22.4: Espacios vectoriales
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Axiomas de Cierre
- La suma\(u+v\) existe y es un elemento de\(V\). (\(V\)se cierra bajo adición.)
- \(cu\)es un elemento de\(V\). (\(V\)se cierra bajo multiplicación.)
Axiomas de Adición
- \(u+v=v+u\)(propiedad conmutativa)
- \(u+(v+w)=(u+v)+w\)(propiedad asociativa)
- Existe un elemento de\(V\), llamado vector cero, denotado 0, tal que\(u+0=u\)
- Por cada elemento\(u\) de\(V\), existe un elemento llamado negativo de\(u\), denotado\(−u\), tal que\(u+(−u)=0\).
Axiomas de Multiplicación Escalar
- \(c(u+v)=cu+cv\)
- \((c+d)u=cu+du\)
- \(c(du)=(cd)u\)
- \(1u=u\)
Definición de una base de un espacio vectorial
Un conjunto finito de vectores\(v_1, \ldots, v_n\) se denomina base de un espacio vectorial\(V\) si el conjunto abarca\(V\) y es linealmente independiente. Es decir, cada vector\(V\) puede expresarse de manera única como una combinación lineal de los vectores en una base.
Espacios vectoriales
Dejar\(U\) ser el conjunto de todos los círculos en\(R^2\) tener centro en el origen. Interpretar el origen como si estuviera en este conjunto, es decir, es un círculo central en el origen con radio cero. Asumir\(C_1\) y\(C_2\) son elementos de\(U\). Dejar\(C_1 + C_2\) ser el círculo centrado en el origen, cuyo radio es la suma de los radios de\(C_1\) y\(C_2\). Dejar\(kC_1\) ser el centro del círculo en el origen, cuyo radio es\(|k|\) veces el de\(C_1\). Determinar qué axiomas del espacio vectorial sostienen y cuáles no.
Vasos:
Dejar\(v\),\(v_1\), y\(v_2\) ser vectores en un espacio vectorial\(V\). Let\(v\) Ser una combinación lineal de\(v_1\) y\(v_2\). Si\(c_1\) y\(c_2\) son números reales distintos de cero, mostrar que también\(v\) es una combinación lineal de\(c_{1}v_{1}\) y\(c_{2}v_{2}\).
Dejar\(v_1\) y\(v_2\) abarcar un espacio vectorial\(V\). Dejar\(v_3\) ser cualquier otro vector en\(V\). \(v_2\)Demuéstralo\(v_1\),, y\(v_3\) también span\(V\).
Lineal Independiente:
Considera la siguiente matriz, que está en forma de escalón de fila reducida.
\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]
Mostrar que los vectores de fila forman un conjunto linealmente independiente:
¿El conjunto de vectores de fila distintos de cero de cualquier matriz en escalón de fila reducida es linealmente independiente? Discuta en sus grupos e incluya sus pensamientos a continuación.
Un programa de computadora acepta una serie de vectores\(R^3\) como entrada y verifica si los vectores son linealmente independientes y genera un estado Verdadero/Falso. Discuta en sus grupos, lo que es más probable que suceda debido a un error de redonda—que la computadora establece que un conjunto dado de vectores linealmente independientes es linealmente dependiente, o viceversa? Pon tus pensamientos de grupos a continuación.