5.1: Sistema de Ecuaciones Lineales

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115524

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

En este curso pasaremos mucho tiempo trabajando con sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal está en la forma:

\[a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \ldots + a_nx_n = b \nonumber \]

Donde\(a_1,a_2,a_3, \ldots a_n\) y\(b\) son constantes conocidas y\(x_1,x_2,x_3, \ldots x_n \) son valores desconocidos. Normalmente tenemos sistemas de ecuaciones con diferentes valores de\(a\) s y\(b\) s pero las incógnitas son las mismas. Por ejemplo. Considera el ejemplo de ecuaciones lineales en el siguiente video.

TODO

Mira el video y sígalo en el cuaderno.

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("CH68cc7sH4A",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Giselle trabaja como carpintero y como herrero. Ella gana 20 dólares por hora como carpintera y 25 dólares por hora como herrero. La semana pasada, Giselle trabajó ambos trabajos por un total de 30 horas, y obtuvo un total de 690 dólares. ¿Cuánto tiempo trabajó Giselle como carpintera la semana pasada y cuánto tiempo trabajó como herrero?

Brainly.com

Este problema nos da dos ecuaciones y dos incógnitas:

\[ c + b = 30 \nonumber \]

\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

¿Cómo resolveríamos esto en álgebra lineal?

\[ c + b = 30 \nonumber \]

\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

Primero, podemos multiplicar la primera ecuación por -20 y sumar a la segunda ecuación. Esto a menudo se llama una “combinación lineal” de las dos ecuaciones. La operación no cambia la respuesta:

\[ -20c - 20b = -600 \nonumber \]

\[ 20c + 25b = 690 \nonumber \]

\[---- \nonumber \]

\[ 0c + 5b = 90 \nonumber \]

Este es nuestro nuevo sistema de ecuaciones:\(c+b=300c+5b=90\)

Ahora podemos dividir fácilmente la segunda ecuación por 5 y obtener el valor de\(b\):

\[b = 90/5 = 18 \nonumber \]

Si sustituimos 18 por\(b\) en la primera ecuación obtenemos:\(c+18=30\)

Y resolviendo para nos\(c\) da\(c\) =30−18=12. Comprobemos si esto funciona sustituyendo\(c\) =18 y\(c\) =12 en nuestras ecuaciones originales:

\[ 12 + 18 = 30 \nonumber \]

\[ 20(12) + 25(18) = 690 \nonumber \]

Comprobemos la respuesta usando Python:

b = 18
c = 12

c + b == 30

True

20*c + 25*b == 690

True

Pregunta

El video anterior describió tres (3) operadores elementales que pueden ser aplicados a un sistema de ecuaciones lineales y no cambiar su respuesta. ¿Cuáles son estos tres operadores?