9.2: Independencia lineal

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Uno de los conceptos centrales en álgebra lineal es la independencia lineal, y este concepto se traduce en espacios vectoriales generales sin dificultad.

Definición 9.1.0

Dejar\(S\) ser un conjunto con elementos\(s_i\). Una combinación lineal de elementos\(\{s_1, s_2, \ldots, s_n\}\) viene dada por cualquier suma finita\(\sum_{s\in S}c_s s\) con coeficientes\(c_s\in k\). (Si\(S\) es un conjunto infinito, entonces todos menos finitamente muchos\(c_s\) deben ser iguales a\(0\).)

Definición 9.1.1

Dejar\(S\) ser un conjunto de vectores en un espacio vectorial\(V\). Entonces decimos que\(S\) es linealmente dependiente si existe una combinación lineal de elementos de\(S\) igual a\(0\).

Ejemplo

Dejado\(\mathbb{R}^\infty\) ser el espacio vectorial de secuencias de elementos de\(\mathbb{R}\). (es decir, el espacio de secuencias\(r=(r_1,r_2, r_3, \ldots)\), con adición por coordinación y la multiplicación escalar habitual). \(r_i\in \mathbb{R}^\infty\)Sea la secuencia con\((e_i)_i=1\) y\((e_i)_j=0\) para todos\(j\neq i\). \(n\)Déjese ser el elemento\((-1, -1, -1, \ldots)\). Ahora, dejemos\(S\) ser el conjunto de todos los\(e_i\) y\(n\). Este es en realidad un conjunto linealmente independiente. Podría notar que la suma de todos los elementos en\(S\) (con todos los coeficientes en la suma igual a\(1\)) parece ser el\(0\) -vector. Pero esta es una suma infinita, y por lo tanto no se considera una combinación lineal de elementos de\(S\).

Colaboradores y Atribuciones

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