4.1: Grupos cíclicos

Recordemos que si\(G\) es un grupo y\(g\in G\), entonces el subgrupo cíclico generado por \(g\)viene dado por\[\langle g\rangle =\{g^k\mid k\in\mathbb{Z}\}.\] Es importante señalar que\(\langle g\rangle\) puede ser finito o infinito. En el caso finito, el diagrama Cayley con generador nos\(g\) da una buena indicación de dónde viene la palabra “cíclico” (ver Problema\(\PageIndex{11}\)). Si existe\(g\in G\) tal que\(G=\langle g\rangle\), entonces decimos que\(G\) es un grupo cíclico.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Enumere todos los elementos en cada uno de los siguientes subgrupos cíclicos.

1. \(\langle r\rangle\), donde\(r\in D_3\)
2. \(\langle r\rangle\), donde\(r\in R_4\)
3. \(\langle rs\rangle\), donde\(rs\in D_4\)
4. \(\langle r^2\rangle\), donde\(r^2\in R_6\)
5. \(\langle i\rangle\), donde\(i\in Q_8\)
6. \(\langle 6\rangle\), donde\(6\in \mathbb{Z}\) y la operación es suma ordinaria

Problema\(\PageIndex{2}\): Subgroup Generated by Matrix

Considerar el grupo de\(2\times 2\) matrices invertibles con entradas de número real bajo la operación de multiplicación matricial. Este grupo se denota por\(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\). Enumere los elementos en los subgrupos cíclicos generados por cada una de las siguientes matrices.

1. \(\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\)
2. \(\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\)
3. \(\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\)

Problema\(\PageIndex{3}\): Cyclic or Not

Determinar si cada uno de los siguientes grupos es cíclico. Si el grupo es cíclico, encuentra al menos un generador.

1. \(S_2\)
2. \(R_3\)
3. \(R_4\)
4. \(V_4\)
5. \(R_5\)
6. \(R_6\)
7. \(D_3\)
8. \(R_7\)
9. \(R_8\)
10. \(\text{Spin}_{1\times 2}\)
11. \(D_4\)
12. \(Q_8\)

Problema\(\PageIndex{4}\)

Determinar si cada uno de los siguientes grupos es cíclico. Si el grupo es cíclico, encuentra al menos un generador. Si crees que un grupo no es cíclico, trata de bosquejar un argumento.

1. \((\mathbb{Z},+)\)
2. \((\mathbb{R},+)\)
3. \((\mathbb{R}^+,\cdot)\)
4. \((\{6^n\mid n\in\mathbb{Z}\},\cdot)\)
5. \(\textrm{GL}_2(\mathbb{R})\)bajo multiplicación matricial
6. \(\{(\cos(\pi/4) +i\sin(\pi/4))^n\mid n\in \mathbb{Z}\}\)bajo multiplicación de números complejos

Teorema\(\PageIndex{1}\): Cyclic Implies Abelian

Si\(G\) es un grupo cíclico, entonces\(G\) es abeliano.

Problema\(\PageIndex{5}\): Abelian Does Not Imply Cyclic

Proporcionar un ejemplo de un grupo finito que es abeliano pero no cíclico.

Problema\(\PageIndex{6}\)

Proporcionar un ejemplo de un grupo infinito que es abeliano pero no cíclico.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Subgroup Generatred by Inverse

Si\(G\) es un grupo y\(g\in G\), entonces\(\langle g\rangle=\langle g^{-1}\rangle\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(G\) es un grupo cíclico tal que\(G\) tiene exactamente un elemento que genera todos\(G\), entonces el orden de\(G\) es como máximo el orden 2.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(G\) es un grupo tal que no\(G\) tiene subgrupos no triviales adecuados, entonces\(G\) es cíclico.

Recordemos que el orden de un grupo\(G\), denotado\(|G|\), es el número de elementos en\(G\). Definimos el orden de un elemento\(g\), escrito\(|g|\), para que sea el orden de\(\langle g\rangle\). Es decir,\(|g|=|\langle g\rangle|\). Está claro que\(G\) es cíclico con generador\(g\) si y solo si\(|G|=|g|\).

Problema\(\PageIndex{7}\)

¿Cuál es el orden de la identidad en cualquier grupo?

Problema\(\PageIndex{8}\): Computing Orders

Encuentra los órdenes de cada uno de los elementos en cada uno de los grupos en Problema\(\PageIndex{3}\).

Problema\(\PageIndex{9}\)

Considera al grupo\((\mathbb{Z},+)\). ¿Cuál es el orden de 1? ¿Hay algún elemento en\(\mathbb{Z}\) orden finito?

Problema\(\PageIndex{10}\)

Encuentra el orden de cada una de las matrices en Problema\(\PageIndex{2}\).

El siguiente resultado sigue inmediatamente del Teorema\(\PageIndex{2}\).

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Si\(G\) es un grupo y\(g\in G\), entonces\(|g|=|g^{-1}|\).

El siguiente resultado debería parecer familiar y será útil algunas veces en este capítulo. Daremos por sentado el resultado y no nos preocuparemos por probarlo.

Teorema\(\PageIndex{6}\): Division Algorithm

Si\(n\) es un entero positivo y\(m\) es cualquier entero, entonces existen enteros únicos\(q\) (llamados el cociente) y\(r\) (llamado el resto) tal que\(m=nq+r\), donde \(0\leq r<n\).

Teorema\(\PageIndex{7}\): Finite Group Finite Exponent

Supongamos que\(G\) es un grupo y vamos\(g\in G\). El subgrupo\(\langle g\rangle\) es finito si y sólo si existe\(n\in\mathbb{N}\) tal que\(g^n=e\). *

*

Para la implicación hacia adelante, si\(\langle g\rangle\) es finita, entonces existe distintos enteros positivos\(i\) y\(j\) tales que\(g^i=g^j\). ¿Puedes encontrar una manera útil de reescribir esta ecuación? Para la implicación inversa, deje\(m\in\mathbb{Z}\) y use el Algoritmo de División con\(m\) y\(n\).

Corolario\(\PageIndex{1}\): Finite Group Finite Exponents

Si\(G\) es un grupo finito, entonces para todos\(g\in G\), existe\(n\in\mathbb{N}\) tal que\(g^n=e\).

Teorema\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo y dejar que\(g\in G\) tal que\(\langle g\rangle\) sea un grupo finito. Si\(n\) es el entero positivo más pequeño tal que\(g^n=e\), entonces\(\langle g\rangle = \{e, g, g^2, \ldots, g^{n-1}\}\) y este conjunto contiene elementos\(n\) distintos. *

*

Obsérvese que el Teorema\(\PageIndex{7}\) junto con el Principio Bien Ordenado garantiza la existencia de un entero positivo más pequeño\(n\) tal que\(g^n=e\). La afirmación de que el conjunto contiene elementos\(n\) distintos no es inmediata. Hay que argumentar que no hay repeticiones en la lista. Escoge distinto\(i,j\in\{0,1,\ldots,n-1\}\) tal que\(i\neq j\) y luego demuéstralo\(g^i\neq g^j\). Considerar una prueba por contradicción y tratar de contradecir la minimalidad de\(n\).

El siguiente resultado proporciona una interpretación sumamente útil del orden de un elemento.

Corolario\(\PageIndex{2}\): Order Smallest Exponent

Si\(G\) es un grupo y\(g\in G\) tal que\(\langle g\rangle\) es un grupo finito, entonces el orden de\(g\) es el entero positivo más pequeño\(n\) tal que\(g^n=e\).

Problema\(\PageIndex{11}\): Cayley Cyclic

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico finito tal que\(G=\langle g\rangle\). Usando el grupo electrógeno\(\{g\}\), ¿qué\(G\) aspecto tiene el diagrama de Cayley?

Problema\(\PageIndex{12}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico finito de orden\(n\) con generador\(g\). Si escribimos la tabla de grupo para\(G\) usar\(e, g, g^2, \ldots, g^{n-1}\) como etiquetas para las filas y columnas, ¿hay algún patrón interesante en la tabla?

Problema\(\PageIndex{13}\): Finite Positive Exponent

Observe que en la definición de\(\langle g\rangle\), permitimos que los exponentes en\(g\) sean negativos. Explicar por qué solo necesitamos usar exponentes positivos cuando\(\langle g\rangle\) es un grupo finito

El algoritmo de división debería ser útil a la hora de probar el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{9}\): Criterion on Powers

Supongamos que\(G\) es un grupo y dejar que\(g\in G\) tal eso\(|g|=n\). Entonces\(g^i=g^j\) si y sólo si\(n\) divide\(i-j\).

Corolario\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo y dejar que\(g\in G\) tal eso\(|g|=n\). Si\(g^k=e\), entonces\(n\) divide\(k\).

Recordemos que para\(n\geq3\),\(R_n\) es el grupo de simetrías rotacionales de un\(n\) -gon regular, donde la operación es composición de acciones.

Teorema\(\PageIndex{10}\)

Para todos\(n\geq 3\),\(R_n\) es cíclico.

Teorema\(\PageIndex{11}\): Finite Cyclic Groups

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico finito de orden\(n\). Entonces\(G\) es isomórfico a\(R_n\) si\(n\geq 3\),\(S_2\) si\(n=2\), y el grupo trivial si\(n=1\).

La mayoría de los resultados previos han involucrado grupos cíclicos finitos. ¿Y los grupos cíclicos infinitos?

Teorema\(\PageIndex{12}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo y vamos\(g\in G\). El subgrupo\(\langle g\rangle\) es infinito si y sólo si cada uno\(g^k\) es distinto para todos\(k\in\mathbb{Z}\). *

*

Para la implicación hacia adelante, intente una prueba por contradicción y supongamos que existe enteros\(i\) y\(j\) tal que\(g^i=g^j\).

Teorema\(\PageIndex{13}\): Infinite Cyclic Groups

Si\(G\) es un grupo cíclico infinito, entonces\(G\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}\) (bajo la operación de adición).

El resultado de los teoremas\(\PageIndex{13}\) y\(\PageIndex{11}\) es que hasta el isomorfismo, sabemos exactamente cuáles son todos los grupos cíclicos.

Ahora dirigimos nuestra atención a dos nuevos grupos. Recordemos que dos enteros son relativamente primos si el único entero positivo que divide a ambos es 1. Es decir, enteros\(n\) y\(k\) son relativamente primos si y solo si\(\gcd(n,k)=1\).

Definición:\(n\in\mathbb{N}\)

Dejar\(n\in\mathbb{N}\) y definir los siguientes conjuntos.

1. \(\mathbb{Z}_n:=\{0,1,\ldots,n-1\}\)
2. \(U_n:=\{k\in\mathbb{Z}_n\mid \gcd(n,k)=1\}\)

Por ejemplo,\(\mathbb{Z}_{12}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\) mientras\(U_{12}=\{1,5,7,11\}\) que desde 1, 5, 7 y 11 son los únicos elementos en\(\mathbb{Z}_{12}\) que son relativamente primos a 12.

Para cada conjunto en Definición:\(n\in\mathbb{N}\), el objetivo inmediato es determinar una operación binaria que dará lugar a un grupo. La clave es utilizar la aritmética modular. Dejar\(n\) ser un entero positivo. Para calcular la suma (respectivamente, producto) de dos enteros módulo\(n\) (decimos “mod\(n\)" para abreviar), sumar (respectivamente, multiplicar) los dos números y luego encontrar el resto después de dividir la suma (respectivamente, producto) por\(n\). Por ejemplo,\(4+9\) es\(3\) mod\(5\) ya que\(13\) tiene resto 3 cuando se divide por 5. De igual manera,\(4\cdot 9\) es 1 mod\(5\) ya que 36 tiene resto 1 cuando se divide por 5. La esperanza es que estas dos operaciones se conviertan\(\mathbb{Z}_n\) y\(U_n\) se conviertan en grupos.

Escribimos\(i\equiv j\pmod n\), y decimos “\(i\)es equivalente a\(j\) módulo\(n\)" o “\(i\)es igual a\(j\) módulo\(n\) “, si\(i\) y\(j\) ambos tienen el mismo resto cuando se divide por\(n\). Es común abreviar “módulo” como “mod”. También es común escribir\(i\equiv_n j\), o incluso\(i=j\) si el contexto es perfectamente claro.

Es bien conocido, y no demasiado difícil de probar, que\(\equiv_n\) es una relación de equivalencia sobre\(\mathbb{Z}\). Las clases de equivalencia correspondientes se denominan clases de congruencia. Los elementos de una sola clase de congruencia son los enteros que todos tienen el mismo resto cuando se dividen por\(n\). De acuerdo con el Algoritmo de División, existen clases de\(n\) congruencia módulo\(n\), una para cada uno de los restos\(0,1,\ldots, n-1\). Podemos pensar en el\(\mathbb{Z}_n\) conjunto de representantes canónicos de estas clases de equivalencia.

Teorema\(\PageIndex{14}\): Mod Divisibility

Dejar\(n\) ser un entero positivo y dejar\(i,j\in\mathbb{Z}\). Entonces\(i\equiv j\pmod n\) si y sólo si\(n\) divide\(i-j\).

El siguiente resultado sigue inmediatamente de Teoremas\(\PageIndex{14}\) y\(\PageIndex{9}\).

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo y dejar que\(g\in G\) tal eso\(|g|=n\). Entonces\(g^i=g^j\) si y sólo si\(i\equiv j\pmod n\).

Teorema\(\PageIndex{15}\)

El conjunto\(\mathbb{Z}_n\) es un grupo cíclico bajo adición mod\(n\). *

*

Aquí hay dos cosas que probar. Primero, hay que demostrar que\(\mathbb{Z}_n\) es un grupo bajo mod de adición\(n\), y luego hay que argumentar que el grupo es cíclico.

Teorema\(\PageIndex{16}\)

El conjunto\(U_n\) es un grupo abeliano bajo multiplicación mod\(n\).

*

Al igual que el teorema anterior, hay dos cosas por probar. Primero, demostrar que\(U_n\) es un grupo bajo multiplicación mod\(n\), y luego argumentar que el grupo es abeliano.

Problema\(\PageIndex{14}\)

Considerar\(\mathbb{Z}_4\).

1. Encuentra la mesa de grupo para\(\mathbb{Z}_4\).
2. ¿Es\(\mathbb{Z}_4\) cíclico? Si es así, enumere los elementos de\(\mathbb{Z}_4\) que generen individualmente\(\mathbb{Z}_4\). Si no\(\mathbb{Z}_4\) es cíclico, explique por qué.
3. ¿Es\(\mathbb{Z}_4\) isomórfico a cualquiera de\(R_4\) o\(V_4\)? Justifica tu respuesta.
4. Dibuja la celosía del subgrupo para\(\mathbb{Z}_4\).

Los dos siguientes problemas ilustran que\(U_n\) pueden o no ser cíclicos.

Problema\(\PageIndex{15}\): \(U_{10}\)

Considerar\(U_{10}=\{1,3,7,9\}\).

1. Encuentra la mesa de grupo para\(U_{10}\).
2. ¿Es\(U_{10}\) cíclico? Si es así, enumere los elementos de\(U_{10}\) que generen individualmente\(U_{10}\). Si no\(U_{10}\) es cíclico, explique por qué.
3. ¿Es\(U_{10}\) isomórfico a cualquiera de\(R_4\) o\(V_4\)? Justifica tu respuesta.
4. ¿Es\(U_{10}\) isomórfico a\(\mathbb{Z}_4\)? Justifica tu respuesta.
5. Dibuja la celosía del subgrupo para\(U_{10}\).

Problema\(\PageIndex{16}\): \(U_{12}\)

Considerar\(U_{12}=\{1,5,7,11\}\).

1. Encuentra la mesa de grupo para\(U_{12}\).
2. ¿Es\(U_{12}\) cíclico? Si es así, enumere los elementos de\(U_{12}\) que generen individualmente\(U_{12}\). Si no\(U_{12}\) es cíclico, explique por qué.
3. ¿Es\(U_{12}\) isomórfico a cualquiera de\(R_4\) o\(V_4\)? Justifica tu respuesta.
4. Dibuja la celosía del subgrupo para\(U_{12}\).

El resultado del siguiente teorema es que para\(n\geq 3\),\(\mathbb{Z}_n\) es solo el conjunto de exponentes en el conjunto\(R_n=\{e,r,r^2,\ldots,r^{n-1}\}\) (donde\(e=r^0\)).

Teorema\(\PageIndex{17}\): \(\mathbb{Z}_n\) Isomorphic to \(R_n\)

Para\(n\geq 3\),\(\mathbb{Z}_n\cong R_n\). Además,\(\mathbb{Z}_2\cong S_2\) y\(\mathbb{Z}_1\) es isomórfico al grupo trivial.

El siguiente resultado puede pensarse como un reempaquetado de Teoremas\(\PageIndex{11}\) y\(\PageIndex{13}\).

Teorema\(\PageIndex{18}\)

Dejar\(G\) ser un grupo cíclico. Si el orden de\(G\) es infinito, entonces\(G\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}\). Si\(G\) tiene orden finito\(n\), entonces\(G\) es isomórfico a\(\mathbb{Z}_n\).

Ahora que tenemos una descripción completa de los grupos cíclicos, enfoquemos nuestra atención en subgrupos de grupos cíclicos.

Teorema\(\PageIndex{19}\): Subgroups of Cyclic Groups

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico. Si\(H\leq G\), entonces también\(H\) es cíclico.

Resulta que para los subgrupos propios, lo contrario del Teorema no\(\PageIndex{19}\) es cierto.

Problema\(\PageIndex{17}\)

Proporcionar un ejemplo de un grupo\(G\) tal que no\(G\) sea cíclico, sino que todos los subgrupos propios de\(G\) son cíclicos.

El siguiente resultado resuelve oficialmente el Problema 3.1.11 (d) y también proporciona una descripción completa de los subgrupos de grupos cíclicos infinitos hasta el isomorfismo.

Corolario\(\PageIndex{5}\): Subgroups of \(\mathbb{Z}\)

Los subgrupos de\(\mathbb{Z}\) son precisamente los grupos\(n\mathbb{Z}\) para\(n\in \mathbb{Z}\).

Exploremos más a fondo los grupos cíclicos finitos.

Teorema\(\PageIndex{20}\): Order of Power

Si\(G\) es un grupo cíclico finito con generador\(g\) tal que\(|G|=n\), entonces para todos\(m\in\mathbb{Z}\),\(\displaystyle |g^m|=\dfrac{n}{\gcd(n,m)}\). *

*

Por Corolario\(\PageIndex{2}\), el orden de\(g^m\) es el exponente positivo más pequeño\(k\) tal que\((g^m)^k=e\). Primero, verificar que\(k=\dfrac{n}{\gcd(n,m)}\) tenga la propiedad deseada y luego verificar que sea el exponente más pequeño de este tipo.

Teorema\(\PageIndex{21}\): Subgroups gcd

Si\(G\) es un grupo cíclico finito con generador\(g\) tal que\(|G|=n\), entonces\(\langle g^m\rangle=\langle g^k\rangle\) si y solo si\(\gcd(m,n)=\gcd(k,n)\).*

*

Usar el Teorema\(\PageIndex{20}\) para la implicación hacia adelante. Para la implicación inversa, primero probarlo para todos\(m\in\mathbb{Z}\),\(\langle g^m\rangle=\langle g^{\gcd(m,n)}\rangle\) comprobando dos contenciones establecidas. Para mostrar\(\langle g^m\rangle\subseteq \langle g^{\gcd(m,n)}\rangle\), usa el hecho de que existe un entero\(q\) tal que\(m=q\cdot \gcd(m,n)\). Para la contención inversa, puede usar libremente un hecho conocido como Lema de Bezout, que establece que\(\gcd(m,n)=nx+my\) para algunos enteros\(x\) y\(y\). *

Problema\(\PageIndex{18}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico de orden 12 con generador\(g\).

1. Encuentra los pedidos de cada uno de los siguientes elementos:\(g^2\),\(g^7\),\(g^8\).
2. ¿Qué elementos de generar\(G\) individualmente\(G\)?

Corolario\(\PageIndex{6}\): Generator Relatively Prime

Supongamos que\(G\) es un grupo cíclico finito con generador\(g\) tal que\(|G|=n\). Entonces\(\langle g\rangle=\langle g^k\rangle\) si y sólo si\(n\) y\(k\) son relativamente primos. Es decir,\(g^k\) genera\(G\) si y sólo si\(n\) y\(k\) son relativamente primos.

Problema\(\PageIndex{19}\)

El teorema\(\PageIndex{20}\), el\(\PageIndex{21}\) teorema y el corolario\(\PageIndex{6}\) se escriben usando notación multiplicativa. Reescribe ambos resultados usando notación aditiva.

Problema\(\PageIndex{20}\)

Considerar\(\mathbb{Z}_{18}\).

1. Encuentra todos los elementos de\(\mathbb{Z}_{18}\) que individualmente generan todos\(\mathbb{Z}_{18}\).
2. Dibuja la celosía del subgrupo para\(\mathbb{Z}_{18}\). Para cada subgrupo, enumere los elementos del conjunto correspondiente. Además, circule los elementos en cada subgrupo que individualmente generan ese subgrupo. Por ejemplo,\(\langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16\}\). En este caso, debemos rodear 2, 4, 8, 10, 14 y 16 ya que cada uno de estos elementos genera individualmente\(\langle 2\rangle\) y ninguno de los elementos restantes lo hace. Te voy a dejar que descubras por qué esto es cierto.

Problema\(\PageIndex{21}\)

Repita el ejercicio anterior, pero esta vez use\(\mathbb{Z}_{12}\) en lugar de\(\mathbb{Z}_{18}\).

Corolario\(\PageIndex{7}\)

Si\(G\) es un grupo cíclico finito tal que\(|G|=p\), donde\(p\) es primo, entonces no\(G\) tiene subgrupos no triviales propios.

Problema\(\PageIndex{22}\)

Si hay exactamente un grupo hasta el isomorfismo del orden\(n\), entonces ¿a qué grupo son todos los grupos de orden\(n\) isomórficos?

Problema\(\PageIndex{23}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo y\(x,y\in G\) tal que\(|x|=m\) y\(|y|=n\). ¿Es cierto eso\(|xy|=mn\)? Si esto es cierto, proporcionar una prueba. Si esto no es cierto, entonces proporcione un contraejemplo.

El remate de los dos teoremas siguientes es Teorema\(\PageIndex{22}\).

Problema\(\PageIndex{24}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo abeliano finito y dejar que\(x,y\in G\) tal que\(|x|=m\) y\(|y|=n\). Si\(\gcd(m,n)=1\), entonces\(|xy|=mn\). *

*

Pista: Primero, verifica eso\((xy)^{mn}=e\). Ahora, supongamos\(|xy|=k\). ¿Qué sabes de inmediato sobre la relación entre\(k\) y\(mn\). A continuación, considere\((xy)^{kn}\). Argumentan que\(m\) divide\(kn\) y luego argumentan que\(m\) divide\(k\). De igual manera,\(n\) divide\(k\). En última instancia, concluya eso\(mn=k\).

Problema\(\PageIndex{25}\)

Supongamos que\(G\) es un grupo abeliano finito. Si\(n\) es el orden máximo entre todos los elementos en\(G\), entonces el orden de cada elemento en\(G\) divide\(n\).*

*

Pista: Supongamos\(g\in G\) tal que\(|g|=n\). Que\(h\) sea un elemento arbitrario en\(G\) tal que\(|h|=m\). Hay que mostrar que\(m\) divide\(n\). En aras de una contradicción, asumamos lo contrario. Entonces existe un primo\(p\) cuya multiplicidad como factor de\(m\) excede a la de\(n\). \(p^a\)Sea el poder más alto de\(p\) adentro\(m\) y\(p^b\) sea el poder más alto de\(p\) adentro\(n\), así\(a>b\). Considerar los elementos\(g^{p^a}\) y\(h^{m/p^b}\).

Recordemos que cada grupo cíclico es abeliano (ver Teorema\(\PageIndex{1}\)). Sin embargo, sabemos que no todos los grupos abelianos son cíclicos (ver Problema\(\PageIndex{5}\)). El siguiente teorema nos dice que los grupos abelianos con algunas propiedades adicionales son cíclicos.

Teorema\(\PageIndex{22}\): Special Abelian Implies Cyclic

Si\(G\) es un grupo abeliano finito con como máximo un subgrupo de cualquier orden, entonces\(G\) es cíclico.

*

Pista: Dejar\(n\) ser el orden máximo entre los elementos de\(G\) y dejar\(g\in G\) ser un elemento con orden\(n\). \(G=\langle g\rangle\)Demuéstralo.

Problema\(\PageIndex{26}\)

¿Es\(\PageIndex{22}\) cierto lo contrario del teorema para los grupos finitos? Es decir, si\(G\) es un grupo cíclico finito, ¿implica eso que\(G\) contiene como máximo un subgrupo de cada orden? Si la respuesta es sí, entonces probarla. De lo contrario, proporcione un contraejemplo.

Concluimos esta sección con un par de problemas interesantes de conteo que involucran el número de generadores de ciertos grupos cíclicos.

Problema\(\PageIndex{27}\)

Dejar\(p\) y\(q\) ser primos distintos. Encuentra el número de generadores de\(\mathbb{Z}_{pq}\).

Problema\(\PageIndex{28}\)

\(p\)Déjese ser un prime. Encuentra el número de generadores de\(\mathbb{Z}_{p^r}\), donde\(r\) es un entero mayor o igual a 1.