12.2: Sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones de la forma\(Ax=b\), mencionamos que podemos tener tres resultados:

• una solución única
• sin solución
• infinidad de muchas soluciones

Supongamos que tenemos\(m\) ecuaciones e\(n\) incógnitas.

• Caso 1\(m<n\), no tenemos suficientes ecuaciones, solo habrá DOS resultados: sin solución, o infinidad de soluciones.
• Caso 2\(m=n\), podemos tener los TRES resultados. Si el determinante es distinto de cero, tenemos una solución única, de lo contrario, tenemos que decidir el resultado con base en la matriz aumentada.
• Caso 3\(m>n\), tenemos más ecuaciones que el número de incógnitas. Eso significa que habrá ecuaciones redundantes (podemos eliminarlas) o ecuaciones de conflicto (sin solución). Podemos tener los TRES resultados.

Hablamos de varios métodos para resolver el sistema de ecuaciones. El más general es la eliminación Gauss-Jordan o Gaussiana, que funciona para los tres casos. Tenga en cuenta que Jacobian y Gauss-Seidel no pueden trabajar en el Caso 1 y el Caso 3.

Nos centraremos en la eliminación gaussiana. Después de la elimiación gaussiana, observamos las últimas filas (podrían ser cero) con todos los ceros excepto la última columna.

Si un elemento del lado derecho correspondiente no es cero, tenemos que 0 es igual a algún número distinto de cero, lo cual es imposible. Por lo tanto, no hay solución. Por ejemplo,

\ [\ begin {split}\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
2\\ 3\\ 4\ 5
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

En este caso, decimos que el sistema es inconsistente. Más adelante en el semestre buscaremos métodos que traten de encontrar una solución “suficientemente buena” para un sistema inconsistente (regresión).

De lo contrario, eliminamos todas las filas con todos los ceros (que es lo mismo que eliminar ecuaciones redundantes). Si el número de ecuaciones restantes es el mismo que el número de incógnitas, la rref es una matriz de identidad, y tenemos una solución única. Por ejemplo,

\ [\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
2\\ 3 \\ 4\\ 0
\ final {matriz}
\ derecha]
\ fila derecha\ izquierda [
\ comenzar {matriz}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 1\\
\ final {matriz}
\,\ medio \ vert\,
\ begin {matriz}
2\\ 3\ 4
\ end {matriz}
\ derecha]\ nonumber\]

Si el número de ecuaciones restantes es menor que el número de incógnitas, tenemos infinitamente muchas soluciones. Considera los siguientes tres ejemplos:

\ [\ begin {split}\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert
\,\ begin {matrix}
2\\ 3\ 0
\ end { matriz}
\ derecha]
\ Rightarrow\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
2\\ 3
\ end {matrix}
\ derecha]\ Rightarrow x= [2, 3, x_3] ^\ top\ end {split}\ nonumber\]

donde\(x_3\) es una variable libre.

\ [\ begin {split}\ left [
\ begin {matrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert
\,\ begin {matrix}
2\\ 3\ 0
\ end { matriz}
\ derecha]
\ Rightarrow\ left [
\ begin {matrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
2\\ 3
\ end {matrix}
\ derecha]\ Fila derecha x= [2-2x_2, x_2, 3]\ end {split}\ nonumber\]

donde\(x_2\) es una variable libre.

\ [\ begin {split}\ left [
\ begin {matrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert
\,\ begin {matrix}
2\\ 5\ 0
\ end {matriz}
\ derecha]
\ fila derecha\ izquierda [
\ begin {matrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3\
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix }
2\\ 5
\ final {matriz}
\ derecha]\ Rightarrow x= [2-2x_2-x_4, x_2, 5-3x_4, x_4]\ end {split}\ nonumber\]

donde\(x_2\) y\(x_4\) son variables libres.

Pregunta

Supongamos que el sistema es consistente, ¿explica por qué el número de ecuaciones no puede ser mayor que el número de incógnitas después de que se eliminan las ecuaciones redundantes?

Hacer esto

Si hay dos soluciones para\(Ax=b\), es decir\(Ax=b\) y\(Ax'=b\) mientras\(x \neq x'\). Compruébalo\(A(cx+(1-c)x')=b\) para cualquier número real\(c\). Por lo tanto, si tenemos dos soluciones diferentes, tenemos infinitas soluciones.

Si\(Ax=b\) y\(Ax′=b\), entonces tenemos\(A(x−x′)=0\). Si\(x\) es una solución particular para\(Ax=b\), entonces todas las soluciones a\(Ax=b\) son\(\{x+v: v \mbox{ is a solution to the homogeneous system } Av=0\}\).

La solución para siempre\(Ax=0\) es un subespacio.

Después de eliminar las filas redundantes, si el número de ecuaciones es el mismo que el número de incógnitas, tenemos una solución única. Si la diferencia entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas es 1, todas las soluciones se encuentran en una línea. Si la diferencia es 2, todas las soluciones se encuentran en un plano 2-D.

Pregunta

¿Cuál es la solución al siguiente conjunto de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada?

\ [\ begin {split} A =
\ left [
\ begin {matrix}
-2 & 4 & 8\\
1 & -2 & 4\\
4 & -8 & 16
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
0\\ 0\ 0
\ end {matrix}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]