2.3: Enteros Modulo n

Recordemos el hexágono 'accidentado', que tenía simetría rotacional pero no simetría de reflexión. El grupo de simetrías del hexágono accidentado se llama\(\mathbb{Z}_6\). In this section, we'll consider the general case, \(\mathbb{Z}_n\), which we can initially think of as the group of symmetries of a 'bumpy' \(n\)-sided polygon.

Hay muchas formas diferentes en las que\(\mathbb{Z}_n\) appears in mathematics; it's a very important group! We now describe a number of different ways in which it arises.

1. Bueno, primero tenemos el grupo de simetrías de los 'baches'\(n\)-sided polygon. By the exercise at the end of the last section, we know this is a group.
2. Para nuestra segunda definición, definiremos el 'resto por\(n\)' operation: for any integer \(a\), define \(a\%n\) to be the remainder of \(a\) when divided by \(n\). For example, \(5\%3=2\), because the remainder of \(5\) when divided by \(3\) is \(2\). (You should check that for any integer \(k\), \((kn)\%n=0\).) This operation is usually called 'modulus' or 'mod.' So \(12\%5\) is read 'twelve modulo 5' or 'twelve mod 5.' (And is equal, of course, to two!)

   Por lo general, no escribimos\(+_n\) for the addition. From now on, whenever you see an expression like \(4+3\), you will have to be mindful of the context! If we consider \(4\) and \(3\) as plain old integers, the answer is \(7\). If they are integers mod \(5\), then the answer is \(2\)!

3. La siguiente definición es realmente solo una manera fácil de pensar en la segunda definición. Imagina un planeta lejano donde el reloj tiene\(n\) hours on it instead of \(12\) (or \(24\)). Then, just as our hours 'wrap around' the circle beyond \(12\) o'clock, the hours wrap around at \(n\). Now if we imagine the clock is numbered \(0\) through \(n-1\) instead of \(1\) to \(n\), we have exactly the situation of \(\mathbb{Z}_n\).
4. Nuestra última definición identificará\(\mathbb{Z}_n\) with the \(n\)-th roots of unity, which are complex numbers. Recall that any complex number may be written as \(re^{i\theta}\), where \(r\) is a positive real number and \(\theta\) is any angle. Now let \(n\) and \(k\) be some positive integers, and consider the complex number \(x_k=e^{\frac{k}{n}2i\pi}\). Then we can see that \(x_k^n = (e^{\frac{k}{n}2i\pi})^n = e^{k2i\pi} = 1\). Then we call \(x_k\) an \(n\)th root of unity, because raising it to the \(n\)th power gives us \(1\) (aka, unity).

Todos estos son de alguna manera iguales; pero se plantea la cuestión de cómo demostrar formalmente que dos grupos son iguales. ¿Qué queremos decir con lo mismo? Esta es una cuestión importante a considerar, a la que volveremos más adelante. Por ahora, un ejercicio.

Escribir mesas para\(n=5\) and \(n=6\) for:

1. composición de las rotaciones de los 'baches'\(n\)-gon,
2. además en\(\mathbb{Z}_n\),
3. adición de horas en un reloj extraterrestre con\(n\) hours,
4. y para la multiplicación de la\(n\)-th roots of unity.

¿De qué manera todos estos grupos son iguales? ¿De qué maneras son diferentes?

Colaboradores y Atribuciones

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