2.6: Ejercicios adicionales

Ejercicio 1

1. El grupo de unidades en\(\mathbb{Z}_n\).

Vamos a\(U_n\) denotar el conjunto de elementos en\(Z_n\) que tienen inversas multiplicativas, es decir,

\ [
u_n =\ {x\ in\ mathbb {Z} _n\ dos puntos\ existe y, xy=1\ pmod {n}\}.
\ nonumber\]

1. Demostrar que\(x\) está en\(U_n\) si y solo si\(x\) es relativamente primo a\(n\text{.}\)
2. Demostrar que\(U_n\) con la operación binaria de multiplicación mod\(n\) es un grupo abeliano.
3. Demostrar que\(U_n\) es isomórfico a\(Aut(\mathbb{Z}_n)\) vía\(x\to [a\to ax]\text{.}\)

Terminología: El grupo\(U_n\) se llama el grupo de unidades (multiplicativas) en\(\mathbb{Z}_n\text{.}\) La función\(n\to |U_n|\text{,}\) importante en la teoría de números, se llama la función phi de Euler, escrita \(\phi(n)=|U_n|\text{.}\)

Ejercicio 2

2. El pequeño teorema de Fermat.

Por cada entero\(x\) y cada primo\(p\text{,}\) que tenemos\(x^p = x \pmod{p}\text{.}\)

Insinuación

Primero, reduce\(x\) mod es\(p\text{,}\) decir, escribe\(x=qp+r\) con\(0\leq r\leq p-1\text{.}\) Ahora considera dos casos. El caso\(r=0\) es trivial. Si\(r\neq 0\text{,}\) aplica el hecho\(r^{|G|}=e\) (ver Ejercicio 2.3.2.8) al grupo\(G=U_p\text{.}\)

Ejercicio 3

3. El grupo alterno.

1. Demostrar que, para la\(n\geq 2\text{,}\) mitad de los elementos de\(S_n\) son pares, y la mitad son impares.
2. El conjunto de permutaciones pares en\(S_n\) se llama el grupo alterno, denotado\(A_n\). Demostrar que efectivamente\(A_n\) es un subgrupo de\(S_n\text{.}\)

Ejercicio 4

4. El orden de una permutación.

\(\sigma\in S_n\)Déjese escribir como producto de ciclos disjuntos. Mostrar que el orden\(\sigma\) es el múltiplo menos común de las longitudes de esos ciclos disjuntos.

Ejercicio 5

5. Producto semidirecto.

\(K,H\)Dejen ser grupos, y que\(\phi\colon H\to Aut(K)\) sean un homomorfismo. El producto semidirecto, denotado\(K\times_{\phi} H\text{,}\) o\(K\rtimes H\) si\(\phi\) se entiende, es el conjunto que consiste en todos los pares\((k,h)\) con\(k\in K\text{,}\)\(h\in H\) ¹ con la operación de multiplicación de grupos\(\ast\) dado por

\ [
(k_1, h_1)\ ast (k_1, h_2) = (k_1\ phi (h_1) (k_2), h_1h_2).
\ nonumber\]

Dos ejemplos demuestran por qué esta es una construcción útil. El grupo diedro\(D_n\) es (isomórfico a) el producto semidirecto\(C_n\rtimes C_2\text{,}\) donde\(C_n\) es el grupo cíclico generado por la rotación\(R_{1/n}\) (rotación por\(1/n\) de una revolución) y\(C_2\) es el grupo de dos elementos generado por cualquier reflexión\(R_L\) en\(D_n\text{.}\) El mapa \(\phi\colon C_2 \to Aut(C_n)\)viene dado por\ (F_L\ to
[R_ {\ theta}\ a R_ {-\ theta}]\ text {.}\) El grupo euclidiano de transformaciones de congruencia del plano es (isomórfico a) el grupo\(\mathbb{R}^2\rtimes O(2)\text{,}\) donde\((\mathbb{R}^2,+)\) está el grupo aditivo de vectores de\(2×1\) columna con entradas reales, y\(O(2)\) es el grupo de matrices ortogonales\(2×2\) reales. El mapa\(\phi\colon O(2)\to Aut(\mathbb{R}^2)\) viene dado por es\(g\to [v\to gv]\text{,}\) decir, la acción natural de\(O(2)\) on\(\mathbb{R}^2\text{.}\) [El elemento del grupo euclidiano\((v,g)\) actúa sobre el punto\(x\in\mathbb{R}^2\) por\ (x\ a
gx+v\ text {.}\)]

1. Hacer todos los detalles necesarios para demostrar que efectivamente\(K\rtimes H\) es un grupo.
2. (Caracterización de productos semidirectos) Supongamos que\(K,H\) son subgrupos de un grupo\(G\text{.}\) Let\ (KH=\ {kh\ colon k\ in K, h\ in
   H\}\ text {.}\) Supongamos que\(K\) es un subgrupo normal de\(G\text{,}\) eso\(G=KH\text{,}\) y que\(K\cap H=\{e\}\text{.}\) Mostrar eso \(\phi\colon H\to Aut(K)\text{,}\)dado por\(\phi(h)(k)=hkh^{-1}\text{,}\) es un homomorfismo. Demostrar que\(\psi\colon K\times_\phi H\to G\text{,}\) dado por\(\psi(k,h)=kh\text{,}\) es un isomorfismo.
3. Demostrar eso\(D_n\approx C_n\rtimes C_2\text{,}\) como se ha descrito anteriormente.
4. Demostrar que el siguiente requisito se mantiene para la acción grupal euclidiana. Tenemos

   \ [
   [(v_1, g_1) (v_2, g_2)] x = (v_1, g_1) [(v_2, g_2) x],
   \ nonumber\]

   para todos\(v_1,v_2,x\in \mathbb{R}^2\) y\(g_1,g_2\in O(2)\text{.}\)
5. Supongamos que ese\(\phi\colon H\to Aut(K)\) es el homomorfismo trivial (es decir,\(\phi(h)\) es el homomorfismo identitario encendido\(K\text{,}\) para todos\(h\in H\)). \(K\times_{\phi} H\approx K\times H\)Demuéstralo en este caso.

Ejercicio 6

6. Acción grupal sobre funciones en un\(G\) -espacio.

Supongamos que un grupo\(G\) actúa sobre un conjunto\(X\text{.}\) Let\({\mathcal F}(X,Y)\) denotar el conjunto de funciones

\ [
{\ matemática F} (X, Y) =\ {f\ dos puntos X\ a Y\}
\ nonúmero\]

de\(X\) a algún conjunto\(Y\text{.}\) Mostrar que la fórmula

\ [
(g\ cdot\ alfa) (x) =\ alfa (g^ {-1}\ cdot x)
\ nonumber\]

define una acción de\(G\) sobre\({\mathcal F}(X,Y)\text{,}\) dónde\(g\in G\text{,}\)\(\alpha \in {\mathcal F}(X,Y)\text{,}\) y\(x\in X\text{.}\)