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LibreTexts Español

28.2: Cuatro Subespacios Fundamentales

  • Page ID
    115595
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Los cuatro subespacios fundamentales

    • Columnspace,\(\mathcal{C}(A)\)
    • Espacio nullspace,\(\mathcal{N}(A)\)
    • Espacios de filas,\(R(A)\)
      • Todas las combinaciones lineales de filas
      • Todas las combinaciones lineales de las columnas de\(A^\top\),\(\mathcal{C}(A^\top)\)
    • Espacio nullspace de\(A^\top\),\(\mathcal{N}(A^\top)\) (el espacio nullspace izquierdo de\(A\))

    ¿Dónde están estos espacios para una\(m \times n\) matriz\(A\)?

    • \(\mathcal{R}(A)\)está en\(R^n\)
    • \(\mathcal{N}(A)\)está en\(R^n\)
    • \(\mathcal{C}(A)\)está en\(R^m\)
    • \(\mathcal{N}(A^\top)\)está en\(R^m\)

    Cálculo de base y dimensión

    Para\(\mathcal{R}(A)\)

    • Si\(A\) experimenta una reducción de fila a la forma escalón de fila\(B\), entonces\(\mathcal{C}(B)\neq \mathcal{C}(A)\), pero\(\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(A)\) (o\(\mathcal{C}(B^\top) = \mathcal{C}(A^\top)\))
    • Una base para el espacio de filas de\(A\) (o\(B\)) son las primeras\(r\) filas de\(B\)
      • Así remaremos reducir\(A\) y tomar las filas de pivote y transponerlas
    • La dimensión también es igual al rango\(r\)

    Para\(\mathcal{N}(A)\)

    • Las bases son las soluciones especiales (una por cada variable libre,\(n−r\))
    • La dimensión es\(n−r\)

    Para\(\mathcal{C}(A) = \mathcal{R}(A^\top)\)

    • Aplicar la reducción de fila en la transposición\(A^{\top}\).
    • La dimensión es el rango\(r\)

    Para\(\mathcal{N}(A^\top)\)

    • También se le llama espacio nullspace izquierdo, porque termina a la izquierda (como se ve a continuación)
    • Aquí tenemos\(A^\top y = 0\)
      • \(y^\top(A^\top)^\top = 0^\top\)
      • \(y^\top A = 0^\top\)
      • Esta es (nuevamente) las soluciones especiales para\(A^{\top}\) (después de la reducción de filas)
    • La dimensión es\(m−r\)

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