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23.3: Cambio de Bases

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    115245
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    %matplotlib inline
    import matplotlib.pylab as plt
    import numpy as np
    import sympy as sym
    from urllib.request import urlretrieve
    sym.init_printing(use_unicode=True)
    urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
                'answercheck.py');

    Consideremos ahora las siguientes dos bases en\(R^2\):

    \[B_1 = \{(1,2), (3,-1)\} \nonumber \]

    \[B_2 = \{(3,1), (5,2)\} \nonumber \]

    La transformación de la “base estándar” a\(B_1\) y se\(B_2\) puede definir como los vectores de columna\(P_1\) y de la\(P_2\) siguiente manera:

    B1 = np.matrix([[1,2],[3,-1]]).T
    P1 = np.linalg.inv(B1)
    
    sym.Matrix(P1)
    B2 = np.matrix([[3,1],[5,2]]).T
    P2 = np.linalg.inv(B2)
    
    sym.Matrix(P2)
    Hacer esto

    Encuentra la matriz de transición\(T\) que tomará puntos en la representación de\(B_1\) coordenadas y los pondrá en\(B_2\) coordenadas.

    NOTA esto es análogo al problema de la cinemática del robot. Queremos representar puntos en un sistema de coordenadas diferente.

    # Put your answer to the above question here.
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.matrix(T,'dcc03ddff982e29eea6dd52ec9088986')
    Pregunta

    Dado\(u_{B_1} = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right]\) (un punto nombrado\(u\) en el sistema de\(B_1\) coordenadas) y su matriz de transición calculada\(T\), ¿cuál es el mismo punto expresado en la\(B_2\) base (es decir, qué es\(u_{B2}\))? Almacene su respuesta en una variable llamada ub2 para su comprobación.

    ub1 = np.matrix([[2],[1]])
    sym.Matrix(ub1)
    ##Put your code here
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.vector(ub2,'9a5fe29254c07cf59ebdffcaba679917')

    Hay tres bases\(B_1\),\(B_2\), y\(B_3\). Tenemos la matriz\(P_{12}\) de transición de\(B_1\) a\(B_2\) y la matriz\(P_{23}\) de transición de\(B_2\) a\(B_3\). En\(R^n\), podemos calcular la matriz de transición como\(P_{12}=B_2^{-1}B_1,\quad P_{23}=B_3^{-1}B_2\).

    Entonces podemos encontrar todas las demás matrices de transición.

    \(P_{13} = B_3^{-1}B_1=B_3^{-1}B_2*B_2^{-1}B_1= P_{23}P_{12}\)

    \(P_{21} = B_1^{-1}B_2 = (B_2^{-1}B_1)^{-1}=P_{12}^{-1}\)

    \(P_{32} = B_2^{-1}B_3 = (B_3^{-1}B_2)^{-1}=P_{23}^{-1}\)

    \(P_{31} = B_1^{-1}B_3 = (B_3^{-1}B_1)^{-1}=P_{13}^{-1}=(P_{23}P_{12})^{-1}=P_{12}^{-1}P_{23}^{-1}\)

    El resultado es cierto para espacios vectoriales generales y puede extenderse a muchas bases.


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