25.1: Ortogonal y Ortonormal

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Definición

Se dice que un conjunto de vectores es ortogonal si cada par de vectores en el conjunto es ortogonal (el producto de punto es 0). El conjunto es ortonormal si es ortogonal y cada vector es un vector unitario (norma es igual a 1).

Resultado: Un conjunto ortogonal de vectores distinto de cero es linealmente independiente.

Definición

Una base que es un conjunto ortogonal se llama base ortogonal. Una base que es un conjunto ortonormal se denomina base ortonormal.

Resultado: Dejar\(\{u_1,\dots,u_n\}\) ser una base ortonormal para un espacio vectorial\(V\). Entonces para cualquier vector\(v\) en\(V\), tenemos\(v=(v\cdot u_1)u_1+(v\cdot u_2)u_2 +\dots + (v\cdot u_n)u_n\).

Definición

Una matriz cuadrada es ortogonal si\(A^{-1} = A^{\top}\).

Resultado: Dejar\(A\) ser una matriz cuadrada. Las siguientes tres declaraciones son equivalentes.

\(A\)es ortogonal.
Los vectores de columna\(A\) forman un conjunto ortonormal.
Los vectores de fila\(A\) forman un conjunto ortonormal.
\(A^{-1}\)es ortogonal.
\(A^{\top}\)es ortogonal.

Resultado: Si\(A\) es una matriz ortogonal, entonces tenemos\(\left| A \right| = \pm 1\).

Considere los siguientes vectores\(u_1\),\(u_2\), y\(u_3\) que forman una base para\(R^3\).

\[ u_1 = (1,0,0) \nonumber \]

\[ u_2 = (0, \frac{1}{\sqrt(2)}, \frac{1}{\sqrt(2)}) \nonumber \]

\[ u_3 = (0, \frac{1}{\sqrt(2)}, -\frac{1}{\sqrt(2)}) \nonumber \]

Hacer esto

Mostrar que los vectores\(u_1\),\(u_2\), y\(u_3\) son linealmente independientes

(HINTA: consulte la pre-clase para 12 Asignación Pre-Clase - Espacios Matrix).

Pregunta 1

¿Cómo lo demuestra\(u_1\)\(u_2\), y\(u_3\) son ortogonales?

Pregunta 2

¿Cómo se demuestra eso\(u_1\),\(u_2\), y\(u_3\) son vectores normales?

Hacer esto

Expresar el vector\(v=(7,5,−1)\) como una combinación lineal de los vectores\(u_1\)\(u_2\), y\(u_3\) base:

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