+da'+bc'-cb') k\ noetiqueta
    \ end {align}

    Si\(u,v\) son cuaterniones puros, (1.2.12) se pueden escribir de manera más compacta en términos del punto y productos cruzados para vectores en\(\mathbb{R}^{3}\).

    \ [
    uv = - (u\ cdot v) + u\ veces v\;\ ;(\ texto {para cuaterniones puros
    } u, v)\ etiqueta {purequatproduct}\ tag {1.2.13}
    \]

    Punto de control 1.2.4.

    Verificar (1.2.13).

    Conjugada, módulo y forma polar

    El conjugado de un cuaternión\(r=a+bi+cj+dk\) es\(r^\ast = a-bi-cj-dk\text{,}\) y el módulo de\(r\) es\(|r|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\text{.}\) Los cuaterniones unitarios, denotados\(U(\mathbb{H})\), es el conjunto de cuaterniones con módulo 1. 1

    Análogamente a los números complejos, los cuaterniones pueden expresarse en forma polar. Dado un cuaternión distinto de cero\(r\text{,}\) el cuaternión\(r'=\frac{r}{|r|}\) es un cuaternión unitario,\(|a|\lt 1\text{,}\) digamos\(r'=a+bi+cj+dk\text{.}\) Si deja\(u=\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}(bi+cj+dk)\) ser el cuaternión puro unitario obtenido normalizando el cuaternión puro\(bi+cj+dk\text{.}\) Let\(\theta=\arccos a\text{.}\) The expression

    \ [
    r=|r| (\ cos\ theta + u\ sin\ theta)\ tag {1.2.14}
    \]

    se llama la forma polar de\(r\text{.}\)

    Punto de control 1.2.5.

    Rellene los datos restantes en forma polar para cuaterniones. ¿Qué pasa si\(r=0\text{?}\) Qué pasa si\(|a|=1\text{?}\)

    Continuando con la analogía con los números complejos, tenemos lo siguiente, para todos los cuaterniones\(r,s\text{.}\)

    \ begin {recopilar}
    (rs) ^\ ast = s^\ ast r^\ ast\ label {quatconjmult}\ tag {1.2.15}\\
    |rs|=|r|s|\ label {quatnormmult}\ tag {1.2.16}\\
    |r|^2 = rr^\ ast\ text {.} \ label {quatnormsquare}\ tag {1.2.17}
    \ fin {reunir}

    Punto de control 1.2.6.

    Verifica las tres ecuaciones anteriores.

    Cuaterniones como rotaciones de\(\mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\)

    Deja\(r\) ser un cuaternión unitario y deja\(v\) ser un cuaternión puro. Dejar\(R_r(v)\) denotar el cuaternión\(R_r(v)=rvr^\ast\text{.}\) Es fácil comprobar que\((R_r(v))^\ast = -R_r(v)\text{.}\) De esto concluimos que\(rvr^\ast\) es un cuaternión puro.

    Punto de control 1.2.7.

    Explique cómo “concluimos” que\(R_r(v)\) es puro cuando\(r\) es un cuaternión unitario y\(v\) es un cuaternión puro.

    Es fácil ver que\(R_r\) es un mapa lineal desde el espacio vectorial real de cuaterniones unitarios a sí mismo. Eso significa que las siguientes propiedades se mantienen para todos los cuaterniones puros\(v,w\) y todos los escalares reales\(\alpha\text{.}\)

    \ begin {recopilar}
    R_r (v+w) = R_r (v) + R_r (w)\ tag {1.2.18}\\
    r_r (\ alpha v) =\ alpha r_r (v)\ tag {1.2.19}
    \ end {reunir}

    Punto de control 1.2.8.

    Mostrar los detalles para demostrar que\(R_r\) es lineal.

    Concluimos con el resultado principal de esta sección que muestra cómo se codifican las rotaciones del espacio real tridimensional en el álgebra de cuaterniones.

    Proposición 1.2.9. Cuaterniones y rotaciones de\(\mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\).

    Dejar\(r=\cos\theta + u\sin\theta\) ser un cuaternión unitario en forma polar, y dejar\(R_r\) ser la transformación lineal del espacio de cuaterniones puros dada por\(v\to rvr^\ast\text{.}\) La acción de\(R_r\) es una rotación por\(2θ\) radianes alrededor del eje dado por el vector unitario\(u\text{.}\)

    Prueba

    Ver Ejercicio 1.2.6.2.

    Ejercicios

    Ejercicio 1

    Deja que r sea un cuaternión puro, unitario. Utilice (1.2.13) para mostrar que el mapa\(\mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3} \to \mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\) dado por\(u\to rur\) es la reflexión a través del plano normal a Es\(r\text{.}\) decir, mostrar que\(rur=u-2(u\cdot r)r\text{.}\) Ver Figura 1.2.10.

    Figura 1.2.10. El reflejo de\(u\in \mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\) a través del plano normal a\(r\in \mathbb{R}_{\mathbb{H}}^{3}\text{.}\)
    Ejercicio 2

    Probar \ (\ R^3_\ Quat\) ">Proposición 1.2.9 usando el siguiente esquema. Dejar\(r=\cos\theta + u\sin\theta\) ser la forma polar para una unidad de cuaternión\(r\text{.}\)

    a. Demuéstralo\(R_r(u)=u\text{.}\)

    b. dejar\(v\) ser cualquier unidad pura cuaternión ortogonal a\(u\text{,}\) y dejar para\(w=u\times v\text{,}\) que el triple\(u,v,w\) forme un sistema de coordenadas diestro para\(\mathbb{R}^{3}\) Mostrar eso

    \ [
    R_r (v) =\ cos (2\ theta) v +\ sin (2\ theta) w
    \ nonumber\]

    (usar la ecuación (1.2.13)) y explicar cómo esto prueba la Proposición.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que la siguiente retención para todos\(r,s\in U(\mathbb{H})\text{.}\)

    a.\(R_r\circ R_s = R_{rs}\text{.}\)

    b.\((R_r)^{-1}=R_{r^\ast}\text{.}\)


    This page titled 1.2: Cuaterniones is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by David W. Lyons via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.