29.1: Revisión de valores propios y vectores propios

Definición

Un vector distinto de cero\(x\) en\(R^n\) se llama vector propio de una\(n \times n\) matriz\(A\) si\(Ax\) es un múltiplo escalar de\(x\). Si\(Ax = \lambda x\), entonces\(\lambda\) se llama el valor propio de\(A\) correspondiente a\(x\).

Pasos para encontrar los valores propios y vectores propios

Queremos encontrar\(\lambda\) un vector distinto de cero\(x\) tal que\(Ax = \lambda x\) para una\(n \times n\) matriz.

1. Introducimos una matriz\(I\) de identidad de\(n \times n\). Entonces la ecuación se convierte en:

\[Ax = \lambda I x \nonumber \]

\[Ax-\lambda I x = 0 \nonumber \]

\[(A-\lambda I)x = 0 \nonumber \]

2. Esto sugiere que queremos encontrar\(\lambda\) tal que\((A-\lambda I)x=0\) tenga una solución no trivial. Es equivalente a que la matriz\(A-\lambda I\) sea singular, es decir, tiene un determinante de\(0\). \(|A-\lambda I|=0\)
3. El determinante es polinomio en\(\lambda\) (llamado el polinomio característico de\(A\)) con grado\(n\). Resolvemos esta ecuación (llamada ecuación característica) para todos los posibles\(\lambda\) (valores propios).
4. Después de encontrar los valores propios, los sustituimos de nuevo\((A-\lambda I)x=0\) y encontramos los vectores propios\(x\).

Calculemos los valores propios para la siguiente matriz:

\[\begin{split} A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}\end{split} \nonumber \]

Buscar valores propios

Mirando la receta anterior, resolvamos el problema simbólicamente usando sympy. Primero vamos a crear una matriz\(B\) tal que:

\[B = A-\lambda I \nonumber \]

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing()

#Most sympy requires defeing the variables as "symbols"
#Once we do this we can use the variables in place of numbers
lam = sym.symbols('lambda')

A = sym.Matrix([[0, 0 ,-2], [1, 2, 1], [1, 0, 3]])
I = sym.eye(3)

B = A - lam*I

B

Ahora, por paso 2, el determinado de\(B\) debe ser cero. Tenga en cuenta que sympy calcula el determinado simbólicamente de la siguiente manera:

B.det()

Hacer esto

Usando la función sympy.solve en el determinado de\(B\) para resolver para lam (\(\lambda\)). Verificar que la solución a la última pregunta produzca los mismos valores propios que los anteriores.

# Put your code to solve for det(B) = 0 here

Hacer esto

Primero, usemos la función incorporada en funciton eigenvals en sympy para calcular los valores propios. Descubre el significado de la salida.

# Put your code here

Encuentra vectores propios

Ahora conocemos los valores propios, podemos sustituirlos de nuevo en la ecuación para encontrar los vectores propios.

Esto lo resolvemos simbólicamente usando sympy. Primero hagamos un vector de nuestros valores propios (desde arriba):

eig = [1,2]

Ahora (por paso 4 anterior) necesitamos resolver la ecuación\((A-\lambda I)x=0\). Una forma de hacer esto en sympy es la siguiente:

x1,x2,x3 = sym.symbols(['x_1','x_2','x_3'])

x = sym.Matrix([[x1],[x2],[x3]])
x

for lam in eig:
    vec = sym.solve((A - lam*I)*x,x)
    print(vec)

{x_1: -2*x_3, x_2: x_3}
{x_1: -x_3}

Pregunta

Explica tu salida aquí. (Pista, también puedes probar el rref para encontrar las soluciones)

Hacer esto

A continuación, usemos la función eigenvects en sympy para encontrar tres vectores propios lineales independientes para la matriz\(A\)?

# Put your answer to the above question here

Pregunta

Compara esta respuesta con los vectores propios que calculamos anteriormente. ¿Tiene sentido esta respuesta? ¿Qué nos dice la sintaxis?

Hacer esto

Encuentra los valores propios y vectores propios de la siguiente matriz:

\[A_2=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \nonumber \]

Pregunta

¿Cuáles son los valores propios para la matriz\(A_2\)?

Pregunta

¿Cuáles son los vectores propios para la matriz\(A_2\)?