19.2: Resolviendo problemas propios - Un ejemplo 2x2

from urllib.request import urlretrieve

urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("0UbkMlTu1vo",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Considera calcular valores propios para cualquier\(2 \times 2\) matriz. Queremos resolver:

\[|A - \lambda I_2 | = 0 \nonumber \]

\ [\ begin {split}
\ izquierda|
\ left [
\ begin {matrix}
a_ {11} & a_ {12}\\
a_ {21} & a_ {22}
\ end {matrix}
\ right]
-\ lambda\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {matriz}
\ derecha]
\ derecha|
=
\ izquierda|
\ izquierda [
\ begin {matriz}
a_ {11} -\ lambda & a_ {12}\\
a_ {21} & a_ {22} -\ lambda
\ end {matriz}
\ derecha]
\ derecha|
=0
\ end {split}\ nonumber\]

Conocemos este determinante:

\[(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda) - a_{12} a_{21} = 0 \nonumber \]

Si ampliamos lo anterior, obtenemos:

\[a_{11}a_{22}+\lambda^2-a_{11}\lambda-a_{22}\lambda - a_{12} a_{21} = 0 \nonumber \]

y

\[\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22} - a_{12} a_{21} = 0 \nonumber \]

Esta es una ecuación cuadrática simple. Las raíces de se\(A\lambda^2 + B\lambda + C = 0 \) pueden resolver usando la fórmula cuadrática:

\[ \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \nonumber \]

Pregunta

Usando la ecuación anterior. Cuáles son los valores propios para la siguiente\(2 \times 2\) matriz. Intente calcular esto a mano y luego almacene el valor inferior en una variable llamada e1 y el valor mayor en e2 para verificar su respuesta:

\ [\ begin {split} A =
\ left [
\ begin {matrix}
-4 & -6\\
3 & 5
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

# Put your answer here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.float(e1,'c54490d3480079138c8c027a87a366e3');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.float(e2,'d1bd83a33f1a841ab7fda32449746cc4');

Hacer esto

Encuentra una función numpy que calculará los valores propios y verificará las respuestas desde arriba.

# Put your answer here

Pregunta

¿Cuáles son los vectores propios correspondientes a la matriz\(A\)? Esta vez puedes intentar calcular a mano o simplemente usar la función que encontraste en la respuesta anterior. Almacene el vector propio asociado con el valor e1 en un vector llamado v1 y el vector propio asociado con el valor propio e2 en un vector llamado v2 para verificar su respuesta.

# Put your answer here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.eq_vector(v1,'35758bc2fa8ff4f04cfbcd019844f93d');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.eq_vector(v2,'90b0437e86d2cf70050d1d6081d942f4');

Pregunta

Tanto sympy como numpy pueden calcular muchas de las mismas cosas. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre estas dos bibliotecas?