2.4: Homomorfismos grupales

Definición 2.4.1. Homomorfismo grupal.

\(G,H\)Dejen ser grupos.

Un mapa\(\phi\colon G\to H\) se llama homomorfismo si

\ [
\ phi (xy) =\ phi (x)\ phi (y)
\ nonumber\]

para todos\(x,y\) en\(G\text{.}\) Un homomorfismo que es a la vez inyectivo (uno-a-uno) y suryectiva (onto) se llama isomorfismo de grupos. Si\(\phi\colon G\to H\) es un isomorfismo, decimos que\(G\) es isomorfo a\(H\text{,}\) y escribimos\(G\approx H\text{.}\)

Punto de control 2.4.2.

Demostrar que cada uno de los siguientes son homomorfismos.

• \(GL(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^\ast\)dado por\(M\to \det M\)
• \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\)dado por\(x\to mx\text{,}\) algunos fijos\(m\in \mathbb{Z}\)
• \(G\to G\text{,}\)\(G\)cualquier grupo, dado por\(x\to axa^{-1}\text{,}\) algunos fijos\(a\in G\)
• \(\mathbb{C}^\ast\to\mathbb{C}^\ast\)dado por\(z\to z^2\)

Demostrar que cada uno de los siguientes no son homomorfismos. En cada caso, demostrar lo que falla.

• \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\)dado por\(x\to x+3\)
• \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\)dado por\(x\to x^2\)
• \(D_4\to D_4\)dado por\(g\to g^2\)

Definición 2.4.3. Núcleo de un homomorfismo grupal.

Dejar\(\phi\colon G\to H\) ser un homomorfismo grupal, y dejar\(e_H\) ser el elemento de identidad para\(H\text{.}\) Escribimos\(\ker(\phi)\) para denotar el conjunto

\ [
\ ker (\ phi) :=\ phi^ {-1} (e_H) =\ {g\ en G\ colon\ phi (g) =E_h\},
\ nonumber\]

llamado el núcleo de\(\phi\text{.}\)

Punto de control 2.4.4.

Encuentra el núcleo de cada uno de los siguientes homomorfismos.

• \(\mathbb{C}^\ast\to \mathbb{C}^\ast\)dado por\(z\to z^n\)
• \(\mathbb{Z}_8\to \mathbb{Z}_8\)dado por\(x\to 6x \pmod{8}\)
• \(G\to G\text{,}\)\(G\)cualquier grupo, dado por\(x\to axa^{-1}\text{,}\) algunos fijos\(a\in G\)

Responder

1. \(\displaystyle C_n\)
2. \(\displaystyle \langle 4\rangle = \{0,4\}\)
3. \(\displaystyle \{x\in G\colon axa^{-1}=e\}=C(a)\)

Proposición 2.4.5. Propiedades básicas de los homomorfismos.

\(\phi\colon G\to H\)Sea un homomorfismo de grupos. Dejar\(e_G,e_H\) denotar los elementos de identidad de\(G,H\text{,}\) respectivamente. Tenemos lo siguiente.

1. (la identidad va a la identidad)\(\phi(e_G) = e_H\)
2. (inversos van a inversos)\(\phi\left(g^{-1}\right) = \left(\phi(g)\right)^{-1}\) para todos\(g\in G\)
3. \(\ker(\phi)\)es un subgrupo de\(G\)
4. \(\phi(G)\)es un subgrupo de\(H\)
5. (los conjuntos de preimágenes son coconjuntos del kernel)\(\phi(x)=y\) si y solo si\(\phi^{-1}(y) = x\ker(\phi)\)
6. \(\phi(a)=\phi(b)\)si y solo si\(a\ker(\phi)=b\ker(\phi)\)
7. \(\phi\)es uno a uno si y solo si\(\ker(\phi)=\{e_G\}\)

Prueba.

Ver Grupo de ejercicios 2.4.2.1—3.

Proposición 2.4.6. \(G/K\)is a group if and only if \(K\) is a kernel.

Dejar\(K\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{.}\) El conjunto\(G/K\) de coconjuntos de\(K\) forma un grupo, llamado grupo cociente (o grupo factorial), bajo la operación

\ [
(xK) (yK) = XyK\ label {multkernelcosets}\ tag {2.4.1}
\]

si y solo si\(K\) es el núcleo de un homomorfismo\(G\to G'\) para algún grupo\(G'\text{.}\)

Prueba.

Ver Ejercicio 2.4.2.5.

Aquí hay un corolario de la Proposición 2.4.6 y su prueba.

Corolario 2.4.7. (Teorema del Primer Isomorfismo).

\(\phi\colon G\to H\)Sea un homomorfismo de grupos. Entonces\(G/\ker(\phi)\) es isomórfico a\(\phi(G)\) través del mapa\(g\ker(\phi) \to \phi(g)\text{.}\)

Definición 2.4.8. Subgrupo normal.

Un subgrupo\(H\) de un grupo\(G\) se llama normal si\(ghg^{-1}\in H\) por cada\(g\in G\text{,}\)\(h\in H\text{.}\) Escribimos\(H\trianglelefteq G\) para indicar que\(H\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)

Proposición 2.4.9. Caracterización de subgrupos normales.

Dejar\(K\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{.}\) Los siguientes son equivalentes.

1. \(K\)es el núcleo de algún homomorfismo grupal\(\phi\colon G\to H\)
2. \(G/K\)es un grupo con multiplicación dada por la Ecuación (2.4.1)
3. \(K\)es un subgrupo normal de\(G\)

Ejercicios

Ejercicio 1

Propiedades básicas del homomorfismo. Demostrar Proposición 2.4.5.

Probar Propiedades\(1\) y\(2\).

Probar Propiedades\(3\) y\(4\).

Probar Propiedades\(5, 6,\) y\(7\).

Pista

Hecho de Uso 1.4.3.

Ejercicio2

Mostrar que la inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.

Ejercicio 3

Demostrar Proposición 2.4.6.

Ejercicio 4

Let\(n,a\) Ser números enteros positivos relativamente primos. Mostrar que el mapa\(\mathbb{Z}_n\to \mathbb{Z}_n\) dado por\(x\to ax\) es un isomorfismo.

Pista

Usa el hecho de que\(\gcd(m,n)\) es el número entero menos positivo de la forma\(sm+tn\) sobre todos los enteros\(s,t\) (ver Ejercicio 2.3.2.4). Usa esto para resolver\(ax=1 \pmod{n}\) cuándo\(a,n\) son relativamente primos.

Ejercicio 5

Otra construcción de\(\mathbb{Z}_n\).

Dejar\(n\geq 1\) ser un entero y dejar\(\omega=e^{i2\pi/n}\text{.}\) .ω=ei2π/n. Let\(\phi\colon \mathbb{Z}\to S^1\) ser dado por\(k\to \omega^k\text{.}\)

1. Demostrar que la imagen de\(\phi\) es el grupo\(C_n\) de enésima raíces de la unidad.
2. Demostrar que\(\phi\) es un homomorfismo, y que el núcleo de\(\phi\) es el conjunto\(n\mathbb{Z}=\{nk\colon k\in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
3. Concluir que\(\mathbb{Z}/\!(n\mathbb{Z})\) es isomórfico al grupo de\(n\) -ésimo raíces de unidad.

Ejercicio 6: Las imágenes isomórficas de los generadores son generadores

Dejar\(S\) ser un subconjunto de un grupo\(G\text{.}\) Dejar\(\phi\colon G\to H\) ser un isomorfismo de grupos, y dejar\(\phi(S)=\{\phi(s)\colon s\in S\}\text{.}\) Mostrar eso\(\phi(\langle S\rangle)=\langle \phi(S)\rangle\text{.}\)

Ejercicio 7: Conjugación

Let\(G\) be a group, let a be an element of\(G\text{,}\) and let\(C_a\colon G\to G\) be given by\(C_a(g)=aga^{-1}\text{.}\) El mapa\(C_a\) se llama conjugación por el elemento\(a\) y\(g,aga^{-1}\) se dice que los elementos son conjugados el uno al otro.

1. Demostrar que\(C_a\) es un isomorfismo de\(G\) consigo mismo.
2. Mostrar que “se conjuga con” es una relación de equivalencia. Es decir, considere la relación sobre\(G\) dada por\(x\sim y\) si\(y=C_a(x)\) para algunos\(a\text{.}\) Mostrar que esta es una relación de equivalencia.

Ejercicio 8: El isomorfismo induce una relación de equivalencia

Demostrar que “es isomórfico a” es una relación de equivalencia en grupos. Es decir, considerar la relación\(\approx\) en el conjunto de todos los grupos, dada por\(G\approx H\) si existe un isomorfismo grupal\(\phi\colon G\to H\text{.}\) Mostrar que esta es una relación de equivalencia.

Caracterización de subgrupos normales.

Demostrar Proposición 2.4.9. Que el Ítem 1 sea equivalente al Ítem 2 está establecido por la Proposición 2.4.6.

Ejercicio 9

Demostrar que el ítem 1 implica el ítem 3.

Ejercicio 10

Demostrar que el ítem 3 implica el ítem 2. La parte desordenada de esta prueba es mostrar que la multiplicación de cosets está bien definida. Esto significa que empiezas suponiendo eso\(xK=x'K\) y\(yK=y'K\text{,}\) luego demostrar que\(xyK=x'y'K\text{.}\)

Ejercicio 11: Caracterizaciones adicionales de subgrupos normales

Mostrar que el ítem 3 es equivalente a las siguientes condiciones.

1. \(gKg^{-1}= K\)para todos\(g\in G\)
2. \(gK = Kg\)para todos\(g\in G\)

Ejercicio 12: Automorfismos

Seamos\(G\) un grupo. Un automorfismo de\(G\) es un isomorfismo de\(G\) a sí mismo. Se denota el conjunto de todos los automorfismos de\(G\)\(Aut(G)\).

1. Demostrar que\(Aut(G)\) es un grupo bajo la operación de composición de funciones.
2. Demostrar que

   \ [
   Posada (G) :=\ {C_g\ colon g\ en
   G\}
   \ nonumber\]

   es un subgrupo de\(Aut(G)\text{.}\) (El grupo\(Inn(G)\) se llama el grupo de automorfismos internos de\(G\text{.}\))

3. Encuentra un ejemplo de un automorfismo de un grupo que no es un automorfismo interno.