28.2: Cuatro Subespacios Fundamentales
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- Columnspace,\(\mathcal{C}(A)\)
- Espacio nullspace,\(\mathcal{N}(A)\)
- Espacios de filas,\(R(A)\)
- Todas las combinaciones lineales de filas
- Todas las combinaciones lineales de las columnas de\(A^\top\),\(\mathcal{C}(A^\top)\)
- Espacio nullspace de\(A^\top\),\(\mathcal{N}(A^\top)\) (el espacio nullspace izquierdo de\(A\))
¿Dónde están estos espacios para una\(m \times n\) matriz\(A\)?
- \(\mathcal{R}(A)\)está en\(R^n\)
- \(\mathcal{N}(A)\)está en\(R^n\)
- \(\mathcal{C}(A)\)está en\(R^m\)
- \(\mathcal{N}(A^\top)\)está en\(R^m\)
Cálculo de base y dimensión
Para\(\mathcal{R}(A)\)
- Si\(A\) experimenta una reducción de fila a la forma escalón de fila\(B\), entonces\(\mathcal{C}(B)\neq \mathcal{C}(A)\), pero\(\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(A)\) (o\(\mathcal{C}(B^\top) = \mathcal{C}(A^\top)\))
- Una base para el espacio de filas de\(A\) (o\(B\)) son las primeras\(r\) filas de\(B\)
- Así remaremos reducir\(A\) y tomar las filas de pivote y transponerlas
- La dimensión también es igual al rango\(r\)
Para\(\mathcal{N}(A)\)
- Las bases son las soluciones especiales (una por cada variable libre,\(n−r\))
- La dimensión es\(n−r\)
Para\(\mathcal{C}(A) = \mathcal{R}(A^\top)\)
- Aplicar la reducción de fila en la transposición\(A^{\top}\).
- La dimensión es el rango\(r\)
Para\(\mathcal{N}(A^\top)\)
- También se le llama espacio nullspace izquierdo, porque termina a la izquierda (como se ve a continuación)
- Aquí tenemos\(A^\top y = 0\)
- \(y^\top(A^\top)^\top = 0^\top\)
- \(y^\top A = 0^\top\)
- Esta es (nuevamente) las soluciones especiales para\(A^{\top}\) (después de la reducción de filas)
- La dimensión es\(m−r\)