2: Sistemas de Ecuaciones Lineales- Geometría
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Ya hemos discutido los sistemas de ecuaciones lineales y cómo esto se relaciona con las matrices. En este capítulo vamos a aprender a escribir un sistema de ecuaciones lineales sucintamente como una ecuación matricial, que parece\(Ax=b\text{,}\) dónde\(A\) está una\(m \times n\) matriz,\(b\) es un vector en\(\mathbb{R}^m\) y\(x\) es un vector variable en\(\mathbb{R}^n\). Como veremos, esta es una perspectiva poderosa. Estudiaremos dos preguntas relacionadas:
- ¿Cuál es el conjunto de soluciones para\(Ax=b\text{?}\)
- ¿Cuál es el conjunto de\(b\) para que\(Ax=b\) sea consistente?
La primera pregunta es el tipo al que estás acostumbrado desde tu primera clase de álgebra: a qué consiste el conjunto de soluciones\(x^2-1=0\). El segundo también es algo que podrías haber estudiado en tus clases anteriores de álgebra:\(b\) ¿para qué\(x^2=b\) tiene solución? Esta pregunta es más sutil a primera vista, pero puedes resolverla de la misma manera que la primera pregunta, con la fórmula cuadrática.
Para responder a las dos preguntas enumeradas anteriormente, utilizaremos la geometría. Esto será análogo a cómo usaste las parábolas para entender las soluciones a una ecuación cuadrática en una variable. Específicamente, este capítulo está dedicado al estudio geométrico de dos objetos:
- el conjunto de soluciones de una ecuación matricial\(Ax=b\text{,}\) y
- el conjunto de todo lo\(b\) que hace que un sistema en particular sea consistente.
El segundo objeto se llamará el espacio de columna de\(A\). Los dos objetos están relacionados de una manera hermosa por el teorema de rango en la Sección 2.8.
En lugar de parábolas e hipérbolas, nuestros objetos geométricos son subespacios, como líneas y planos. Nuestros objetos geométricos serán algo así como planos de 13 dimensiones en\(\mathbb{R}^{27}\text{,}\) etc. Es asombroso que podamos decir cualquier cosa sustantiva sobre objetos que no podamos visualizar directamente.
Desarrollaremos una gran cantidad de vocabulario que usaremos para describir los objetos anteriores: vectores (Sección 2.1), vanos (Sección 2.2), independencia lineal (Sección 2.5), subespacios (Sección 2.6), dimensión (Sección 2.7), sistemas de coordenadas ( Sección 2.8), etc. Utilizaremos estos conceptos para dar una descripción geométrica precisa del conjunto de soluciones de cualquier sistema de ecuaciones (Sección 2.4). También aprenderemos a expresar sistemas de ecuaciones de manera más simple usando ecuaciones matriciales (Sección 2.3).
- 2.1: Vectores
- Hemos estado dibujando puntos en Rcomo puntos en la línea, plano, espacio, etc. también podemos dibujarlos como flechas. Como tenemos en mente dos interpretaciones geométricas, ahora discutimos la relación entre los dos puntos de vista.
- 2.2: Ecuaciones vectoriales y vanos
- Lo que realmente nos importa es resolver sistemas de ecuaciones lineales, no resolver ecuaciones vectoriales. El objetivo de las ecuaciones vectoriales es que nos dan una forma diferente, y más geométrica, de visualizar sistemas de ecuaciones lineales.
- 2.3: Ecuaciones Matriciales
- En esta sección introducimos una forma muy concisa de escribir un sistema de ecuaciones lineales: ax=b Aquí A es una matriz y x, b son vectores (generalmente de diferentes tamaños).
- 2.4: Conjuntos de soluciones
- En esta sección estudiaremos la geometría del conjunto de soluciones de cualquier ecuación matricial Ax=b.
- 2.5: Independencia lineal
- A veces el lapso de un conjunto de vectores es “menor” de lo que esperas del número de vectores, como en la imagen de abajo. Esto significa que (al menos) uno de los vectores es redundante: se puede eliminar sin afectar el span. En la presente sección formalizamos esta idea en la noción de independencia lineal.