19.1: vectores propios y valores propios
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Comprender Eigenvector y Eigenvalues puede ser muy desafiante. Se trata de temas complejos con muchas facetas. Diferentes libros de texto abordan el problema desde diferentes direcciones. Todos tienen valor. Estas facetas incluyen:
- Comprender la definición matemática de los valores propios.
- Ser capaz de calcular un valor propio y un vector propio.
- Comprender lo que representan los valores propios y los vectores propios.
- Comprender cómo utilizar los valores propios y los vectores propios para resolver problemas.
En este curso consideramos más importante entender qué representan los vectores propios y los valores propios y cómo usarlos. Sin embargo, muchas veces esta comprensión viene de aprender primero a calcularlos.
Los valores propios son un conjunto especial de escalares asociados a una matriz cuadrada que a veces también se conocen como raíces características, valores característicos (Hoffman y Kunze 1971), valores propios o raíces latentes (Marcus y Minc 1988, p. 144).
La determinación de los valores propios y vectores propios de una matriz es extremadamente importante en física e ingeniería, donde es equivalente a la diagonalización matricial y surge en aplicaciones tan comunes como el análisis de estabilidad, la física de cuerpos rotativos, y pequeños oscilaciones de sistemas vibratorios, por nombrar solo algunos.
La descomposición de una matriz cuadrada\(A\) en valores propios y vectores propios se conoce en este trabajo como descomposición de eigen, y el hecho de que esta descomposición siempre es posible siempre y cuando la matriz que consiste en los vectores propios de\(A\) sea cuadrada. Esto se conoce como el teorema de descomposición del eigen.
De: http://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html
El siguiente video proporciona una intuición para los valores propios y los vectores propios.
Definición
\(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Encuentra un vector de\(R^n\) tal\(x\) manera que:
\[Ax=\lambda x \nonumber \]
Lo anterior se puede reescribir como la siguiente ecuación homogénea:
\[(A-\lambda I_n)x = 0 \nonumber \]
La solución trivial es\(x=0\).
Sin embargo, si definimos vectores propios para que sean vectores distintos de cero entonces\(|A - \lambda I_n| = 0\). Las soluciones distintas de cero (es decir, no triviales) a este sistema de ecuaciones solo pueden existir si la matriz de coeficientes es singular, es decir, el determinante de\(|A - \lambda I_n| = 0 \). Por lo tanto, resolver la ecuación\(|A - \lambda I_n| = 0 \) para\(\lambda\) conduce a todos los valores propios de\(A\).
La lógica anterior es clave. Asegúrate de entender. Si no, haz preguntas.
Explicar por qué las soluciones distintas de cero a un sistema de sistemas homogéneos requieren que la matriz sea singular.
Ejemplos:
Aquí hay algunos ejemplos más de cómo se utilizan los valores propios y los vectores propios (No está obligado a entender todos):
Uso de descomposición de valores singulares para la compresión de imágenes. Esta es una nota explicando cómo se puede comprimir una imagen desechando los pequeños valores propios de\(A^{T}A\). Toma una imagen de 88 megapíxeles de un Allosaurus y muestra cómo se ve la imagen después de comprimirse seleccionando los valores singulares más grandes.
Derivar Relatividad Especial es más natural en el lenguaje del álgebra lineal. De hecho, el segundo postulado de Einstein realmente afirma que “La luz es un vector propio de la transformación de Lorentz”. Este documento repasa en detalle la derivación completa.
Agrupación espectral. Ya sea en plantas y biología, imágenes médicas, negocios y marketing, comprensión de las conexiones entre campos en Facebook, o incluso criminología, la agrupación es una parte extremadamente importante del análisis de datos moderno. Permite a las personas encontrar subsistemas o patrones importantes dentro de conjuntos de datos ruidosos. Uno de esos métodos es la agrupación espectral, que utiliza los valores propios de la gráfica de una red. Incluso el vector propio del segundo valor propio más pequeño de la matriz laplaciana nos permite encontrar los dos clústeres más grandes en una red.
Reducción de dimensionalidad/PCA. Los componentes principales corresponden a los valores propios más grandes de\(A^{T}A\), y esto produce la proyección menos cuadrada sobre un hiperplano dimensional más pequeño, y los vectores propios se convierten en los ejes del hiperplano. La reducción de dimensionalidad es extremadamente útil en el aprendizaje automático y el análisis de datos, ya que permite comprender de dónde proviene la mayor parte de la variación en los datos.
Factorización de rango bajo para predicción colaborativa. Esto es lo que Netflix hace (o alguna vez hizo) para predecir qué calificación tendrás para una película que aún no has visto. Utiliza la descomposición del valor singular y arroja a la basura los valores propios más pequeños de\(A^{T}A\).
El algoritmo de Google Page Rank. El vector propio más grande de la gráfica de internet es cómo se clasifican las páginas.
De: https://math.stackexchange.com/questions/1520832/real-life-examples-for-eigenvalues-eigenvectors