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# 5.1: Grupos de cocientes

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Anteriormente vimos grupos de productos; ahora aprenderemos sobre los grupos de cocientes. La construcción es un poco más involucrada que la construcción de grupos de productos, así como la división de números naturales es un poco más complicada que la multiplicación...

Pensemos por un momento en cómo funcionan los cocientes de los números naturales, por el bien de construir una analogía imperfecta. Cuando escribimos$$\frac{n}{d}=q$$, we have a numerator, denominator, and a quotient. The quotient $$q$$ can be thought of as the number of times we can divide $$n$$ into groups of $$d$$ objects.

Al hacer un grupo cociente, entonces, nos gustaría comenzar con un grupo$$G$$, identify a subgroup $$H$$ (the divisor) and do something to get a group $$G/\mathord H=Q$$. Using our analogy of dividing natural numbers, we would like to divide the group $$G$$ into collections according to $$H$$. The notion of coset does this quite nicely, and in fact previously allowed us to see that the order of any subgroup $$H$$ divides the order of $$G$$.

##### Definición 5.0.0

El conjunto de coconjuntos de un subgrupo$$H$$ of $$G$$ is denoted $$G/\mathord H$$.

Entonces podemos tratar de tomar los cosets de$$H$$ as the underlying set of our would-be quotient group $$Q$$. The question is whether we can now identify a reasonable group operation on the set of cosets of $$H$$. The answer is 'sometimes!'

## Una mala elección de producto en Cosets

Supongamos que tenemos dos coconjuntos de$$H$$,$$aH$$ y$$bH$$. Nos gustaría definir una operación en los dos, así escribimos ingenuamente$$aH\cdot bH = abH$$, usando la operación de grupo en$$G$$ para multiplicar$$a$$ y$$b$$. Y de hecho, a veces esto funciona, pero muchas veces no lo hace. ¿Qué podría hacer que falle? Un problema surge porque el conjunto en el que estamos definiendo nuestro nuevo grupo de cocientes es el conjunto de cosets, y no es generalmente obvio qué elemento tomar como representante del coset; es decir, hay más de una manera de escribir un coset como$$gH$$, y diferentes opciones pueden conducir a diferentes responde cuando multiplicamos nuestros cosets.

He aquí un ejemplo.

Toma el grupo$$G=D_5$$, the symmetries of a pentagon generated by a flip $$f$$ and a rotation $$r$$. Let $$H$$ be the subgroup consisting of just the identity and the flip $$f$$. Then $$H=\{1, f\}$$. This subgroup has five different cosets; suppose we want to multiply the cosets $$C=\{ r, rf \}$$ and $$D=\{ r^3, r^3f \}$$. Notice that there are two different ways to write $$C$$ in the from $$gH$$: $$C=rH$$ and $$C=rfH$$. Each arises from a different choice of representative from $$H$$. The same is true for $$D$$: $$D=r^3H$$ and $$D=r^3fH$$. Depending on the choice of representatives, our rule for multiplying cosets then yields different answers. For example, $$rH \cdot r^3H = H$$, but $$rfH\cdot r^3H= rfr^3H = r^2fH\neq H$$.

Entonces vemos que es necesario un enfoque más matizado: en particular, ¡nuestra noción de producto no debería depender de una elección de representante de coset!

## Productos de Cosets

La idea inicial de un producto sobre cosets cayó porque estábamos multiplicando representantes de coset, en lugar de pensar en cómo multiplicar los cosets reales. ¡Así que intentemos definir un producto real de cosets!

Antes, vimos lo que podríamos llamar cosets izquierdos, de la forma$$aH = \{ah_1, ah_2, \ldots\}$$ where $$h_i$$ are all the elements of $$H$$. But we can easily imagine right cosets as well, $$Ha = \{h_1a, h_2a, \ldots\}$$, and even double cosets $$aHb=\{ah_1b, ah_2b, \ldots\}$$. More generally, we can define product of sets: if $$A=\{a_1, a_2, \ldots\}$$, then $$AH$$ is the set obtained by taking products of elements of $$A$$ and $$H$$ in every possible way: $$AH=\{ ah | a\in A, h\in H \}$$. We can use the product of sets to compute explicit products of cosets.

Proposición 5.0.2

Si$$H$$ is a subgroup of $$G$$, then $$HH=H$$.

Prueba 5.0.3

Desde$$H$$ is closed under the group operation, every element of $$HH$$ is in $$H$$. Furthermore, since $$1\in H$$, every element $$h$$ in $$H$$ appears in $$HH$$ (for example, as $$1h$$). Then $$HH=H$$.

Construimos estas definiciones para poder hablar de productos de cosets:$$(aH)(bH)$$. One fear of this approach is that taking a set-product like this may not give back a real left coset of $$H$$. In fact, sometimes it does and sometimes it doesn't!

Si$$G$$ is a commutative group, then right cosets and left cosets are the same thing: $$ah_i=h_ia$$ for every $$h_i$$, so $$aH=Ha$$. In this case, when examining products like $$(aH)(bH)$$, we have $$aHbH=abHH=abH$$. Then defining a product on cosets $$(aH)(bH)=abH$$ makes sense, and will end up giving a nice group structure. The identity is $$1H$$, associativity follows from the multiplication rule in $$G$$, and inverses are easy: $$gHg^{-1}H=H$$.

También debemos verificar que este producto no dependa de la elección del representante de coset. Supongamos$$aH=xH$$, and consider the product $$(aH)(bH)=aHHb=aHb$$. Then notice that $$(aH)(bH)=aHb=abH$$, and $$(xH)(bH)=xHb=(aH)b=abH$$. Thus, we have $$aH=bH$$.

## Subgrupos normales

Si miramos de cerca lo que acabamos de hacer, en realidad no necesitábamos$$G$$ ser conmutativos: todo lo que necesitábamos era$$aH=Ha$$ para cada uno$$a\in G$$. Por ejemplo, sabemos que esto es cierto para el núcleo de cualquier homomorfismo a partir de la proposición de la Sección 4.2.

##### Definición 5.0.4: Subgrupos normales

Un subgrupo$$H$$ of a group $$G$$ is called a normal subgroup if $$aH=Ha$$ for every $$a\in G$$.

Entonces ya hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 5.0.5

Let$$H$$ be a normal subgroup of $$G$$. Then $$G\mathord H$$ is a group.

También haremos explícita una observación anterior.

Proposición 5.0.6

Let$$G$$ be a commutative group. Then every subgroup $$H$$ of $$G$$ is a normal subgroup, and $$G/\mathord H$$ is a group.

Ya hemos notado que el núcleo de cualquier homomorfismo es un subgrupo normal. También podemos definir el mapa de cocientes$$\pi: G\rightarrow G/\mathord H$$, defined by $$\pi(a) = aH$$ for any $$a\in G$$. So long as the quotient is actually a group (ie, $$H$$ is a normal subgroup of $$G$$), then $$\pi$$ is a homomorphism. In fact, the kernel of $$\pi$$ is exactly $$H$$. So we observe:

Corolario 5.0.7

Un subgrupo de$$G$$ is normal if and only if it is the kernel of a homomorphism.

## Colaboradores y Atribuciones

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