2.3: Subgrupos y Coconjuntos

Definición 2.3.1. Subgrupos y coconjuntos.

Un subconjunto\(H\) de un grupo\(G\) se llama subgrupo de\(G\) si\(H\) en sí mismo es un grupo bajo la operación grupal de\(G\) restringido\(H\leq G\) a\(H\text{.}\) Escribimos para indicar que\(H\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) A (izquierda) coconjunto de un subgrupo\(H\) de\(G\) es un conjunto de la forma

\ [
gH: =\ {gh\ colon h\ en H\}.
\ nonumber\]

El conjunto de todos los coconjuntos de\(H\) se denota\(G/H\text{.}\)

\ [
G/H :=\ {gH\ colon g\ en G\}
\ nonumber\]

Punto de control 2.3.2.

Considerar\(D_4\) como se describe en Checkpoint 2.1.6.

\ [
D_4=\ {R_0, R_ {1/4}, R_ {1/2}, R_ {3/4}, F_H, F_V, F_D, F_ {D'}\}
\ nonumber\]

1. ¿El subconjunto\(\{R_0,R_{1/4},R_{1/2},R_{3/4}\}\) de rotaciones es un subgrupo de\(D_4\text{?}\) ¿Por qué o por qué no?
2. ¿El subconjunto\(\{F_H,F_V,F_D,F_{D'}\}\) de reflexiones es un subgrupo de\(D_4\text{?}\) ¿Por qué o por qué no?

Contestar

Sí. La composición de dos rotaciones cualesquiera es una rotación, y cada rotación tiene una inversa que también es una rotación. No. Basta con observar que no\(F_H^2=R_0\) es un reflejo. La operación en grupo\(D_4\) no se restringe adecuadamente al subconjunto de reflexiones.

Punto de control 2.3.3.

Buscar\(G/H\) para\(G=S_3\text{,}\)\(H=\{e,(12)\}\text{.}\)

Contestar

\ begin {alinear*}
G/H & =\ {eH, (12) H, (13) H, (23) H, (123) H, (132) H\}\\
& =
\ {\ {e, (12)\},\ {(12), e\},\ {(13), (123)\},\ {(23), (132)\},\ {(13)), (123)\},\ {(132), (23)\}\\
& =\ {H,\ {(13), (123)\},\ {(23), (132)\}
\ final {alinear* }

Proposición 2.3.4. Pruebas de subgrupos.

Dejar\(H\) ser un subconjunto de un grupo\(G\text{.}\) Los siguientes son equivalentes.

1. \(H\)es un subgrupo de\(G\)
2. (prueba de subgrupo de 2 pasos) no\(H\) está vacía,\(ab\) está adentro\(H\) para cada\(a,b\) entrada\(H\) (\(H\)se cierra bajo la operación de grupo), y\(a^{-1}\) está adentro\(H\) para cada a in\(H\) (\(H\)se cierra bajo inversión grupal)
3. (prueba de subgrupo de 1 paso) no\(H\) está vacía y\(ab^{-1}\) está adentro\(H\) para cada\(a,b\)\(H\)

Comprobante.

Ver Ejercicio 2.3.2.1.

Proposición 2.3.5. Subgrupo generado por un conjunto de elementos.

Dejar\(S\) ser un subconjunto no vacío de un grupo\(G\text{,}\) y dejar que\(S^{-1}\) S−1 denote el conjunto\(\) S−1= {\(\)S−1:ss} de inversos de elementos en\(S\text{.}\) Escribimos\(\langle S\rangle\) para denotar el conjunto de todos los elementos\(G\) de la forma

\ [
s_1s_2\ cdots s_k
\ nonumber\]

donde\(k\) es un entero positivo y cada si está en\(S\cup S^{-1}\) para\(1\leq i\leq k\text{.}\) El conjunto\(\langle S\rangle\) es un subgrupo de\(G\text{,}\) llamado el subgrupo generado por el conjunto\(S\), y los elementos de\(S\) se llaman los generadores de \(\langle S\rangle\text{.}\)

Comentario sobre convención notacional: Si\(S=\{s_1,s_2,\ldots,s_k\}\) es finito, escribimos\(\langle s_1,s_2,\ldots,s_k\rangle\) para\(\langle S\rangle\text{,}\) en lugar de lo más engorroso\(\langle \{s_1,s_2,\ldots,s_k\}\rangle\text{.}\)

Observación 2.3.6.

Si\(G\) es un grupo cíclico con generador\(g\text{,}\) entonces\(G=\langle g\rangle\text{.}\)

Punto de control 2.3.7.

Demostrar que efectivamente\(\langle S\rangle\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) ¿Cómo fallaría esto si\(S\) estuvieran vacíos?

Punto de control 2.3.8.

1. Encuentra\(\langle F_H,F_V\rangle\subseteq D_4\text{.}\)
2. Encuentra\(\langle 6,8\rangle \subseteq \mathbb{Z}\text{.}\)

Contestar

1. \(\displaystyle \langle F_H,F_V\rangle=\{R_0,R_{1/2},F_H,F_V\}\)
2. \(\displaystyle \langle 6,8\rangle =\langle 2\rangle = 2\mathbb{Z}\)

Proposición 2.3.9. Cosets como clases de equivalencia.

Let\(G\) be a group and let\(H\) be a subgroup of\(G\text{.}\) Let\(\sim_H\) be the relation on\(G\) defined by\(x\sim_H y\) if and only if\ (x^ {-1} y\ in
H\ text {.}\) La relación\(\sim_H\) es una relación de equivalencia on\(G\text{,}\) y las clases de equivalencia son los coconjuntos de \(H\text{,}\)es decir, tenemos\(G/\!\!\sim_H= G/H\text{.}\)

Comprobante.

Ver Ejercicio 2.3.2.7

Corolario 2.3.10. Cosets como partición.

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\text{.}\) El conjunto\(G/H\) de coconjuntos de\(H\) formar una partición de\(G\text{.}\)

Ejercicios

Ejercicio 1.

Demostrar Proposición 2.3.4.

Ejercicio 2.

Encuentra todos los subgrupos de\(S_3\text{.}\)

Contestar

En la notación de permutación “lista de valores” de Checkpoint 2.1.2, los subgrupos de\(S_3\) are\(\{[1,2,3]\}\text{,}\)\(\{[1,2,3],[2,1,3]\}\text{,}\)\(\{[1,2,3],[1,3,2]\}\text{,}\)\(\{[1,2,3],[3,2,1]\}\text{,}\) y\(S_3\text{.}\) En notación de ciclo, los subgrupos de\(S_3\) (en el mismo orden) son\(\{e\}\text{,}\)\(\{e,(12)\}\text{,}\)\(\{e,(23)\}\text{,}\)\(\{e,(13)\}\text{,}\)\(\{e,(123),(132)\}\text{,}\) \(S_3\text{.}\)

Ejercicio 3.

Encuentra todos los coconjuntos del subgrupo\(\{R_0,R_{1/2}\}\) de\(D_4\text{.}\)

Ejercicio 4.

Subgrupos de\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}_n\).

1. Dejar\(H\) ser un subgrupo de\(\mathbb{Z}\). Mostrar que ya sea\(\) H= {0} o\(\), H=⟩ D⟩, donde\(\) d es el elemento positivo más pequeño en\(\) .H.
2. Dejar\(H\) ser un subgrupo de\(\mathbb{Z}\). Mostrar que ya sea\(\) H= {0} o\(\), H=⟩ D⟩, donde\(\) d es el elemento positivo más pequeño en\(\) .H.
3. Dejar\(n_1,n_2,\ldots,n_r\) ser enteros positivos. Demostrar que

   \ [
   \ langle n_1, n_2,\ ldots, n_r
   \ rangle =\ langle\ gcd (n_1, n_2,\ ldots, n_r)\ rangle
   \ nonumber\]

Consecuencia de este ejercicio: El mayor divisor común\(\gcd(a,b)\) de enteros\(a,b\) es el entero positivo más pequeño de la forma\(sa+tb\) sobre todos los enteros\(s,t\text{.}\) Dos enteros\(a,b\) son relativamente primos si y solo si existen enteros\(s,t\) tales que \(sa+tb=1\text{.}\)

Ejercicio 5.

Centralizadores, Centro de un grupo.

El centralizador de un elemento\(a\) en un grupo\(G\text{,}\) denotado\(C(a)\text{,}\) es el conjunto

\ [
C (a) =\ {g\ en G\ colon ag=ga\}.
\ nonumber\]

El centro de un grupo\(G\text{,}\) denotado\(Z(G)\text{,}\) es el conjunto

\ [
Z (G) =\ {g\ en G\ colon ag=ga\;\;\ para todas las a\ en G\}.
\ nonumber\]

1. Mostrar que el centralizador\(C(a)\) de cualquier elemento\(a\) de un grupo\(G\) es un subgrupo de\(G\)
2. Mostrar que el centro\(Z(G)\) de un grupo\(G\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)

Ejercicio 6.

El orden de un elemento de grupo.

Dejar\(g\) ser un elemento de un grupo\(G\text{.}\) El orden de\(g\text{,}\) denotado\(|g|\text{,}\) es el entero positivo más pequeño\(n\) tal que\(g^n=e\text{,}\) si existe tal entero. Si no hay un entero positivo\(n\) tal que\(g^n=e\text{,}\) entonces\(g\) se dice que tiene orden infinito. Demostrar que, si el orden de\(g\) es finito, digamos\(|g|=n\text{,}\) entonces

\ [
\ langle g\ rangle =
\ {g^0, g^1, g^2,\ ldots, g^ {n-1}\}\ text {.}
\ nonumber\]

Consecuencia de este ejercicio: Si\(G\) es cíclico con generador\(g\text{,}\) entonces\(|G|=|g|\text{.}\)

Ejercicio 7.

Los coconjuntos de un subgrupo particionan el grupo, Teorema de Lagrange.

1. Demostrar Proposición 2.3.9.
2. Ahora supongamos que un grupo\(G\) es finito. Mostrar que todos los coconjuntos de un subgrupo H tienen el mismo tamaño.
3. Demostrar lo siguiente.

Teorema de Lagrange.

Si\(G\) es un grupo finito y\(H\) es un subgrupo, entonces el orden de\(H\) divide el orden de\(G\text{.}\)

Pista

Para la parte (b), dejar\(aH,bH\) ser cosets. Demostrar que la función\(aH\to bH\) dada por\(x\to ba^{-1}x\) es una biyección.

Ejercicio 8.

Consecuencias del teorema de Lagrange.

1. Mostrar que el orden de cualquier elemento de un grupo finito divide el orden del grupo.
2. Dejar\(G\) ser un grupo finito, y dejar\ (g\ in
   G\ text {.}\) Demostrar que\(g^{|G|}=e\text{.}\)
3. Demostrar que un grupo de orden primo es cíclico.