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# 5.1: Sistema de Ecuaciones Lineales

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En este curso pasaremos mucho tiempo trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal está en la forma:

$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b \nonumber$

Donde$$a_1,a_2,a_3, \ldots a_n$$ y$$b$$ son constantes conocidas y$$x_1,x_2,x_3, \ldots x_n$$ son valores desconocidos. Normalmente tenemos sistemas de ecuaciones con diferentes valores de$$a$$ s y$$b$$ s pero las incógnitas son las mismas. Por ejemplo. Considera el ejemplo de ecuaciones lineales en el siguiente video.

##### TODO

Mira el video y sígalo en el cuaderno.

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("CH68cc7sH4A",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Giselle trabaja como carpintero y como herrero. Ella gana 20 dólares por hora como carpintera y 25 dólares por hora como herrero. La semana pasada, Giselle trabajó ambos trabajos por un total de 30 horas, y obtuvo un total de 690 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajó Giselle como carpintera la semana pasada y cuánto tiempo trabajó como herrero?

Este problema nos da dos ecuaciones y dos incógnitas:

$c + b = 30 \nonumber$

$20c + 25b = 690 \nonumber$

¿Cómo resolveríamos esto en álgebra lineal?

$c + b = 30 \nonumber$

$20c + 25b = 690 \nonumber$

Primero, podemos multiplicar la primera ecuación por -20 y sumar a la segunda ecuación. Esto a menudo se llama una “combinación lineal” de las dos ecuaciones. La operación no cambia la respuesta:

$-20c - 20b = -600 \nonumber$

$20c + 25b = 690 \nonumber$

$---- \nonumber$

$0c + 5b = 90 \nonumber$

Este es nuestro nuevo sistema de ecuaciones:$$c+b=300c+5b=90$$

Ahora podemos dividir fácilmente la segunda ecuación por 5 y obtener el valor de$$b$$:

$b = 90/5 = 18 \nonumber$

Si sustituimos 18 por$$b$$ en la primera ecuación obtenemos:$$c+18=30$$

Y resolviendo para nos$$c$$ da$$c$$ =30−18=12. Comprobemos si esto funciona sustituyendo$$c$$ =18 y$$c$$ =12 en nuestras ecuaciones originales:

$12 + 18 = 30 \nonumber$

$20(12) + 25(18) = 690 \nonumber$

Comprobemos la respuesta usando Python:

b = 18
c = 12
c + b == 30
True
20*c + 25*b == 690
True
##### Pregunta

El video anterior describió tres (3) operadores elementales que pueden ser aplicados a un sistema de ecuaciones lineales y no cambiar su respuesta. ¿Cuáles son estos tres operadores?

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