8.1: El problema de la división
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Consideremos el problema de la división. Para llegar a una noción de división en anillos generales, recapitulemos lo que sabemos sobre la división para sistemas numéricos familiares.
Para los números\(x, y\), decimos que\(y\) divide\(x\) si existe un número\(z\) tal que\(\frac{x}{y}=z\) si\(x=zy\). Llamamos\(z\) al cociente de\(x\) por\(y\).
Podemos intentar descargar el problema de la división a un problema de encontrar inversos multiplicativos. Si\(y\) tiene un inverso multiplicativo, entonces la división por\(y\) es fácil: podemos establecer\(z=xy^{-1}\), así que eso\(zy=xy^{-1}y=x\). Si cada elemento que no sea\(0\) tiene una inversa multiplicativa, entonces\(R\) se llama campo. Ya deberías conocer tres ejemplos de campos:\(\mathbb{Z}, \mathbb{R}\), y\(\mathbb{C}\). Parte de la razón de la importancia de los campos es que la mayoría de los hechos básicos en álgebra lineal funcionan para cualquier campo.
Un campo\(F\) es un anillo conmutativo en el que cada elemento que no sea\(0\) tiene una inversa multiplicativa.
Como el campo ya debe ser un anillo conmutativo, asociativo con unidad, ¡vemos que el conjunto\(F\setminus \{0\}\) es un grupo! Entonces otra forma de definir un campo es como un anillo que es un grupo conmutativo en adición, y donde\(F\setminus \{0\}\) es un grupo conmutativo también.
Por ejemplo, ya hemos visto al grupo\(\mathbb{Q}^{\times}\), que es solo\(\mathbb{Q}\) con el\(0\) eliminado. Dado que este es un grupo conmutativo,\(\mathbb{Q}\) es un campo.
Todo esto funciona bien en\(\mathbb{R}\),\(\mathbb{Q}\) y\(\mathbb{C}\): en estos anillos, para cada\(x\) y\(y\), podemos encontrar un número único\(z\) tal que\(zy=x\). En otros anillos, sin embargo, las cosas pueden salir mal de varias maneras diferentes.
- El primer problema que podría surgir es que no\(y\) tiene inversa multiplicativa. Por ejemplo, en\(\mathbb{Z}_6\), no hay número\(z\) tal que\(2\cdot z=1\). De igual manera, casi ningún elemento de\(\mathbb{Z}\) tiene un inverso multiplicativo.
- Podría ser que para un dado\(x\) y\(y\), no hay cociente\(z=\frac{x}{y}\). Un ejemplo de esto ocurre en\(\mathbb{Z}\), donde (por ejemplo) no hay número\(\frac{2}{3}\).
- Podría suceder que el cociente\(z\) exista pero no sea único. Por ejemplo, considere el anillo del producto\(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\). Dejar\(x=(4,0)\) y\(y=(2,0)\). Entonces para cualquier entero\(k\),\((2,k)\cdot y = x\).
- También hay un problema si el anillo no\(R\) es conmutativo. Podría ocurrir eso\(yz=x\) pero\(zy\neq x\). ¿De qué 'lado'\(x\) está pasando nuestra división?
Veremos que las diferentes formas de resolver estas preguntas dan lugar a definiciones de diferentes tipos de anillos.
Divisores cero
Primero consideraremos la cuestión de las inversas multiplicativas. Para un inicio, en cualquier anillo distinto de cero,\(0\) no tiene un inverso multiplicativo: Para cualquiera\(x\) tenemos tenemos\(x\cdot 0=0\), así que no puede ser el caso que\(x\cdot 0=1\). Esta situación es familiar por trabajar con los números racionales y reales. Pero puede haber otros elementos sin un inverso multiplicativo.
Por ejemplo, considere\(\mathbb{Z}_6\). Los elementos\(1\) y\(5\) tienen inversos multiplicativos:\(1\cdot 1=1\) y\(5\cdot 5=1\). ¡Pero ninguno de los otros elementos tiene un inverso multiplicativo! Por ejemplo, si\(2\) multiplicamos por cada elemento de\(\mathbb{Z}_6\), obtenemos la lista\([0,2,0,2,0,2]\). Ya que\(1\) no está en la lista, no\(2\) tiene inversa multiplicativa. Algo interesante está sucediendo en esa lista de múltiplos de\(2\), aunque: ¡hay muchos ceros!
Definición 8.0.3
Vamos\(x\in R\). Entonces\(x\) es un divisor cero si existe\(y\) tal que\(x\cdot y=0\).
Tenemos el siguiente resultado inmediato.
| Proposición 8.0.5 |
|---|
| Porque\(x\in R\),\(x\) no puede ser tanto invertible como un divisor cero. |
| Prueba 8.0.6 |
|---|
| Supongamos que\(x\) es invertible y un divisor cero, y vamos\(y\neq 0\) con\(xy=0\). Entonces\(y=(x^{-1}x)y=x^{-1}(xy)=x^{-1}0=0\), una contradicción. |
Como resultado, la presencia de divisores cero significa que hay elementos no invertibles en el ring, y así pone en peligro nuestro proyecto de división. Además, los divisores cero también contribuyen a la no singularidad de la división: si\(ry=0\) y\(x=zy\), entonces también tenemos\(x=(z+r)y\), para que ambos\(z\) y\(z+r\) puedan ser considerados como soluciones a\(\frac{x}{y}\).
Para dar un ejemplo concreto de este fenómeno, considere nuevamente\(\mathbb{Z}_6\). ¿Cuál es el cociente\(\frac{4}{2}\)? Obviamente,\(2\) es una respuesta, ya que\(2\cdot 2=4\). Pero también tenemos\(2\cdot 5=4\), así que también podríamos escribir con la\(\frac{4}{2}=5\) misma facilidad. Observe eso\((2+3)\cdot 2=4+0=4\); este es exactamente el caso descrito anteriormente.
Curiosamente, para los elementos que no son invertibles ni divisores cero, todavía tenemos una ley de cancelación:
| Corolario 8.0.7 |
|---|
| Supongamos que no\(r\neq 0\) es un divisor cero y\(rx=ry\). Entonces\(x=y\). |
| Prueba 8.0.8 |
|---|
| Tenemos\(rx-ry=r(x-y)=0\). Entonces como no\(r\) es un divisor cero, debemos tener\(x-y=0\), así que eso\(x=y\). |
Se puede usar este resultado directamente para probar lo siguiente:
| Corolario 8.0.9 |
|---|
| Si no\(r\) es un divisor cero, entonces el cociente\(\frac{x}{r}\) es único si existe. |
Entonces vemos que la presencia de divisores cero es un impedimento importante para hacer división en anillos. ¡Entonces será agradable trabajar con anillos sin divisores cero!
Un anillo conmutativo sin divisores cero se denomina dominio integral.
Cada campo es un dominio integral, ya que cada elemento distinto de cero de un campo es invertible. El ejemplo principal de un dominio integral que no es un campo son los enteros: No hay enteros distintos de cero donde\(xy=0\), pero la mayoría de los enteros no tienen inversos multiplicativos, por lo que no\(\mathbb{Z}\) es un campo.
Entonces parece que tenemos una respuesta al problema de la división para anillos conmutativos:
- El mejor de los casos es cuando cada elemento tiene una inversa. Dichos anillos se llaman anillos de división, o (si el anillo también es conmutativo) campos.
- El siguiente mejor caso es cuando no hay cero divisores. Estos son los dominios integrales.
En las dos secciones siguientes, veremos dos formas diferentes de 'resolver' un problema de división en un dominio integral. La primera forma es introducir fracciones, que nos permitan encontrar inversas para cualquier elemento del anillo. El segundo -disponible sólo en algunos anillos- nos permite hacer división con un resto.