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## Ejercicios

Ejercicio 1

###### Subgrupo euclidiano del grupo Möbius.

Dejar$$\mathbf{E}$$ denotar el subgrupo del grupo Möbius$$\mathbf{M}$$ generado por rotaciones y traslaciones, es decir, transformaciones del tipo$$z\to e^{it}z$$ para$$t\in \mathbb{R}$$ y$$z\to z+b$$ para$$b\in C\text{.}$$ La geometría a veces$$(\mathbb{C},\mathbf{E})$$ se llama “geometría euclidiana”. ¿$$(\mathbb{C},\mathbf{E})$$Equivale a la geometría euclidiana definida en la Subsección 3.1.1? ¿Por qué o por qué no?

Ejercicio 2

###### Geometría elíptica y geometría esférica.

¿La geometría elíptica es$$(\hat{\mathbb{C}},\mathbf{S})$$ equivalente a la geometría esférica definida en la Subsección 3.1.1? ¿Por qué o por qué no?

Ejercicio 3

###### Desplazamientos paralelos en geometría hiperbólica.

Dejar$$T$$ ser un elemento del grupo hiperbólico$$\mathbf{H}$$, con un solo punto fijo$$p$$ y forma normal

\ begin {ecuación*}
\ frac {1} {tz-p} =\ frac {1} {1-p} +\ beta.
\ end {ecuación*}

$$p\beta$$Demostrar que debe ser un número imaginario puro, es decir, debe haber un número real$$k$$ tal que$$p\beta=ki\text{.}$$

Ejercicio 4

Demostrar que todos los elementos del grupo elíptico$$\mathbf{S}$$ son elípticos en el sentido de forma normal, es decir, tenemos$$|\alpha|=1$$ en la expresión de forma normal

\ begin {ecuación*}
\ frac {tz-p} {tz-q} =\ alpha
\ frac {z-p} {z-q}.
\ end {ecuación*}

Sugerencia: Primero encuentre los puntos fijos$$p,q\text{,}$$ luego ponga$$z=\infty$$ en la ecuación de forma normal y resuelva para$$\alpha\text{.}$$

Ejercicio 5

###### Derivación alternativa de la fórmula para elementos de grupos elípticos.

Para obtener una fórmula explícita para los elementos del grupo elíptico, comenzamos con una condición necesaria. Sea\ (r=s^ {-1}\ circ
T\ circ s\) la rotación de$$S^2$$ esos levantamientos$$T$$ vía proyección estereográfica. Si$$P,Q$$ hay un par de puntos finales de un diámetro de$$S^2\text{,}$$ entonces también$$R(P),R(Q)$$ debe ser un par de puntos finales de un diámetro. El ejercicio 1.3.3.7 establece la condición de que dos números complejos$$p,q$$ sean proyecciones estereográficas de puntos finales de un diámetro si y solo si$$pq^\ast = -1\text{.}$$ Así tenemos la siguiente condición necesaria para$$T\text{.}$$

\ begin {ecuación}
pq^\ ast = -1\;\;\ text {implica}\;\; Tp (Tq) ^\ ast =
-1\ label {diamendpreservecond}\ tag {3.6.1}
\ end {ecuación}

Ahora supongamos que$$Tz=\frac{az+b}{cz+d}$$ con$$ad-bc=1\text{.}$$ Resolver la ecuación
\ (Tp =\ frac {-1} {(T (\ frac {-1} {p^\ ast})) ^\ ast}\) lleva a$$c=-b^\ast$$ y$$d=a^\ast\text{.}$$ así concluimos que$$T$$ tiene la siguiente forma.

\ begin {ecuación}
Tz=\ frac {az+b} {-b^\ ast z+a^\ ast},\;\; |a|a|^2+|b|^2=1\ label {elípticatranssu2form}\ tag {3.6.2}
\ end {ecuación}

Realizar el cómputo a derivar (3.6.2). Explique por qué no hay pérdida de generalidad asumiendo$$ad-bc=1\text{.}$$

Ejercicio 6

###### Identificaciones de U (H) y S con Rot (S2).

La discusión de la geometría elíptica (Sección 3.4) establece dos formas de construir rotaciones a partir de matrices. El propósito de este ejercicio es conciliar estas identificaciones. Dado$$a,b\in \mathbb{C}$$ con$$|a|^2+|b|^2=1\text{,}$$ vamos a definir los siguientes objetos, todos parametrizados por$$a,b\text{.}$$

\ begin {alinear*}
M_ {a, b} & =\ left [\ begin {array} {cc} {a} &
{b}\\ {-b^\ ast} & {a^\ ast}\ end {array}\ derecha]\\
r_ {a, b} & = Re (a) +Im (a) I+Re (b) J+im (b) k\\
R_ {r_ {a, b}} & =\ izquierda [u\ a
r_ {a, b} ur_ {a, b} ^\ ast\ derecha]\;\;\ texto {para} u\ en S^2_\ mathbb {H}\\
T_ {a, b} & =\ izquierda [z\ a\ frac {az+b} {-b^\ ast
z+a^\ ast}\ derecha]\;\;\ texto {para} z\ in\ hat {\ mathbb {C}}\\
R_ {T_ {a, b}} & = s^ {-1}\ circ T_ {a, b}\ circ s
\ final {alinear*}

Los objetos anteriores están organizados a lo largo de dos secuencias de mapeos. La rotación$$R_{r_{a,b}}$$ está al final del “camino del cuaternión”

\ begin {align}
SU (2) &\ a U (\ mathbb {H})\ a Rot (S^2_\ mathbb {H})\ label {quatpath}\ tag {3.6.3}\\
M_ {a, b} &
\ a r_ {a, b}\ a R_ {r_ {a, b}}\ notag
\ end {align}

y la rotación$$R_{T_{a,b}}$$ está al final del “camino de Möbius”

\ begin {align}
SU (2) &\ a\ S\ a Rot (S^2)\ label {mobiuspath}\ tag {3.6.4}\\
M_ {a, b} &
\ a T_ {a, b}\ a R_ {T_ {a, b}}. \ noetiqueta
\ end {align}

Este problema se trata de comparar las rotaciones$$R_{r_{a,b}}$$ y$$R_{T_{a,b}}$$ (ver Cuadro 3.6.1) y conciliar la diferencia. Los ángulos de rotación son los mismos, pero los ejes son diferentes, pero sólo por un reordenamiento de coordenadas y un signo menos.

Los ejercicios que se detallan a continuación verifican los valores para$$v,\theta$$ el Cuadro 3.6.1.

1. Utilice la Proposición 1.2.9 para justificar los valores para$$v$$ y$$\theta$$ para$$R_{r_{a,b}}$$ en el Cuadro 3.6.1.
2. Resuelve$$T_{a,b}z=z$$ demostrar que uno de los puntos fijos de$$T_{a,b}$$ es

\ begin {ecuación*}
p=-ib\ izquierda (\ frac {\ sqrt {1- (Re (a)) ^2} + Im (a)} {|b|^2}\ derecha).
\ end {ecuación*}

3. Demostrar que$$s\left(\frac{(Im(b),-Re(b),Im(a))}{\sqrt{1-(Re(a))^2}}\right)=p\text{.}$$
4. Demostrar que

\ begin {ecuación}
T_ {a, b} = s\ circ h\ circ R_ {r_ {a, b}}\ circ h\ circ s^ {-1}\ label {trhcommute}\ tag {3.6.5}
\ end {ecuación}

donde$$h\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$$ se da por$$(x,y,z)\to (z,-y,z)\text{.}$$ Aquí hay una manera de hacer esto: evaluar ambos lados de (3.6.5) en los tres puntos ¡$$p,0,\infty\text{.}$$Explica por qué esto es suficiente! Utilizar la multiplicación de cuaterniones$$R_{r_{a,b}}\text{.}$$ para evaluar Por ejemplo,$$R_{r_{a,b}}(1,0,0)=r_{a,b}ir_{a,b}^\ast$$ bajo la identificación natural$$\mathbb{R}^3\leftrightarrow \mathbb{R}^3_\mathbb{H}\text{.}$$
5. Aquí hay una manera de conciliar el camino del cuaternión (3.6.3) con el camino de Möbius (3.6.4). Dejar\ (H=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left [\ begin {array} {cc}
1& 1\\ 1& -1\ end {array}\ right]\) (la matriz a veces$$H$$ se llama la matriz Hadamard) y vamos$$C_{iH}$$ denotar el mapa$$M\to (iH)M(iH)^{-1}\text{.}$$ Mostrar que el diagrama en la Figura 3.6.2 conmuta. Pista: Observe eso$$iH\in SU(2)$$ y eso$$Q(iH)=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)\text{,}$$ y eso$$R_{Q(iH)}=h\text{.}$$

Ejercicio 7

###### Teoremas de Pitágoras.

Dejar$$\triangle ABC$$ ser un triángulo rectángulo con ángulo recto$$\angle C$$ con longitudes laterales$$a=d(B,C)\text{,}$$$$b=d(A,C)\text{,}$$ y$$c=d(A,B)$$ para que la longitud de la hipotenusa sea$$c\text{.}$$ Ver Figura 3.6.3.

\ begin {align}
\ cosh\ left (\ ln\ left (\ frac {1+u} {1-u}\ right)\ right) & =
\ frac {1+u^2} {1-u^2}\;\ ;( 0\ lt u\ lt 1)\ label {coshhyperbolicdistidentity}\ tag {3.6.6}\\
\ cos (2\ arctan u) & =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ etiqueta {cosellipticistidentidad}\ etiqueta {3.6.7}
\ end {align}

2. El Teorema de Pitágoras Hiperbólicas. Demostrar que

\ begin {ecuación}
\ cosh (c) =\ cosh (a)\ cosh (b)\ label {hyperbolicpitagthm}\ tag {3.6.8}
\ end {ecuación}

si$$T$$ es un triángulo hiperbólico.
3. El Teorema de Pitágoras Elípticas. Demostrar que

\ begin {ecuación}
\ cos (c) =\ cos (a)\ cos (b)\ label {elipticpitagthm}\ tag {3.6.9}
\ end {ecuación}

if$$T$$ es un triángulo elíptico.

Sugerencia: Utilizar una transformación para colocar$$C$$ en$$0$$ in$$\mathbb{D}$$ o$$\hat{\mathbb{C}}$$, con$$A$$ es real y$$B$$ puro imaginario. Usa la fórmula\ (d (p, q) =
\ ln ((1+u)/(1-u))\) con$$u=\left|\frac{q-p}{1-p^\ast q}\right|$$ para la distancia hiperbólica. Usa la fórmula\ (d (p, q) =
2\ arctan (u)\ text {,}\) con\ (u=\ izquierda|\ frac {q-p} {1+p^\ ast
q}\ derecha|\) para distancia elíptica. Las identidades de parte$$(a)$$ serán útiles.

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