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## Ejercicio 1

1. El grupo de unidades en$$\mathbb{Z}_n$$.

Vamos a$$U_n$$ denotar el conjunto de elementos en$$Z_n$$ que tienen inversas multiplicativas, es decir,

\ [
u_n =\ {x\ in\ mathbb {Z} _n\ dos puntos\ existe y, xy=1\ pmod {n}\}.
\ nonumber\]

1. Demostrar que$$x$$ está en$$U_n$$ si y solo si$$x$$ es relativamente primo a$$n\text{.}$$
2. Demostrar que$$U_n$$ con la operación binaria de multiplicación mod$$n$$ es un grupo abeliano.
3. Demostrar que$$U_n$$ es isomórfico a$$Aut(\mathbb{Z}_n)$$ vía$$x\to [a\to ax]\text{.}$$

Terminología: El grupo$$U_n$$ se llama el grupo de unidades (multiplicativas) en$$\mathbb{Z}_n\text{.}$$ La función$$n\to |U_n|\text{,}$$ importante en la teoría de números, se llama la función phi de Euler, escrita $$\phi(n)=|U_n|\text{.}$$

## Ejercicio 2

2. El pequeño teorema de Fermat.

Por cada entero$$x$$ y cada primo$$p\text{,}$$ que tenemos$$x^p = x \pmod{p}\text{.}$$

Insinuación

Primero, reduce$$x$$ mod es$$p\text{,}$$ decir, escribe$$x=qp+r$$ con$$0\leq r\leq p-1\text{.}$$ Ahora considera dos casos. El caso$$r=0$$ es trivial. Si$$r\neq 0\text{,}$$ aplica el hecho$$r^{|G|}=e$$ (ver Ejercicio 2.3.2.8) al grupo$$G=U_p\text{.}$$

## Ejercicio 3

3. El grupo alterno.

1. Demostrar que, para la$$n\geq 2\text{,}$$ mitad de los elementos de$$S_n$$ son pares, y la mitad son impares.
2. El conjunto de permutaciones pares en$$S_n$$ se llama el grupo alterno, denotado$$A_n$$. Demostrar que efectivamente$$A_n$$ es un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

## Ejercicio 4

4. El orden de una permutación.

$$\sigma\in S_n$$Déjese escribir como producto de ciclos disjuntos. Mostrar que el orden$$\sigma$$ es el múltiplo menos común de las longitudes de esos ciclos disjuntos.

## Ejercicio 5

5. Producto semidirecto.

$$K,H$$Dejen ser grupos, y que$$\phi\colon H\to Aut(K)$$ sean un homomorfismo. El producto semidirecto, denotado$$K\times_{\phi} H\text{,}$$ o$$K\rtimes H$$ si$$\phi$$ se entiende, es el conjunto que consiste en todos los pares$$(k,h)$$ con$$k\in K\text{,}$$$$h\in H$$ 1 con la operación de multiplicación de grupos$$\ast$$ dado por

\ [
(k_1, h_1)\ ast (k_1, h_2) = (k_1\ phi (h_1) (k_2), h_1h_2).
\ nonumber\]

Dos ejemplos demuestran por qué esta es una construcción útil. El grupo diedro$$D_n$$ es (isomórfico a) el producto semidirecto$$C_n\rtimes C_2\text{,}$$ donde$$C_n$$ es el grupo cíclico generado por la rotación$$R_{1/n}$$ (rotación por$$1/n$$ de una revolución) y$$C_2$$ es el grupo de dos elementos generado por cualquier reflexión$$R_L$$ en$$D_n\text{.}$$ El mapa $$\phi\colon C_2 \to Aut(C_n)$$viene dado por\ (F_L\ to
[R_ {\ theta}\ a R_ {-\ theta}]\ text {.}\) El grupo euclidiano de transformaciones de congruencia del plano es (isomórfico a) el grupo$$\mathbb{R}^2\rtimes O(2)\text{,}$$ donde$$(\mathbb{R}^2,+)$$ está el grupo aditivo de vectores de$$2×1$$ columna con entradas reales, y$$O(2)$$ es el grupo de matrices ortogonales$$2×2$$ reales. El mapa$$\phi\colon O(2)\to Aut(\mathbb{R}^2)$$ viene dado por es$$g\to [v\to gv]\text{,}$$ decir, la acción natural de$$O(2)$$ on$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ [El elemento del grupo euclidiano$$(v,g)$$ actúa sobre el punto$$x\in\mathbb{R}^2$$ por\ (x\ a
gx+v\ text {.}\)]

1. Hacer todos los detalles necesarios para demostrar que efectivamente$$K\rtimes H$$ es un grupo.
2. (Caracterización de productos semidirectos) Supongamos que$$K,H$$ son subgrupos de un grupo$$G\text{.}$$ Let\ (KH=\ {kh\ colon k\ in K, h\ in
H\}\ text {.}\) Supongamos que$$K$$ es un subgrupo normal de$$G\text{,}$$ eso$$G=KH\text{,}$$ y que$$K\cap H=\{e\}\text{.}$$ Mostrar eso $$\phi\colon H\to Aut(K)\text{,}$$dado por$$\phi(h)(k)=hkh^{-1}\text{,}$$ es un homomorfismo. Demostrar que$$\psi\colon K\times_\phi H\to G\text{,}$$ dado por$$\psi(k,h)=kh\text{,}$$ es un isomorfismo.
3. Demostrar eso$$D_n\approx C_n\rtimes C_2\text{,}$$ como se ha descrito anteriormente.
4. Demostrar que el siguiente requisito se mantiene para la acción grupal euclidiana. Tenemos

\ [
[(v_1, g_1) (v_2, g_2)] x = (v_1, g_1) [(v_2, g_2) x],
\ nonumber\]

para todos$$v_1,v_2,x\in \mathbb{R}^2$$ y$$g_1,g_2\in O(2)\text{.}$$
5. Supongamos que ese$$\phi\colon H\to Aut(K)$$ es el homomorfismo trivial (es decir,$$\phi(h)$$ es el homomorfismo identitario encendido$$K\text{,}$$ para todos$$h\in H$$). $$K\times_{\phi} H\approx K\times H$$Demuéstralo en este caso.

## Ejercicio 6

6. Acción grupal sobre funciones en un$$G$$ -espacio.

Supongamos que un grupo$$G$$ actúa sobre un conjunto$$X\text{.}$$ Let$${\mathcal F}(X,Y)$$ denotar el conjunto de funciones

\ [
{\ matemática F} (X, Y) =\ {f\ dos puntos X\ a Y\}
\ nonúmero\]

de$$X$$ a algún conjunto$$Y\text{.}$$ Mostrar que la fórmula

\ [
(g\ cdot\ alfa) (x) =\ alfa (g^ {-1}\ cdot x)
\ nonumber\]

define una acción de$$G$$ sobre$${\mathcal F}(X,Y)\text{,}$$ dónde$$g\in G\text{,}$$$$\alpha \in {\mathcal F}(X,Y)\text{,}$$ y$$x\in X\text{.}$$

This page titled 2.6: Ejercicios adicionales is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by David W. Lyons via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.