14.2: Transformaciones afín

En esta sección, vamos a explorar diferentes tipos de matrices de transformación. El siguiente código está diseñado para demostrar las propiedades de algunas matrices de transformación diferentes.

Hacer esto

Revisa el siguiente código.

#Some python packages we will be using
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D #Lets us make 3D plots
import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing(use_unicode=True) # Trick to make matrixes look nice in jupyter

# Define some points
x = [0.0,  0.0,  2.0,  8.0, 10.0, 10.0, 8.0, 4.0, 3.0, 3.0, 4.0, 6.0, 7.0, 7.0, 10.0, 
     10.0,  8.0,  2.0, 0.0, 0.0, 2.0, 6.0, 7.0,  7.0,  6.0,  4.0,  3.0, 3.0, 0.0]
y = [0.0, -2.0, -4.0, -4.0, -2.0,  2.0, 4.0, 4.0, 5.0, 7.0, 8.0, 8.0, 7.0, 6.0,  6.0,
     8.0, 10.0, 10.0, 8.0, 4.0, 2.0, 2.0, 1.0, -1.0, -2.0, -2.0, -1.0, 0.0, 0.0]
con = [ 1.0 for i in range(len(x))] 

p = np.matrix([x,y,con])


mp = p.copy()

#Plot Points
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green');
plt.axis('scaled');
plt.axis([-10,20,-15,15]);
plt.title('Start Location');

Ejemplo de matriz de escalado

#Example Scaling Matrix

#Define Matrix
scale = 0.5  #The amount that coordinates are scaled.
S = np.matrix([[scale,0,0], [0,scale,0], [0,0,1]])

#Apply matrix

mp = p.copy()
mp = S*mp

#Plot points after transform
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green')
plt.axis('scaled')
plt.axis([-10,20,-15,15])
plt.title('After Scaling')

#Uncomment the next line if you want to see the original.
# plt.plot(p[0,:].tolist()[0],p[1,:].tolist()[0], color='blue',alpha=0.3);

sym.Matrix(S)

Ejemplo de Matriz de Traducción

#Example Translation Matrix

#Define Matrix
dx = 1  #The amount shifted in the x-direction
dy = 1  #The amount shifted in the y-direction
T = np.matrix([[1,0,dx], [0,1,dy], [0,0,1]])

#Apply matrix

mp = p.copy()

mp = T*mp

#Plot points after transform
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green')
plt.axis('scaled')
plt.axis([-10,20,-15,15])
plt.title('After Translation')

#Uncomment the next line if you want to see the original.
# plt.plot(p[0,:].tolist()[0],p[1,:].tolist()[0], color='blue',alpha=0.3);

sym.Matrix(T)

Ejemplo de matriz de reflexión

#Example Reflection Matrix

#Define Matrix
Re = np.matrix([[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]]) ## Makes all y-values opposite so it reflects over the x-axis.

#Apply matrix

mp = p.copy()

mp = Re*mp

#Plot points after transform
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green')
plt.axis('scaled')
plt.axis([-10,20,-15,15])

#Uncomment the next line if you want to see the original.
# plt.plot(p[0,:].tolist()[0],p[1,:].tolist()[0], color='blue',alpha=0.3);

sym.Matrix(Re)

Ejemplo de matriz de rotación

#Example Rotation Matrix

#Define Matrix
degrees = 30
theta = degrees * np.pi / 180  ##Make sure to always convert from degrees to radians. 

# Rotates the points 30 degrees counterclockwise.
R = np.matrix([[np.cos(theta),-np.sin(theta),0],[np.sin(theta), np.cos(theta),0],[0,0,1]]) 

#Apply matrix
mp = p.copy()

mp = R*mp

#Plot points after transform
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green')
plt.axis('scaled')
plt.axis([-10,20,-15,15])

#Uncomment the next line if you want to see the original.
# plt.plot(p[0,:].tolist()[0],p[1,:].tolist()[0], color='blue',alpha=0.3);

sym.Matrix(R)

Ejemplo de matriz de cizallamiento

Combinar Transformas

Tenemos cinco transformaciones\(R\),\(S\)\(T\),\(Re\), y\(SH\)

Hacer esto

Construir una (\(3 \times 3\)) Matriz de transformación (llamada\(M\)) que combina estas cinco transformaciones en una sola matriz. Puedes elegir diferentes órdenes para estas cinco matrices, luego comparar tu resultado con otros alumnos.

#Put your code here

#Plot combined transformed points
mp = p.copy()
mp = M*mp
plt.plot(mp[0,:].tolist()[0],mp[1,:].tolist()[0], color='green');
plt.axis('scaled');
plt.axis([-10,20,-15,15]);
plt.title('Start Location');

Preguntas

¿Se pudo obtener el mismo resultado con otros? Se puede comparar la matriz\(M\) para ver la diferencia. Si no, ¿puedes explicar por qué sucede?

Ejemplo Interactivo

from ipywidgets import interact,interact_manual

def affine_image(angle=0,scale=1.0,dx=0,dy=0, shx=0, shy=0):
    theta = -angle/180  * np.pi
    
    plt.plot(p[0,:].tolist()[0],p[1,:].tolist()[0], color='green')
    
    S = np.matrix([[scale,0,0], [0,scale,0], [0,0,1]])
    SH = np.matrix([[1,shx,0], [shy,1,0], [0,0,1]])
    T = np.matrix([[1,0,dx], [0,1,dy], [0,0,1]])
    R = np.matrix([[np.cos(theta),-np.sin(theta),0],[np.sin(theta), np.cos(theta),0],[0,0,1]])
    
    #Full Transform
    FT = T*SH*R*S;
    #Apply Transforms
    p2 =  FT*p;
    
    #Plot Output
    plt.plot(p2[0,:].tolist()[0],p2[1,:].tolist()[0], color='black')
    plt.axis('scaled')
    plt.axis([-10,20,-15,15])
    return sym.Matrix(FT)

##TODO: Modify this line of code
interact(affine_image, angle=(-180,180), scale_manual=(0.01,2), 
         dx=(-5,15,0.5), dy=(-15,15,0.5), shx = (-1,1,0.1), shy = (-1,1,0.1));

También se puede usar el siguiente comando pero puede ser lento en las computadoras de algunas personas.

##TODO: Modify this line of code
#interact(affine_image, angle=(-180,180), scale=(0.01,2),
#			dx=(-5,15,0.5), dy=(-15,15,0.5), shx = (-1,1,0.1), shy = (-1,1,0.1));

Hacer esto

Usando el ambiente interactivo anterior para ver si puedes averiguar la matriz de transformación para hacer la siguiente imagen:

Pregunta

¿Cuáles son los valores de entrada?