9.1: Un retorno al álgebra lineal

Ahora hemos visto numerosos ejemplos de estructuras algebraicas, que podemos pensar como conjuntos con algunas operaciones que satisfacen algunos axiomas. Aquí hay una lista parcial:

1. Grupos,
2. Grupos conmutativos,
3. Acciones grupales,
4. Anillos,
5. Anillos conmutativos,
6. Dominios integrales,
7. Campos,
8. y otros...

En este capítulo, examinaremos los espacios vectoriales como estructuras algebraicas. Los espacios vectoriales son enormemente importantes porque se trata de estructuras algebraicas donde están disponibles las herramientas de álgebra lineal. El álgebra lineal es, en cierto modo, la rama de las matemáticas que mejor se desarrolla: cuando un problema en la ciencia se convierte en un problema de álgebra lineal, tenemos bastante buenas posibilidades de poder resolverlo. Es por ello que, por ejemplo, es tan importante la técnica de linealización que surge en ecuaciones diferenciales y modelado.

De hecho, ver los espacios vectoriales como estructuras algebraicas hace dos cosas por nosotros.

1. Este punto de vista nos ayuda a identificar más situaciones como situaciones de álgebra lineal, lo que nos permite utilizar nuestras herramientas de álgebra lineal en un conjunto más amplio de circunstancias, y
2. La abstracción nos permite identificar mejor con precisión qué herramientas estamos utilizando cuando probamos declaraciones en álgebra lineal, para que podamos identificar exactamente en qué situaciones son aplicables esas herramientas. Al igual que con los anillos, hay más de un tipo de espacio vectorial, y algunos espacios vectoriales son más 'amigables' que otros.

Entonces veamos la definición.

Definición 9.0.0: propiedades del espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto\(V\) y un campo\(k\) con dos operaciones, suma\(+:V\times V \rightarrow V\) y multiplicación escalar\(\cdot: k\times V\rightarrow V\), satisfaciendo los siguientes axiomas.

1. \(V\)bajo adición es un grupo conmutativo.
2. (Distributividad I) Para cualquier\(c\in k\) y\(v, w\in V\), tenemos\(c(v+w)=cv+cw\).
3. (Distributividad II) Para cualquier\(c, d\in k\) y\(v\in V\), tenemos\((c+d)v=cv+dv\).
4. (Asociatividad) Para cualquier\(c, d\in k\) y\(v\in V\), tenemos\((cd)v=c(dv)\).

Los elementos del conjunto\(V\) se denominan vectores.

(Como un aparte: También hay otra manera de pensar en los espacios vectoriales. Para cualquier anillo\(R\), existe un concepto de \(R\)-módulo que es similar a una acción de grupo: un módulo es un conjunto con una acción de anillo. Es decir, un anillo empujando alrededor de objetos en el set de una manera que sea compatible con ambas operaciones del anillo. Desde este punto de vista, un espacio vectorial es solo un\(k\) -módulo, donde el conjunto subyacente es un grupo conmutativo en sí mismo. Como resultado,\(R\) -modules es una generalización de espacios vectoriales.)

Como es tradicional, enumeramos algunos ejemplos. Tenga en cuenta que el espacio vectorial es un conjunto y un campo: normalmente, la elección del campo se deriva del contexto, pero seremos específicos si el contexto no es obvio. A menudo, decimos que '\(V\)es un espacio vectorial sobre\(k\)' para significar que\(V\) es el grupo conmutativo y\(k\) es el campo.

1. \(\mathbb{k}^n\)es el espacio vectorial cuyo conjunto subyacente son listas de\(n\) elementos de\(k\), con adición por coordinación y\(k\) actuando por multiplicación escalar. Esto da lugar a los espacios familiares\(\mathbb{R}^n\) y\(\mathbb{C}^n\). Pero ahora también sabemos de campos finitos:\(\mathbb{Z}_p^n\) donde\(p\) es primo también es un espacio vectorial.
2. El conjunto de polinomios\(k[x]\) en una sola variable es un espacio vectorial sobre\(k\).
3. Dejar\(M_{n,m}(k)\) denotar el conjunto de\(n\times m\) matrices con entradas en\(k\). Entonces\(M_{n,m}(k)\) es un espacio vectorial sobre\(k\).
4. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre\(k\). Establecer\(V*\) para ser el conjunto de funciones de\(V\) a\(k\). (Esto se llama el dual de\(V\).) La adición de funciones viene dada por\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\), y la multiplicación escalar viene dada por\((cf)(x)=c\cdot f(x)\).

Ejercicio 9.0.1

1. Para cada uno de los ejemplos anteriores de espacios vectoriales, escriba algunos elementos de ejemplo y dé ejemplos de suma y multiplicación escalar en ese espacio vectorial.
2. Demostrar que cada uno de estos ejemplos es un espacio vectorial.

Algunos tipos de espacios vectoriales solo tienen sentido con ciertos campos. He aquí un ejemplo en forma de ejercicio.

Ejercicio 9.0.2

Mostrar que el conjunto de funciones continuas de\(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) es un espacio vectorial sobre\(\mathbb{R}\). (Asegúrese de identificar explícitamente cuáles son las operaciones de suma y multiplicación escalar).

¿Qué condición extra necesitaríamos para un espacio\(V\) vectorial para que la noción de funciones continuas\(V\rightarrow k\) tenga sentido?\(k\)

Colaboradores y Atribuciones

Template:ContribDenton