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# 23.2: La base de un espacio vectorial

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)

Dejar$$U$$ ser un espacio vectorial con base$$B=\{u_1, \ldots, u_n\}$$, y dejar$$u$$ ser un vector adentro$$U$$. Debido a que una base “abarca” el espacio vectorial, sabemos que existen escalares$$a_1, \ldots, a_n$$ tales que:

$u = a_1u_1 + \dots + a_nu_n \nonumber$

Dado que una base es un conjunto linealmente independiente de vectores, sabemos que los escalares$$a_1, \ldots, a_n$$ son únicos.

Los valores$$a_1, \ldots, a_n$$ se llaman las coordenadas de$$u$$ relativo a la base ($$B$$) y normalmente se escriben como un vector de columna:

\ [\ begin {split} u_b =
\ left [
\ begin {matrix}
a_1\\
\ vdots\\
a_n
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Podemos crear una matriz de transición$$P$$ usando la inversa de la matriz con los vectores base siendo columnas.

$P = [ u_1 \ldots u_n ]^{-1} \nonumber$

Ahora vamos a mostrar que la matriz$$P$$ hará la transición del vector$$u$$ en el sistema de coordenadas estándar a las coordenadas relativas a la base$$B$$:

$u_B = Pu \nonumber$

EJEMPLO: Considere el vector$$u = \left[ \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right]$$ y los vectores base$$B=\{(1,2),(3,−1)\}$$. El siguiente código calcula la matriz de$$P$$ transición de$$B$$ y luego usa$$P$$ para calcular los valores de$$u_B$$ ($$a_1$$y$$a_2$$):

u = np.matrix([[5],[3]])
sym.Matrix(u)
B = np.matrix([[1,2],[3,-1]]).T
sym.Matrix(B)
P = np.linalg.inv(B)
ub = P*u

sym.Matrix(ub)

Aquí nos gustaría ver esto desde$$R^n$$. Vamos$$B = [u_1 \ldots u_n]$$, entonces los valores de se$$u_B$$ pueden encontrar resolviendo el sistema lineal$$u = Bu_{b}$$. Las columnas de$$B$$ son una base, por lo tanto, la matriz$$B$$ es una matriz$$n \times n$$ cuadrada y tiene una inversa. Por lo tanto, podemos resolver el sistema lineal y obtener$$u_B = B^{-1}u = Pu$$.

Intentemos visualizar esto con una trama:

ax = plt.axes();

#Blue arrow representing first Basis Vector

#Green arrow representing Second Basis Vector
plt.plot([0,B[0,1]],[0,B[1,1]],color='green'); #Need this line to make the figure work. Not sure why.

#Original point u as a red dot
ax.scatter(u[0,0],u[1,0], color='red');

plt.show()
#plt.axis('equal');

Observe que la flecha azul representa el primer vector base y la flecha verde es el segundo vector base en$$B$$. La solución a$$u_B$$ muestra 2 unidades a lo largo del vector azul y 1 unidades a lo largo del vector verde, lo que nos coloca en el punto (5,3).

Esto también se llama un cambio en los sistemas de coordenadas.

##### Pregunta

¿Cuál es el vector de coordenadas de$$u$$ relativo a la base dada$$B$$ en$$R^3$$?

$u = (9,-3,21) \nonumber$

$B = \{(2,0,-1), (0,1,3), (1,1,1)\} \nonumber$

Almacene esta coordenada en una variable ub para verificar:

Veamos más de cerca la matriz$$P$$, ¿cuál es el significado de las columnas de la matriz$$P$$?

Sabemos que$$P$$ es lo inverso de$$B$$, por lo tanto, tenemos$$BP = I$$. Entonces podemos mirar la primera columna de la$$P$$, digamos$$p_{1}$$, tenemos que$$Bp_{1}$$ es el vector de columna$$(1,0,0)$$, que es exactamente el primer componente de la base estándar. Esto es cierto para otras columnas.

Significa que si queremos cambiar una base antigua$$B$$ a una nueva base$$B′$$, necesitamos averiguar todas las coordenadas en la nueva base para la base antigua, y la matriz de transición es poniendo todas las coordenadas como columnas.

Aquí está la matriz$$B$$ otra vez:

B = np.matrix([[2,0,-1],[0,1,3],[1,1,1]]).T
sym.Matrix(B)

La primera columna de P debe ser la solución a$$Bx=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]$$. Podemos usar la función numpy.linalg.solve para encontrar esta solución:

# The first column of P should be
u1 = np.matrix([1,0,0]).T
p1 = np.linalg.solve(B,u1)
p1

Podemos encontrar una respuesta similar para columnas$$p_2$$ y$$p_3$$:

# The second column of P should be
u2 = np.matrix([0,1,0]).T
p2 = np.linalg.solve(B,u2)
p2
# The third column of P should be
u3 = np.matrix([0,0,1]).T
p3 = np.linalg.solve(B,u3)
p3
# concatenate three column together into a 3x3 matrix
P = np.concatenate((p1, p2, p3), axis=1)
sym.Matrix(P)
# Find the new coordinate in the new basis
u = np.matrix([9,-3,21]).T
UB = P*u
print(UB)

Esta debería ser básicamente la misma respuesta que obtuviste arriba.

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