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LibreTexts Español

5.1: Sistema de Ecuaciones Lineales

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    En este curso pasaremos mucho tiempo trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal está en la forma:

    \[a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b \nonumber \]

    Donde\(a_1,a_2,a_3, \ldots a_n\) y\(b\) son constantes conocidas y\(x_1,x_2,x_3, \ldots x_n \) son valores desconocidos. Normalmente tenemos sistemas de ecuaciones con diferentes valores de\(a\) s y\(b\) s pero las incógnitas son las mismas. Por ejemplo. Considera el ejemplo de ecuaciones lineales en el siguiente video.

    TODO

    Mira el video y sígalo en el cuaderno.

    from IPython.display import YouTubeVideo
    YouTubeVideo("CH68cc7sH4A",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

    Giselle trabaja como carpintero y como herrero. Ella gana 20 dólares por hora como carpintera y 25 dólares por hora como herrero. La semana pasada, Giselle trabajó ambos trabajos por un total de 30 horas, y obtuvo un total de 690 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajó Giselle como carpintera la semana pasada y cuánto tiempo trabajó como herrero?

    Este problema nos da dos ecuaciones y dos incógnitas:

    \[ c + b = 30 \nonumber \]

    \[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

    ¿Cómo resolveríamos esto en álgebra lineal?

    \[ c + b = 30 \nonumber \]

    \[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

    Primero, podemos multiplicar la primera ecuación por -20 y sumar a la segunda ecuación. Esto a menudo se llama una “combinación lineal” de las dos ecuaciones. La operación no cambia la respuesta:

    \[ -20c - 20b = -600 \nonumber \]

    \[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

    \[---- \nonumber \]

    \[ 0c + 5b = 90 \nonumber \]

    Este es nuestro nuevo sistema de ecuaciones:\(c+b=300c+5b=90\)

    Ahora podemos dividir fácilmente la segunda ecuación por 5 y obtener el valor de\(b\):

    \[b = 90/5 = 18 \nonumber \]

    Si sustituimos 18 por\(b\) en la primera ecuación obtenemos:\(c+18=30\)

    Y resolviendo para nos\(c\) da\(c\) =30−18=12. Comprobemos si esto funciona sustituyendo\(c\) =18 y\(c\) =12 en nuestras ecuaciones originales:

    \[ 12 + 18 = 30 \nonumber \]

    \[ 20(12) + 25(18) = 690 \nonumber \]

    Comprobemos la respuesta usando Python:

    b = 18
    c = 12
    c + b == 30
    True
    20*c + 25*b == 690
    True
    Pregunta

    El video anterior describió tres (3) operadores elementales que pueden ser aplicados a un sistema de ecuaciones lineales y no cambiar su respuesta. ¿Cuáles son estos tres operadores?


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