23.3: Cambio de Bases
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Consideremos ahora las siguientes dos bases en\(R^2\):
\[B_1 = \{(1,2), (3,-1)\} \nonumber \]
\[B_2 = \{(3,1), (5,2)\} \nonumber \]
La transformación de la “base estándar” a\(B_1\) y se\(B_2\) puede definir como los vectores de columna\(P_1\) y de la\(P_2\) siguiente manera:
Encuentra la matriz de transición\(T\) que tomará puntos en la representación de\(B_1\) coordenadas y los pondrá en\(B_2\) coordenadas.
NOTA esto es análogo al problema de la cinemática del robot. Queremos representar puntos en un sistema de coordenadas diferente.
Dado\(u_{B_1} = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right]\) (un punto nombrado\(u\) en el sistema de\(B_1\) coordenadas) y su matriz de transición calculada\(T\), ¿cuál es el mismo punto expresado en la\(B_2\) base (es decir, qué es\(u_{B2}\))? Almacene su respuesta en una variable llamada ub2 para su comprobación.
Hay tres bases\(B_1\),\(B_2\), y\(B_3\). Tenemos la matriz\(P_{12}\) de transición de\(B_1\) a\(B_2\) y la matriz\(P_{23}\) de transición de\(B_2\) a\(B_3\). En\(R^n\), podemos calcular la matriz de transición como\(P_{12}=B_2^{-1}B_1,\quad P_{23}=B_3^{-1}B_2\).
Entonces podemos encontrar todas las demás matrices de transición.
\(P_{13} = B_3^{-1}B_1=B_3^{-1}B_2*B_2^{-1}B_1= P_{23}P_{12}\)
\(P_{21} = B_1^{-1}B_2 = (B_2^{-1}B_1)^{-1}=P_{12}^{-1}\)
\(P_{32} = B_2^{-1}B_3 = (B_3^{-1}B_2)^{-1}=P_{23}^{-1}\)
\(P_{31} = B_1^{-1}B_3 = (B_3^{-1}B_1)^{-1}=P_{13}^{-1}=(P_{23}P_{12})^{-1}=P_{12}^{-1}P_{23}^{-1}\)
El resultado es cierto para espacios vectoriales generales y puede extenderse a muchas bases.