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2.2: Definición de grupo

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Usaremos la notación\(\ast \colon S\times S\to S\) para denotar una operación binaria en un conjunto\(S\) que envía el par\((x,y)\) a\(x\ast y\text{.}\) Recordar que una operación binaria\(\ast\) es asociativa significa que\(x\ast(y\ast z)= (x\ast y)\ast z\) para todos\(x,y,z\in S\text{.}\)

    Definición 2.2.1. Grupo.

    Un grupo es un conjunto\(G\text{,}\) junto con una operación binaria\(\ast\colon G\times G \to G\) con las siguientes propiedades.

    • La operación\(\ast\) es asociativa.
    • Existe un elemento\(e\) en\(G\text{,}\) llamado elemento de identidad, tal que\(e\ast g=g\ast e=g\) para todos\(g\in G\text{.}\)
    • Por cada\(g\in G\text{,}\) existe un elemento\(h\in G\text{,}\) llamado elemento inverso para\(g\text{,}\) tal que\(g\ast h=h \ast g=e\text{.}\)
    Proposición 2.2.2. Consecuencias inmediatas de la definición de grupo.

    Seamos\(G\) un grupo. El elemento e en la segunda propiedad de la Definición 2.2.1 es único. Dado\(g\in G\text{,}\) el elemento h en la tercera propiedad de la Definición 2.2.1 es único.

    Prueba.

    Ver Ejercicio 2.2.2.1 y Ejercicio 2.2.2.2.

    Definición 2.2.3. Notación multiplicativa.

    Seamos\(G\) un grupo. Por la Proposición 2.2.2, podemos hablar de un elemento de identidad como el elemento de identidad para\(G\text{.}\) Dado\(g\in G\text{,}\) podemos referirnos a un elemento inverso para\(g\) como el inverso de\(g\text{,}\) y escribimos \(g^{-1}\)para denotar este elemento. En la práctica, muchas veces omitimos al operador\(\ast\text{,}\) y simplemente escribimos\(gh\) para denotar\(g\ast h\text{.}\) Adoptamos la convención que\(g^0\) es el elemento de identidad. Para\ (k\ geq
    1\ text {,}\) escribimos\(g^k\) para denotar\ (\ underbrackets {g\ ast g\ ast\ cdots\ ast g} _ {k\ text {
    factors}\) y escribimos\(g^{-k}\) para denotar\(\left(g^{k}\right)^{-1}\text{.}\) Este conjunto de convenciones notacionales se llama notación multiplicativa .

    Definición 2.2.4. Grupo abeliano, notación aditiva.

    En general, las operaciones grupales no son conmutativas. 1 Un grupo con una operación conmutativa se llama Abelian.

    Para algunos grupos abelianos, como el grupo de enteros, la operación de grupo se llama suma, y escribimos\(a+b\) en lugar de usar la notación multiplicativa\(a\ast b\text{.}\) Escribimos\(0\) para denotar el elemento de identidad, escribimos\(-a\) para denotar la inversa de \(a\text{,}\)y escribimos\(ka\) para denotar\ (\ underbrackets {a+ a+\ cdots +a} _ {k
    \ text {summands}}\) para enteros positivos\(k\text{.}\) Este conjunto de convenciones notacionales se llama notación aditiva.

    Definición 2.2.5. Orden de un grupo.

    El número de elementos en un grupo finito se llama el orden del grupo. Se dice que un grupo con infinitamente muchos elementos es de orden infinito. Escribimos\(|G|\) para denotar el orden del grupo\(G\text{.}\)

    Definición 2.2.6. El grupo trivial.

    Un grupo con un solo elemento (que es necesariamente el elemento de identidad) se denomina grupo trivial. En notación multiplicativa, uno podría escribir\(\{1\}\text{,}\) y en notación aditiva, uno podría escribir\(\{0\}\text{,}\) para denotar un grupo trivial.

    Ejercicios

    Ejercicio 1

    Singularidad del elemento de identidad.

    Seamos\(G\) un grupo. Supongamos que\(e,e'\) ambos satisfacen la segunda propiedad de la Definición 2.2.1, es decir, supongamos\(e\ast x=x\ast e = e'\ast x=x\ast e'=x\) para todos\(x\in G\text{.}\) Mostrar que\(e=e'\text{.}\)

    Ejercicio 2

    Singularidad de los elementos inversos.

    Dejar\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{.}\) Let\(g\in G\) y supongamos que\ (g\ ast h = h\ ast g = g\ ast h' = h'\ ast g =
    e\ text {.}\) Mostrar que\(h=h'\text{.}\)

    Ejercicio 3

    La ley de cancelación.

    Supongamos que\(gx=hx\) para algunos elementos de un grupo\(G\text{.}\) Mostrar que\(g=h\text{.}\) [Tenga\(g,h,x\) en cuenta que la misma prueba, mutatis mutandis, muestra que si\(xg=xh\text{,}\) entonces\(g=h\text{.}\)

    Ejercicio 4

    4. La propiedad de “calcetines y zapatos”.

    Dejar\(g,h\) ser elementos de un grupo\(G\text{.}\) Demostrar que\((gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}\text{.}\)

    Ejercicio 5

    5. Grupos de Productos.

    Dados dos grupos\(G,H\) con operaciones grupales\(\ast_G,\ast_H\text{,}\) el producto cartesiano\(G\times H\) es un grupo con la operación\(\ast_{G\times H}\) dada por

    \ [
    (g, h)\ ast_ {G\ veces H} (g', h') = (g\ ast_g g', h\ ast_h
    h').
    \ nonumber\]

    Demostrar que esta operación satisface la definición de grupo.

    Ejercicio 6

    6. Grupos cíclicos.

    Un grupo\(G\) se llama cíclico si existe un elemento\(g\) en\(G\text{,}\) llamado generador, tal que la secuencia

    \ [
    \ izquierda (g^k\ derecha) _ {k\ in
    \ mathbb {Z}} =(\ ldots, g^ {-3}, g^ {-2}, g^ {-1}, g^0, g^1, g^2, g^3,\ ldots)
    \ nonumber\]

    contiene todos los elementos en\(G\text{.}\)

    1. El grupo de números enteros es cíclico. Encuentra todos los generadores.
    2. El grupo\(\mathbb{Z}_8\) es cíclico. Encuentra todos los generadores.
    3. El grupo\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\) es cíclico. Encuentra todos los generadores.
    4. Demostrar que el grupo no\(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\) es cíclico.
    5. Sea m, n enteros positivos. Mostrar que el grupo\(\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n\) es cíclico si y solo si\(m,n\) son relativamente primos, es decir, si el mayor divisor común de\(m,n \) es\(1.\)
    Pista

    Para la última parte, observe que\((a,b)\in \mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n\) es un generador si y solo si cada entrada en la secuencia

    \ [
    (a, b), (2a,2b), (3a, 3b),\ lpuntos, (mna, mnb)
    \ nonumber\]

    es distinto (¡di por qué!). Que L sea el múltiplo menos común de\(n,m\text{.}\) Si\(m,n\) son relativamente primos, entonces\(L=mn\text{,}\) y si no\(m,n\) son relativamente primos, entonces\(L\lt mn\) (¡di por qué!). Utilice esta observación para acreditar la afirmación en el ejercicio.

    Ejercicio 7

    Permutaciones cíclicas.

    Dejar\(n\) ser un entero positivo y\(k\) ser un entero en el rango\(1\leq k\leq n\text{.}\) Una permutación\(\pi\in S_n\) (ver Definición 2.1.1) se llama un\(k\) -ciclo si hay un\(k\) -elemento establecido\(A=\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}\subseteq \{1,2,\ldots,n\}\) tal que\(\pi(a_i)=a_{i+1}\) para \(1\leq i\leq k-1\)y\(\pi(a_k)=a_1\text{,}\) y\(\pi(j)=j\) para\(j\not\in A\text{.}\) Utilizamos notación de ciclo\((a_1a_2\cdots a_k)\) para denotar el\(k\) -ciclo que actúa como

    \ [
    a_1 {\ to} a_2 {\ to} a_3 {\ a}\ cdots {\ a} a_k {\ to} a_1
    \ nonumber\]

    en los distintos enteros positivos\(a_1,a_2,\ldots,a_k\text{.}\) Por ejemplo, el elemento\(\pi=[1,4,2,3]=(2,4,3)\) es un\(3\) -ciclo\(S_4\) porque\(\pi\) actúa sobre el conjunto\(A=\{2,3,4\}\) por

    \ [
    2\ a 4\ a 3\ a 2
    \ nonumber\]

    y\(\pi\) actúa\(A^c=\{1\}\) como la identidad. La notación del ciclo de notas no es única. Por ejemplo, tenemos\((2,4,3)=(4,3,2)=(3,2,4)\) en\(S_4.\) Ciclos de cualquier longitud (cualquier entero positivo) se llaman permutaciones cíclicas. A\(2\) -ciclo se llama transposición.

    1. Encuentra todas las permutaciones cíclicas en\(S_3\text{.}\) Encuentra sus inversos.
    2. Encuentra todas las permutaciones cíclicas en\(S_4\text{.}\)
    Ejercicio 8

    Ciclos\((a_1a_2\cdots a_k)\) y\((b_1b_2\cdots b_\ell)\) se llaman disjuntas si los conjuntos\(\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}\) y\(\{b_1,b_2,\ldots,b_\ell\}\) son disjuntas, es decir, si\(a_i\neq b_j\) para todos\(i,j\text{.}\) Mostrar que cada permutación en\(S_n\) es producto de ciclos disconjuntos.

    Ejercicio 9

    Demostrar que cada permutación en\(S_n\) puede escribirse como producto de transposiciones.

    Ejercicio 10

    Paridad de una permutación.

    1. Supongamos que la permutación de identidad\(e\) en\(S_n\) está escrita como producto de transposiciones

      \ [
      e=\ tau_1\ tau_2\ cdots\ tau_r.
      \ nonumber\]

      Demostrar que\(r\) es parejo.
    2. Supongamos que\(\sigma\) en\(S_n\) está escrito de dos maneras como producto de transposiciones.

      \ [
      \ sigma = (a_1b_1) (a_2b_2)\ cdots (a_sb_s) =
      (c_1d_1) (c_2d_2)\ cdots (c_td_t)
      \ nonumber\]

      Demostrar que\(s,t\) son ambos pares o ambos impares. La uniformidad común o rareza de\(s,t\) se llama la paridad de la permutación\(\sigma\text{.}\)
    3. Mostrar que la paridad de un\(k\) -ciclo es par si\(k\) es impar, y la paridad de un\(k\) -ciclo es impar si\(k\) es par.
    Pista

    a. considerar las dos transposiciones más a la derecha\(\tau_{r-1}\tau_{r}\text{.}\) Tienen una de las siguientes formas, donde\(a,b,c,d\) son distintas.

    \ [
    (ab) (ab), (ac) (ab), (bc) (ab), (cd) (ab)
    \ nonumber\]

    El primero permite reducir el recuento de transposiciones en dos mediante la cancelación. Los tres restantes pueden ser reescritos.

    \ [
    (ab) (bc), (ac) (cb), (ab) (cd)
    \ nonumber\]

    Observe que el índice de la transposición más a la derecha en la que\(a\) se produce el símbolo se ha reducido en\(1\) (de\(r\) a\(r−1\)). Terminar este razonamiento con un argumento inductivo.
    Ejercicio 11

    Mesas Cayley.

    La tabla Cayley para un grupo finito\(G\) es una matriz bidimensional con filas y columnas etiquetadas por los elementos del grupo, y con entrada\(gh\) en posición con etiqueta de fila\(g\) y etiqueta de columna Tablas Cayley\(h\text{.}\) parciales para\(S_3\) ( Figura 2.2.7) y\(D_4\) (Figura 2.2.8) se dan a continuación.

    \ [
    \ begin {array}
    {c|cccccc}
    & e & (23) & (13) & (12) & (123) & (132)\
    \ hline
    e & & & & & (12) & &\
    (23) & & & & & & & &\
    (13) & amp; & (132) & & & &\\
    (12) & & & & & & & (23) &\\
    (123) & & & & & & & &\
    (132) & & & & & & & & &
    \ final {matriz}
    \ nonumber\]

    Figura 2.2.7. (Parcial) Tabla Cayley para\(S_3\text{.}\) El símbolo e denota la permutación de identidad.

    \ [
    \ begin {array}
    {c|cccccccc}
    & F_V & F_H & F_D & F_ {D '} & R_ {1/4} & R_ {1/2} & R_ {3/4} &
    R_0\\ hline
    F_V & & R_ {1/2} & & & & & & &\
    F_H & & & & & F_D & & & &\
    F_D & & & & & & & & F_ {D '} & &\
    F_ {D'} & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
    F_ {D} & & & & & & &\\
    R_ {1/2} & & & & & & & & & &\
    R_ {3/4} & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\
    R _ {3/4} & & & & & & & & & & & & & & &

    \ final {matriz}

    Figura 2.2.8. (Parcial) Tabla Cayley para\(D_4\text{.}\) (Ver Checkpoint 2.1.6 para la notación de los elementos de\(D_4\text{.}\))
    1. Rellene las entradas restantes en las tablas Cayley para\(S_3\) y\(D_4\text{.}\).
    2. Demostrar que la mesa Cayley para cualquier grupo es un cuadrado latino. Esto significa que cada elemento del grupo aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna.
    Respuesta 1

    \ [
    \ begin {array}
    {c|cccccc}
    & e & (23) & (13) & (12) & (123) & (132)\
    \ hline
    e & e & (23) & (13) & (12) & (123) & (132)\\
    (23) & (23) & e & amp; (123) & (132) & (13) & (12)\\
    (13) & (13) & (132) & e & (123) & (12) & (23)\\
    (12) & (12) & (123) & (132) & (23) & (13)\
    (123) & (123) & (12) & (23) & (13) & (132) y amp; e\\
    (132) & (132) & (13) & (12) & (23) & e & (123)
    \ end {array}
    \ nonumber\]

    Respuesta 2

    \ [
    \ begin {array}
    {c|cccccccc}
    & F_V & F_H & F_D & F_ {D'} & R_ {1/4} & R_ {1/2} & R_ {3/4} &
    R_0\\ hline
    F_V y R_0 & R_ {1/2} & R_ {3/4} y R_ {1/4} & F_ {D'} y F_H y F_D y F_V\\
    F_H y R_ {1/2} y R_0 y R_ {1/4} y R_ {3/4} y F_D y F_V y F_ {D'} y F_H\\
    F_D y R_ {1/4} y R_ {3/4} y R_0 y R_ {1/2} y ; F_V & F_ {D '} & F_H & F_D\\
    F_ {D'} & R_ {3/4} & R_ {1/4} & R_ {1/2} & R_0 & F_H & F_D & F_V & F_ {D '}\
    R_ {1/4} & F_D & F_ {D'} & F_H & F_ V y R_ {1/2} y R_ {3/4} y R_0 y R_ {1/4}\
    R_ {1/2} y F_H y F_V y F_ {D'} y F_D y R_ {3/4} y R_0 y R_ {1/4} y R_ {1/2}\\
    R_ {3/4} y F_ {D'} y F_D y ; F_V & F_H & R_0 & R_ {1/4} & R_ {1/2} & R_ {3/4}\\
    R_0 & F_V & F_H & F_D & F_ {D} & R_ {1/4} & R_ {1/2} & R_ {3/4} & R_0
    \ end {array}
    \ nonumber\]


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