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# 22.4: Espacios vectoriales

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$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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Un Espacio Vectorial es un conjunto$$V$$ de elementos llamados vectores, que tienen operaciones de suma y multiplicación escalar definidas en él que satisfacen las siguientes condiciones ($$u$$,$$v$$, y$$w$$ son elementos arbitrarios de$$V$$,$$c$$ y$$d$$ son escalares.)

## Axiomas de Cierre

1. La suma$$u+v$$ existe y es un elemento de$$V$$. ($$V$$se cierra bajo adición.)
2. $$cu$$es un elemento de$$V$$. ($$V$$se cierra bajo multiplicación.)

1. $$u+v=v+u$$(propiedad conmutativa)
2. $$u+(v+w)=(u+v)+w$$(propiedad asociativa)
3. Existe un elemento de$$V$$, llamado vector cero, denotado 0, tal que$$u+0=u$$
4. Por cada elemento$$u$$ de$$V$$, existe un elemento llamado negativo de$$u$$, denotado$$−u$$, tal que$$u+(−u)=0$$.

## Axiomas de Multiplicación Escalar

1. $$c(u+v)=cu+cv$$
2. $$(c+d)u=cu+du$$
3. $$c(du)=(cd)u$$
4. $$1u=u$$

## Definición de una base de un espacio vectorial

Un conjunto finito de vectores$$v_1, \ldots, v_n$$ se denomina base de un espacio vectorial$$V$$ si el conjunto abarca$$V$$ y es linealmente independiente. Es decir, cada vector$$V$$ puede expresarse de manera única como una combinación lineal de los vectores en una base.

## Espacios vectoriales

##### Hacer esto

Dejar$$U$$ ser el conjunto de todos los círculos en$$R^2$$ tener centro en el origen. Interpretar el origen como si estuviera en este conjunto, es decir, es un círculo central en el origen con radio cero. Asumir$$C_1$$ y$$C_2$$ son elementos de$$U$$. Dejar$$C_1 + C_2$$ ser el círculo centrado en el origen, cuyo radio es la suma de los radios de$$C_1$$ y$$C_2$$. Dejar$$kC_1$$ ser el centro del círculo en el origen, cuyo radio es$$|k|$$ veces el de$$C_1$$. Determinar qué axiomas del espacio vectorial sostienen y cuáles no.

### Vasos:

##### Hacer esto

Dejar$$v$$,$$v_1$$, y$$v_2$$ ser vectores en un espacio vectorial$$V$$. Let$$v$$ Ser una combinación lineal de$$v_1$$ y$$v_2$$. Si$$c_1$$ y$$c_2$$ son números reales distintos de cero, mostrar que también$$v$$ es una combinación lineal de$$c_{1}v_{1}$$ y$$c_{2}v_{2}$$.

##### Hacer esto

Dejar$$v_1$$ y$$v_2$$ abarcar un espacio vectorial$$V$$. Dejar$$v_3$$ ser cualquier otro vector en$$V$$. $$v_2$$Demuéstralo$$v_1$$,, y$$v_3$$ también span$$V$$.

### Lineal Independiente:

Considera la siguiente matriz, que está en forma de escalón de fila reducida.

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

##### Hacer esto

Mostrar que los vectores de fila forman un conjunto linealmente independiente:

##### Hacer esto

¿El conjunto de vectores de fila distintos de cero de cualquier matriz en escalón de fila reducida es linealmente independiente? Discuta en sus grupos e incluya sus pensamientos a continuación.

##### Hacer esto

Un programa de computadora acepta una serie de vectores$$R^3$$ como entrada y verifica si los vectores son linealmente independientes y genera un estado Verdadero/Falso. Discuta en sus grupos, lo que es más probable que suceda debido a un error de redonda—que la computadora establece que un conjunto dado de vectores linealmente independientes es linealmente dependiente, o viceversa? Pon tus pensamientos de grupos a continuación.

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