17.3: Una interpretación de los determinantes

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A continuación se presenta una aplicación de determinantes. ¡Mira esto!

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("Ip3X9LOh2dk",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Por diversión, recrearemos algunas de las visualizaciones del video en Python. Fue un poco complicado obtener las relaciones de aspecto correctas pero aquí hay algún código que logré que funcione.

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection, Line3DCollection
import numpy as np
import sympy as sym

# Lets define somme points that form a Unit Cube
points = np.array([[0, 0, 0],
                  [1, 0, 0 ],
                  [1, 1, 0],
                  [0, 1, 0],
                  [0, 0, 1],
                  [1, 0, 1 ],
                  [1, 1, 1],
                  [0, 1, 1]])

points = np.matrix(points)

#Here is some code to build cube from https://stackoverflow.com/questions/44881885/python-draw-3d-cube

def plot3dcube(Z):
    
    if type(Z) == np.matrix:
        Z = np.asarray(Z)

    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

    r = [-1,1]

    X, Y = np.meshgrid(r, r)
    # plot vertices
    ax.scatter3D(Z[:, 0], Z[:, 1], Z[:, 2])

    # list of sides' polygons of figure
    verts = [[Z[0],Z[1],Z[2],Z[3]],
     [Z[4],Z[5],Z[6],Z[7]], 
     [Z[0],Z[1],Z[5],Z[4]], 
     [Z[2],Z[3],Z[7],Z[6]], 
     [Z[1],Z[2],Z[6],Z[5]],
     [Z[4],Z[7],Z[3],Z[0]], 
     [Z[2],Z[3],Z[7],Z[6]]]

    #alpha transparency was't working found fix here: 
    # https://stackoverflow.com/questions/23403293/3d-surface-not-transparent-inspite-of-setting-alpha
    # plot sides
    ax.add_collection3d(Poly3DCollection(verts, 
     facecolors=(0,0,1,0.25), linewidths=1, edgecolors='r'))
    
    ax.set_xlabel('X')
    ax.set_ylabel('Y')
    ax.set_zlabel('Z')
    
    ## Weird trick to get the axpect ratio to work.
    ## From https://stackoverflow.com/questions/13685386/matplotlib-equal-unit-length-with-equal-aspect-ratio-z-axis-is-not-equal-to
    mx = np.amax(Z, axis=0)
    mn = np.amin(Z, axis=0)
    max_range = mx-mn

    # Create cubic bounding box to simulate equal aspect ratio
    Xb = 0.5*max_range.max()*np.mgrid[-1:2:2,-1:2:2,-1:2:2][0].flatten() + 0.5*(max_range[0])
    Yb = 0.5*max_range.max()*np.mgrid[-1:2:2,-1:2:2,-1:2:2][1].flatten() + 0.5*(max_range[1])
    Zb = 0.5*max_range.max()*np.mgrid[-1:2:2,-1:2:2,-1:2:2][2].flatten() + 0.5*(max_range[2])
    # Comment or uncomment following both lines to test the fake bounding box:
    for xb, yb, zb in zip(Xb, Yb, Zb):
        ax.plot([xb], [yb], [zb], 'w')

    plt.show()

plot3dcube(points)

Pregunta

El siguiente\(3 \times 3\) se mostró en el video (alrededor de 6'50”). Aplica esta matriz al cubo unitario y usa el plot3dcube para mostrar los puntos transformados resultantes.

T = np.matrix([[1 , 0 ,  0.5],
               [0.5 ,1 ,1.5],
               [1 , 0 ,  1]])

#Put the answer to the above question here.

Pregunta

El determinante representa cómo cambia el área al aplicar una\(2 \times 2 \) transformación. ¿Qué representa el determinante para una\(3 \times 3\) transformación?