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# 3.1: Geometrías y Modelos

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Una parte integral de la comprensión moderna de la geometría es el concepto de transformación de congruencia, o simplemente simetría. Las simetrías de un espacio geométrico conservan las propiedades inherentes de las figuras, como la distancia, el ángulo y el área. En su obra de 1872 llamada Erlanger Programm 1, Felix Klein unificó el estudio de una amplia variedad de espacios geométricos colocando de manera manifiesta el grupo de transformaciones de congruencia como parte de la estructura de una geometría. La siguiente es una versión de la definición de geometría de Klein.

##### Definición 3.1.1.

Una geometría es un par$$(X,G)\text{,}$$ donde$$X$$ es un conjunto, llamado el espacio (modelo), y$$G$$ es un grupo, llamado el grupo de transformaciones de congruencia, que actúa sobre $$X\text{.}$$Los subconjuntos de$$X$$ se llaman figuras. Las figuras$$F,F'$$ se llaman congruentes si hay un elemento$$g$$ en$$G$$ tal que$$g(F)=F'\text{.}$$ escribimos$$F\cong F'$$ para denotar que las figuras$$F,F'$$ son congruentes.

Nota sobre terminología y notación: a lo largo de este capítulo sobre geometría, el término transformación siempre significará uno-a-uno y sobre mapa de un espacio a sí mismo. Dada una geometría$$(X,G)$$ con acción grupal$$\phi\colon G\to Perm(X)\text{,}$$ abusaremos de la notación y escribiremos$$g\colon X\to X$$ para denotar el mapa\ (\ phi (g)\ dos puntos
X\ a X\) para un elemento$$g$$ en$$G\text{.}$$ Es de uso común decir “la transformación$$g$$" para significar “la transformación$$\phi(g)$$" de la espacio$$X\text{.}$$

Punto de control 3.1.2.

Mostrar que la congruencia es una relación de equivalencia sobre el conjunto de figuras en una geometría.

## Ejemplos de geometrías

• Geometría euclidiana plana. El espacio modelo para la geometría euclidiana plana es el plano$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ El grupo de transformaciones de congruencia consiste en traslaciones, rotaciones, reflexiones y sus composiciones. Específicamente, las congruencias euclidianas son funciones de la forma$${v}\to R{v}+{b}\text{,}$$ donde\ ({v}\ in
\ mathbb {R} ^2\ text {,}\)$$R$$ es un elemento del grupo de matrices$$2×2$$ ortogonales, y$${b}\in \mathbb{R}^2\text{.}$$
• Geometría esférica. El espacio modelo para geometría esférica es la esfera$$S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon x^2+y^2+z^2=1\}\text{.}$$ El grupo de transformaciones de congruencia consiste en rotaciones de la esfera y reflexiones a través de planos a través del origen. Específicamente, las congruencias esféricas son funciones de la forma$${v}\to R{v}\text{,}$$ donde$${v} \in \mathbb{R}^3\text{,}$$$$|{v}|=1\text{,}$$ y$$R$$ es un elemento del grupo de matrices$$3×3$$ ortogonales.
• Geometría proyectiva. El espacio modelo para una geometría proyectiva es el espacio proyectivo$$\mathbb{P}(V)\text{,}$$ donde$$V$$ es un espacio vectorial$$V$$ (ver Ejercicio 2.5.3.6 en el capítulo anterior). El grupo de transformaciones de congruencia es el grupo lineal proyectivo$$PGL(V)\text{.}$$

## Geometrías planas

Gran parte de este capítulo sobre geometría está dedicado a una familia de geometrías planas cuyos espacios modelo son el plano complejo extendido$$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$$ (descrito en la sección 1.3) y algunos de sus subconjuntos. Una de las propiedades compartidas por las transformaciones de congruencia en todas estas geometrías planas es la conformalidad o preservación del ángulo. Decir que una transformación$$T$$ es conforme significa que si dos curvas$$C_1$$ y$$C_2$$ hacen un ángulo orientado$$\theta$$ en un punto$$P$$ de intersección, entonces las dos curvas de imagen$$T(C_1)$$ y$$T(C_2)$$ también hacen las mismas orientadas ángulo en el punto$$T(P)$$ de intersección (el ángulo formado por dos curvas es el ángulo formado por sus tangentes en el punto de intersección). Ver Figura 3.1.3. El Grupo de Ejercicios 3.1.4.2—5 examina las propiedades conformales de los cuatro tipos básicos de funciones complejas resumidas en la Tabla 3.1.4.

## Subgeometrías y geometrías equivalentes

##### Definición 3.1.5. Subgeometría.

Decimos que una geometría$$(X,G)$$ es una subgeometría de una geometría$$(Y,H)$$ si$$X$$ es un subconjunto de$$Y$$ y$$G$$ es un subgrupo de$$H\text{.}$$

##### Definición 3.1.6. Geometrías equivalentes.

Geometrías$$(X,G)$$ y$$(Y,H)$$ son equivalentes si hay un mapa biyective$$\mu\colon X\to Y$$ tal que cada elemento de$$H$$ tiene una transformación conjugada en$$G$$ y cada elemento de$$G$$ tiene una transformación conjugada$$H\text{.}$$ en símbolos In: 2

• por cada$$g\in G\text{,}$$ hay$$h\in H$$ tal que$$\mu\circ g\circ \mu^{-1} = h\text{,}$$ y
• por cada$$h\in H\text{,}$$ hay$$g\in G$$ tal que$$\mu^{-1}\circ h\circ \mu = g\text{.}$$

Se dice que las geometrías equivalentes son modelos de la misma geometría.

Nota sobre terminología: el término “geometría” se utiliza para referirse a un modelo específico como en la definición Definición 3.1.1, y también para referirse a una clase de equivalencia de geometrías. 3

## Ejercicios

##### Ejercicio 1: Ejercicios de calentamiento con las tres geometrías de ejemplo
1. Encuentra la transformación de congruencia euclidiana que lleva el triángulo con vértices$$(2,0),(6,0),(6,3)$$ al triángulo con vértices$$(0,-1),(0,-5),(3,-1)\text{.}$$
2. Encuentra la congruencia esférica que lleva los tres puntos$$(0,0,1),(0,0,-1),(1,0,0)$$ a los tres puntos$$(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0)$$ (en ese orden).
3. Encuentra la transformación proyectiva en$$PGL(2,\mathbb{C})$$ que lleva los tres puntos$$[(1,1)],[(0,1)],[(1,0)]$$$$\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$$ a$$[(a,1),(b,1),(c,1)]$$ (en ese orden).
4. Encontrar fórmulas para la composición de dos transformaciones euclidianas y la inversa de una transformación euclidiana.
5. Dejar$$d(P,Q)$$ denotar la distancia entre puntos$$P,Q$$ en geometría euclidiana, y dejar$$T$$ ser una transformación de congruencia euclidiana. Demostrar que$$d(T(P),T(Q))=d(P,Q)\text{.}$$
##### Ejercicio 2: Ángulos y transformaciones conformes

El plano complejo viene con una medida incorporada de ángulo orientado. Si$$u$$ es un número real positivo,$$v=0\text{,}$$ y$$w\neq 0$$ es un número complejo, la medida del ángulo orientado$$\angle uvw$$ es$$\arg w\text{.}$$ Más generalmente, si$$u,v,w$$ son tres números complejos con$$v$$ distinto de$$u$$ y$$w\text{,}$$ la medida del ángulo orientado$$\angle uvw$$ es

\ begin {ecuación}
\ arg\ izquierda (\ frac {w-v} {u-v}\ derecha). \ label {anglemeascomplex}\ tag {3.1.1}
\ end {ecuación}

2. Utilizar el hecho de que las rotaciones y traducciones son conformes para probar (3.1.1).

3. Utilizar (3.1.1) para demostrar que las homotedades son conformes.

4. Ahora supongamos que dos curvas se$$C_1,C_2$$ cruzan en$$v\text{,}$$ let$$u$$ be a point on$$C_1$$ y let$$w$$ be a point on$$C_2\text{.}$$$$u$$ If and$$w$$ are close to$$v\text{,}$$ then$$\angle uvw$$ is a secant approximation of a angle made by the tangentes to$$C_1,C_2$$ at $$v\text{.}$$Ver Figura 3.1.7. Ahora vamos a$$p(t),q(s)$$ ser parametrizaciones de$$C_1,C_2\text{,}$$ respectivamente, con$$p(0)=q(0)=v\text{,}$$ y$$p(t_1)=u\text{,}$$$$q(s_1)=w$$ para algunos$$t_1,s_2\gt 0\text{.}$$ Podemos calcular un ángulo hecho por las tangentes a las curvas por el siguiente límite.

\ begin {ecuación}
\ lim_ {s\ a 0^+, t\ a 0^+}
\ arg\ izquierda (\ frac {q (s) -v} {p (t) -v}\ derecha)\ label {anglemeascurves}\ tag {3.1.2}
\ end {ecuación}

El valor del límite (3.1.2) es sensible a la dirección de las parametrizaciones de la curva y la lado-ness de los límites$$t\to 0^{\pm}$$ o$$s\to 0^{\pm}\text{.}$$ Si el valor del límite (3.1.2) es$$\theta$$ para un conjunto de opciones para parametrizaciones y lado-ness, el límite para el otro las opciones serán$$\theta$$ o$$\theta \pm \pi\text{.}$$ Para un par dado de parametrizaciones,$$p,q\text{,}$$ dibuje un boceto para ilustrar los cuatro casos posibles$$t\to 0^{\pm},s\to 0^{\pm}\text{.}$$

5. Utilizar (3.1.1) y (3.1.2) para probar que la inversión es conforme.

##### Ejercicio 3: Geometrías Equivalentes

6. Mostrar que la definición de equivalencia de geometrías en realidad define una relación de equivalencia sobre geometrías.

7. $${\mathcal E}_1$$Denotar el conjunto de transformaciones de congruencia euclidiana dadas anteriormente en la Subsección 3.1.1. Let$${\mathcal E}_2$$ denotar el conjunto de funciones complejas que se pueden escribir como composiciones de los siguientes tres tipos:

• $$z\to e^{it}z$$para algunos$$t\in \mathbb{R}$$
• $$z\to z+b$$para algunos$$b\in \mathbb{C}$$
• $$\displaystyle z\to z^{\ast}$$

Mostrar que las geometrías$$(\mathbb{R}^2,{\mathcal E}_1)$$ y$$(\mathbb{C},{\mathcal E}_2)$$ son equivalentes.

8. Supongamos que$$(X,G)$$ y$$(Y,H)$$ son geometrías equivalentes. ¿Es necesariamente el caso de que G y H sean grupos isomórficos? En caso afirmativo, dar una prueba. Si no, da un contraejemplo.

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