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# 27.1: Complemento ortogonal

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##### Definición

Un vector$$u$$ es ortogonal a un subespacio$$W$$ de$$R^n$$ si$$u$$ es ortogonal a cualquiera$$w$$ en$$W$$ ($$u \cdot w=0$$para todos$$w \in W$$).

Por ejemplo, consideremos la siguiente figura, si consideramos que el plano es un subespacio entonces el vector perpendicular que sale del plano es ortogonal a cualquier vector del plano:

##### Definición

El complemento ortogonal de$$W$$ es el conjunto de todos los vectores que son ortogonales a$$W$$. El conjunto se denota como$$W_{\bot}$$.

##### Pregunta

¿Es$$W_{\bot}$$ un subespacio de$$R^n$$? Justifica tu respuesta brevemente.

##### Pregunta

¿Cuáles son los vectores en ambos$$W$$ y$$W_{\bot}$$?

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("5B8XluiqdHM",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

## Proyección de un vector sobre un subespacio

Pensar que una proyección sobre un subespacio es análoga a una sombra sobre una superficie. Aspectos de un objeto El espacio 3D se representa en una sombra 2D pero no se puede tomar la sombra por sí mismo y recrear exactamente la superficie 3D.

A continuación se presenta la definición matimatical de la proyección sobre un subespacio.

##### Definición

$$W$$Sea un subespacio$$R^n$$ de dimensión$$m$$. Dejar$$\{w_1,\cdots,w_m\}$$ ser una base ortonormal para$$W$$. Entonces la proyección del vector$$v$$ en$$R^n$$ sobre$$W$$ se denota como$$\mbox{proj}_Wv$$ y se define como$$\mbox{proj}_Wv = (v\cdot w_1)w_1+(v\cdot w_2)w_2+\cdots+(v\cdot w_m)w_m$$.

Otra forma de decir la definición anterior es que el proyecto de$$v$$ sobre el$$W$$ es solo la suma de$$v$$ proyectado sobre cada vector en una base de$$W$$.

Observaciones:

Recordemos en la conferencia sobre Proyecciones, discutimos la proyección sobre un vector, que es el caso$$m=1$$. Se utilizó la proyección para$$m>1$$ en el algoritmo Gram-Schmidt.

La proyección no depende de qué base ortonormal elijas.

Si$$v$$ está en$$W$$, tenemos$$\mbox{proj}_Wv=v$$.

## El teorema de la descomposición ortogonal

##### Teorema

$$W$$Déjese ser un subespacio de$$R^n$$. Cada vector in$$v$$ in se$$R^n$$ puede escribir de forma única en la forma$$v = w+w_{\bot}$$, donde$$w$$ está adentro$$W$$ y$$w_{\bot}$$ es ortogonal a$$W$$ (es decir,$$w_{\bot}$$ está adentro$$W_{\bot}$$). Además,$$w=\mbox{proj}_Wv$$ y$$w_{\bot} = v-\mbox{proj}_Wv$$.

##### Definición

Dejar$$x$$ ser un punto en$$R^n$$,$$W$$ ser un subespacio de$$R^n$$. La distancia de$$x$$ a$$W$$ se define como la mínima de las distancias desde$$x$$ a cualquier punto$$y$$ en$$W$$. $$d(x,W)=\min \{\|x-y\|: \mbox{ for all }y \mbox{ in } W\}$$. El óptimo se$$y$$ puede lograr en$$\mbox{proj}_Wx$$, y$$d(x,W)=|x-\mbox{proj}_Wx|$$.

##### Pregunta

Let$$v=(3,2,6)$$ y$$W$$ es el subespacio que consiste en todos los vectores con la forma$$(a,b,b)$$. Encuentra la proyección de$$v$$ sobre$$W$$.

##### Pregunta

Let$$v=(3,2,6)$$ y$$W$$ es el subespacio que consiste en todos los vectores con la forma$$(a,b,b)$$. Encuentra la distancia de$$v$$ a$$W$$.

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