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5.4: Clasificación de grupos finitos

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    Hemos visto que la teoría de grupos no puede distinguir entre grupos que son isomórficos. Entonces, ¡una pregunta natural es si podemos hacer una lista de todos los grupos!

    Podemos hacer nuevos grupos a partir de grupos antiguos usando el producto directo. Por lo que sería bueno enfocarse en grupos que no son productos directos. En el caso conmutativo, esto resulta bastante sencillo: un grupo conmutativo (finito) es un producto directo de subgrupos si y solo si tiene un subgrupo adecuado.

    Sin embargo, el caso no conmutativo es mucho más difícil. En realidad, hay algunas otras formas de construir nuevos grupos a partir de grupos antiguos; la más importante de estas otras formas es el producto semidirecto; aquí no describiremos cómo construir productos semidirectos, pero puedes leer sobre ellos en otra parte. Es importante destacar que uno puede 'deshacer' un producto semidirecto usando un cociente, de la misma manera se puede deshacer un producto directo. Para tener una idea de lo útil que es la construcción, el grupo simétrico\(S_n\) is the semi-direct product of \(A_n\) and \(\mathbb{Z}_2\). Also, the dihedral group \(D_n\) is a semi-direct product of \(\mathbb{Z}_n\) and \(\mathbb{Z}_2\).

    Una pregunta interesante, entonces, es '¿Qué grupos no tienen cocientes?' Hemos visto que podemos formar un grupo cociente siempre que haya un subgrupo normal.

    Definición 5.3.0: Grupos simples

    Un grupo es simple si no tiene subgrupos normales adecuados. (Un subgrupo apropiado es cualquier subgrupo de\(G\) that is not equal to \(G\) or \(\{1\}\), which are always normal subgroups.)

    Ahora clasificaremos todos los grupos finitos simples y discutiremos parte de la historia del caso no conmutativo.

    El caso conmutativo

    De hecho, podemos clasificar todos los grupos conmutativos finitos con bastante facilidad. Primero, recordemos que cada subgrupo de un grupo conmutativo es normal.

    Proposición 5.3.1

    Un grupo conmutativo finito es simple si y solo si tiene orden primo\(p\). In this case, it is isomorphic to the cyclic group, \(\mathbb{Z}_p\).

     
    Prueba 5.3.2

    Si un grupo conmutativo finito tiene orden primo entonces no tiene subgrupos propios, según el teorema de Lagrange. Entonces debe ser sencillo.

    Para la otra dirección, asumimos\(G\) is a finite commutative simple group. \(G\) must be cyclic, or else we could form a proper subgroup by taking powers of a generator. So \(G\sim \mathbb{Z}_n\) for some \(n\). But if \(n\) is not prime we can find a subgroup using a proper divisor of \(n\). Then \(G\sim \mathbb{Z}_p\) for some prime \(p\).

     
    Teorema 5.3.3

    Cada grupo conmutativo finito es un producto directo de grupos cíclicos de orden primo.

     
    Prueba 5.3.4

    Let\(A\) be a commutative group with \(n\) elements. Take any element \(x\) not equal to the identity in \(A\); we know that there is some minimal integer \(m\) for which \(x^m=1\). Then \(A\) has a subgroup of order \(m\) generated by \(x\), isomorphic to \(\mathbb{Z}_m\). As a result, we have \(A\sim A_1 \otimes \mathbb{Z}_m\), where \(A_1\) is the quotient \(A/ \mathord \mathbb{Z}_m\).

    Podemos repetir ese procedimiento indefinidamente (tomando\(x\) in \(A_1\) and writing \(A_1\) as a product, and so on), until we obtain a decomposition \(A=\mathbb{Z}_{m_1}\otimes \mathbb{Z}_{m_k}\), a product of cyclic groups.

    Entonces podemos usar el mismo truco para descomponer cada\(\mathbb{Z}_m\) into a direct product of cyclic groups of prime order, completing the proof.

     

    Uno puede extender este truco a algunos grupos infinitos: aquellos que tienen un número finito de generadores. (Tales grupos, como era de sorprender, se llaman finitamente generados). Esto da lugar al teorema Fundamental de los grupos conmutativos finitamente generados.

    Supongamos\(A\) is a finitely generated commutative group with infinite cardinality. Show that \(A\sim \mathbb{Z} \otimes A'\), where \(A'\) is a finitely-generated commutative group.

    El caso no conmutativo

    Uno de los principales proyectos de la investigación matemática del siglo XX fue clasificar todos los grupos finitos simples; el proyecto tomó cincuenta años, y se estima que la prueba de la clasificación abarcará 10,000 páginas escritas por más de 100 autores. Actualmente hay un esfuerzo en marcha para simplificar la prueba, sin embargo.

    La clasificación muestra que todos los grupos simples finitos son de uno de cuatro tipos:

    1. Grupos conmutativos de primer orden,
    2. Grupos alternos\(A_n\) with \(n\geq 5\),
    3. Grupos de tipo Lie,
    4. Los 26 grupos esporádicos.

    Ya hemos visto los dos primeros tipos de grupo simple. Resulta que la 'mayoría' de los grupos simples finitos están en la tercera clase, grupos de tipo Lie, que están mucho más allá del alcance de estas notas para construir. Básicamente, sin embargo, los grupos de tipo Lie son ciertos grupos de matrices con entradas de un campo finito, que son los que veremos en el siguiente capítulo. ¡Los grupos 'esporádicos' son solo aquellos grupos que no encajan en ninguna de las otras tres clases!

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