17.1: Introducción a los Determinantes

from urllib.request import urlretrieve

urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

Para una descripción detallada de los determinantes recomendaría revisar el Capítulo D pg 340-366 del texto de Beezer.

El determinante es una función que toma una matriz cuadrada (\(n \times n\)) como entrada y produce un escalar como salida. Los determinantes han sido ampliamente estudiados y tienen muchas propiedades interesantes. Sin embargo, los determinantes son “computacionalmente caros” a medida que el tamaño de su matriz (\(n\)) se hace más grande. Esta limitación los hace poco prácticos para muchos problemas del mundo real.

El determinante de una\(2 \times 2\) matriz se puede calcular de la siguiente manera:

\ [\ begin {split}
det\ left (
\ left [
\ begin {matrix}
a_ {11} & a_ {12}\\
a_ {21} & a_ {22}
\ end {matrix}
\ right]
\ right)
= a_ {11} a_ {22} - a_ {12} a_ {21}
\ fin {división}\ nonumber\]

Pregunta

Calcular a mano el determinante de la siguiente matriz:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
3 & -2\\
1 & 2
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Calcular el determinante de una matriz más grande es un problema “recursivo” que implica combinar los determinantes de submatrices cada vez más pequeñas hasta tener una\(2 \times 2\) matriz que luego se calcula usando la fórmula anterior. Aquí hay algunos Pseudocódigo para calcular un determinante. Para simplificar el ejemplo el código asume que hay una función de matriz deleterow que eliminará la fila\(x\) th de una matriz (siempre la primera fila en este ejemplo) y deletecol eliminará la\(x\) th columna de una matriz. Cuando se usan juntos (como se muestra a continuación) tomarán una\(n \times n\) matriz y la convertirán en una\((n−1) \times (n−1)\) matriz.

function determinant(A, n)
   det = 0
   if (n == 1)
      det = matrix[1,1]
   else if (n == 2)
      det = matrix[1,1] * matrix[2,2] - matrix[1,2] * matrix[2,1]
   else 
      for x from 1 to n
          submatrix = deleterow(matrix, 1)
          submatrix = deletecol(submatrix, x)
          det = det + (x+1)**(-1) * matrix[1,x] * determinant(submatrix, n-1)
      next x
   endif
   
   return det

Observe que la combinación de los determinantes de las submatrices no es una simple suma. La combinación consiste en sumar las submatrices correspondientes a las columnas impares (1,3,5, etc.) y restar las submatrices correspondientes a las columnas pares (2,4,6, etc.). Esto puede quedar más claro si nos fijamos en un\(3 \times 3\) ejemplo sencillo (Let\(\left| A \right|\) be a simplified syntax for writing the determinant of\(A\)):

\ [\ begin {split}
A =\ left [
\ begin {matrix}
a_ {11} & a_ {12} & a_ {13}\\
a_ {21} & a_ {22} & a_ {23}\\
a_ {31} & a_ {32} & a_ {33}
\ end {matriz}
\ derecha]\ end {split}\ nonumber\]

\ [\ begin {split}
|A|=
a_ {11}\ izquierda|
\ comenzar {matriz}
\ cuadrado y\ cuadrado &\ cuadrado\
\ cuadrado y a_ {22} & a_ {23}\\
\ cuadrado y a_ {32} y a_ {33}
\ final {matriz}
\ derecha|
-
a_ {12}\ izquierda|
\ comenzar {matriz}
\ cuadrado &\ cuadrado &\ cuadrado\\
a_ {21} &\ cuadrado & a_ {23}\\
a_ {31} &\ cuadrado & a_ {33}
\ final {matriz}
\ derecha|
+
a_ {13}\ izquierda|
\ begin {matriz}
\ cuadrado &\ cuadrado &\ cuadrado\\
a_ {21} & a_ {22} &\ cuadrado\\
a_ {31} & a_ {32} &\ cuadrado
\ final {matriz}
\ derecha|
\ end {split}\ nonumber\]

\ [\ begin {split}
|A|
=
a_ {11}\ izquierda|
\ begin {matrix}
a_ {22} & a_ {23}\
a_ {32} & a_ {33}
\ end {matrix}
\ derecha|
-
a_ {12}\ izquierda|
\ begin { matriz}
a_ {21} & a_ {23}\\
a_ {31} & a_ {33}
\ fin {matriz}
\ derecha|
+
a_ {13}
\ izquierda|
\ comenzar {matriz}
a_ {21} y a_ {22}\\
a_ {31} & amp; a_ {32}
\ end {matrix}
\ derecha|
\ end {split}\ nonumber\]

\ [
|A| =
a_ {11} (a_ {22} a_ {33} - a_ {23} a_ {32})
-
a_ {12} (a_ {21} a_ {33} - a_ {23} a_ {31})
+
a_ {13} (a_ {21} a_ {32} - a_ {22} a_ {31})\ umber\]

Pregunta

Calcular a mano el determinante de la siguiente matriz:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 2 & -3\\
5 & 0 & 6\\
7 & 1 & -4
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Pregunta

Utilice la biblioteca numpy.linalg para calcular el determinante de la siguiente matriz y stor el valor en una variable llamada det

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
2 & 0 & 1 & -5\\
8 & -1 & 2 & 1\\
4 & -3 & -5 & 0\\
1 & 4 & 8 & 2
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

#Put your answer here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.float(det,'49afb719e0cd46f74578ebf335290f81');